Ф.П. Васильев - Методы оптимизации (1125241), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Таким образом, установлено, что условие Мангасариана — Фрамовица равносильно но мальности точки )) множества (10). окажем, что в отличие от множества (1), в нормальных точках н множества (10), подозрительных на экстремум, в условии (15) операция взятия максимума, вообще говоря, не может быть опущена. С этой целью, как мы уже это делали неоднократно, позаимствуем пример из !44].
П!) име!) 8. Рассмотрим задачу: 1(х) = — х' — !п1 х е Х = (х = = (х, х~, х ) Е Ез: уа(х) = хз + 2х)хз — г((х!)з+ (хз)) < О, д (х) = хз— — 2х'хз — с((х)~з+(х )з) < О, д (х) = хз+~(х!)з — (хз)з) — е((х!)з+(хз)з) < О, д,(х) = х' — (х )'+ (х')~ — г((х')'+ (х') ) ( О), е > О.
Сначала убедимся, что )) = (О, О, 0) = 0 — решение этой задачи. На плоскости (х', х') введем полярную систему координат: х' = гсов !с, хз = гв!и !р, 0 < !р <2я. Тогда д (х) = хз+г'(вгп 2!р-г), д (х) = хз — гз(в!и 2!р+з), д (х) = хз+гз(сов 2!р — г), д,(х) = х' — г (сов 2!р + г). Выберем г > 0 таким, чтобы ш!п(в!и 2р, — в!п2!р, сов 2р, — сов 2!с) — г <0 У!р, 0 < !р (2я, например, можно взять г = 1/4. Тогда хотя бы в одном из неравенств хз < — г'(в!и 2!р — г), х' < г~(в!и 2!р+г), хз ( — г'(сов 2!р — с), х' < гз(сов 2!р+ + с) правая часть отрицательна при каком-либо !р, 0 < ь) < 2я, и любых 30 ГВ. 2.
КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЭКСТРЕМУМА З 4. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА зр 1'. (21) т > О, и все правые части = 0 при т = О. Это значит, что у всех точек х = (х',х',хз) е Х координата хз < О. Следовательно, !и! Г'(х) = 0 = У(0) ВХ и е = 0 — решение рассматриваемой задачи.
В точке 2) = 0 выполняется условие Мангасариана — Фрамовица с вектором (1 = (0,0, — 1). Следовательно 2) = 0 — нормальная точка множества Х. Конус Лагранжа точки 2)=0 Равен А(0)=(Л =(Ло, Л„Л2 Лз ЛА): Ло — — Л, +Л,+Лз+Л, >О, Л( >О, г = 1,..., 4). Поскольку в точке 2) = 0 все ограничения д,. (х) < О, г = 1,..., 4, активные, то ]Х(0)) = 4 > и = 3 и каждая точка Л Е А(0) имеет тривиальное сопровождающее подпространство П(Л ) = (0). Следовательно, в рассматриваемой задаче конус Арутюнова А.(0) = А(0). Согласно теореме 3 в точке минимума е = 0 условие (15) выйолняется при всех Ь е К,(0) = =Л(0)Г)(6: (>"((0), 6) <О) =(6 ЕЕ: (д,.'(0), 6) <О, 2 =1,, 4, (>"((0), 6) < 4 <0) =(Ь =(Ь' 62 Ь'=О)).
Однако (А.' (О, Л)6, 6) =((~, Л(д!"(0)) 6, 6) = '=! =2]6!2]А(Л) з!п2)>+В(Л) сов 2(о — з] при каждом 6 =(Ь' =]6) соз оо, 62= =-!6]яп ОО, 62=0) ЕК (0), Л ЕА(0); явные выражения величин А(Л), В(Л) нам не понадобятся, поэтому мы их не будем здесь приводить. Отсюда видно, что для )>Л Е А(0) = Л,(0), ]Л] =1 найдется ()2, 0 < (р < 2я, такой, А(!) В2ОАВ(А) 22 — =)(АА(А)РВ ()) ) (2РА()) — *Ар (здесь 2!) вспомогательный угол, 0< ф < 222, определяемый равенствами „, О,= —.,— ".(Г)-,.--,,ВО; — —,-'-(г)-,—.,р, А (А)-,-В'(Г)АО).
2,. р(А (1) В(2) ' ' АА (2) Ррр) ким образом, при любом выборе Л ЕА(0), ]Л ) =1 найдется Ь Е К(0), Ь ~0, что (А". (О, Л)6, 6) < О. В то же время условие (15) согласно теореме 3 выполняется. Это значит, что даже в нормальной точке экстремума знак максимума в (15) не может быть опущен. 3. Кратко обсудим один известный прием сведения задач с ограничениями типа неравенств к задачам с ограничениями типа равенств. Этот прием, по-видимому, впервые был предложен Н. Н. Гернет ]221] для исследования задач вариационного исчисления с односторонними ограничениями.
Опишем его для задачи поиска экстремума функции ~(х) на множестве Х=(хЕЕ": д(х)<О,...,д (х)<0) Введем вспомогательные переменные ю = (ю',...,ю") и в пространстве переменных у = (х,ю) = (х', ,х",ю',...,ю™) рассмотрим задачу поиска экстремума функции Г(х) на множестве У=(у=(х, ю) ЕЕ"+: д((у)=дг(х)+(юг)'=О, г =1,..., гп).
(22) Нетрудно видеть, что эта задача равносильна исходной задаче на множестве (21). В самом деле, если х, — точка локального минимума ]максимума] функции Г"(х) на множестве (21), то точка у, = (х„, ю„), где ю, = = (ю,',, ю,'"), юг = ( — д,. (х,))((г, г = 1,..., т, будет точкой локального минимума ]максимума] фуйкции Г"(х) на множестве (22) и наоборот, если у, = (х„, ю,) — точка локального минимума ]максимума] функции Т"(х) на множестве (22), то х — точка локального минимума ]максимума] функции Г'(х) на множестве (21).
Допустим, что х. — точка локального минимума функции Г'(х) на множестве (21). Можем считать, что в (21) все ограничения в точке х, активны, так как удаление неактивных ограничений из (21) не повлияет на свойство точки х, быть локальным минимумом функции Т(х).
Тогда точка у. = (х„ю, = 0) е 1 будет точкой локального минимума функции Г(х) на множестве (22), и для нее будет справедливы приведенные в Э 3, 4 теоремы для множеств, задаваемых ограничениями типа равенств. Применим их и посмотрим, что из этого получится для исходнои задачи. Предположим, что градиенты д,'(х„),..., д„'(х,) линейно независимы. Тогда градиенты д('(у„) = д' ° " ~, 2=1,..., т, также будут линейно независимы, т.
е. д,=(х„О) — нормальная точка множества (22), и теперь можно будет вос- пользоватьсЯ теоРемой 1. Составим фУнкцию ЛагРанжа: С(У, Л) = ЛОГ(х)+ + 2, 'Лг(д((х)+(юг)'), ее производными будут: р=! Е„(у, Л) = ЛОЗ'(х) + Е Лгд,.'(х)1 Е.(д) Л) = (2Л,(о',..., 2Л „ю"), р=! А", (у, Л)=(С,(у, Л),А", (у, Л)), А", (у, Л)=Л~~В(х)+ 2 Л.д."(х), 2=! Л, О Согласно теореме 3.1 существует такой набор Л = (Ло,, Л„) ~0, Ло > О, и А". (У„, Л) =О. Отсюда имеем Е„(у„Л) = Л Г(х)+ 2, Л(д,'(х„) = О, равенст2=1 во А".
(у„ Л ) = 0 выполняется автоматически и полезной информации не несет, Так как гг — нормальная точка множества (22), то можем считать Ло = 1. Кроме того, у нас д((х,) = О, г = 1,...,пг, по предположению, и условия дополняющей нежесткости Лгд((х,) = О, г = 1,..., т)г, выполняются автоматически. А где же условия Л, > О,..., Л„> О? Они, оказывается, при рассматриваемом подходе относятся к необходимым условиям второго порядка. В самом деле, применяя теорему 1, получим: (С (у„, Л)6, Ь) > 0 ЧЬ Е К)(УА)=(6 =(6)1 6 ): Ь! ЕЕ", Ьз ЕЕ, (д (др)1 6) =О, г' =1,..., гп) = (6 =(6„6,); (д,.'(х.), Ь,) +(О, 62) =(д,'(х,),6(~ =О, г =1,..., т).
Отсюда следует, что (А". (У„Л)6, Ь!) >0 ЧЬ! ЕЛ(х )=(6 ЕЕ": (д,.'(х), 6) =О, г =1,..., т), и (А",„„(У„Л)6г, 6,) =2Л((Ьг!)2+...+2Л (6>")г> 0 ЧЬэ ЕЕ", что возможно только при Л, > О,..., Л„> О, Так как А", (у„Л) = х,„(х„Л), и, кроме того, рассуждая также, как в замечании 2, конус К,(х.) без ущерба можем заменить на Л;(х,) = (( Г'(х„), 6) < О, (д,.'(х„), 6) = О, г = 1,..., Оп), то имеем (А", (х„Л )Ь, 6) > 0 ЧЬ Е Л;(х,).
КонУс Кз(х,), вообще говоРЯ, беднее конуса из (15), поэтому полученные на этом пути необходимые условия второго порядка слабее, чем в теореме 3. Применение указанного приема ко множеству (10) в общем случае также приводит к более слабым необходимым условиям экстремума, чем это получено выше. Тем не менее простота этого приема привлекательна, и от него не стоит совсем отказываться при исследовании задач на экстремум при наличии ограничений типа неравенств.
Гл. 2, КЛАССИЧЕСКАЯ ТВОРИЯ ЭКСТРЕМУМА Упражнении 1. Применить теоремы 2, 3 к исследоэани«о задач из примеров, приведенных э $3. 2. Исследовать задачи на экстремум, пользуясь прааилом множителей Лагранжа и теоре- мами 2, 3, если; а) 1(х) = (х ) +ха, Х =(х=(х, х ) еЕ2: д(х) =(х«) +(хз) — 2<0); б) Пх)=х, Х=(х=(х«, хз)ЕЕ2: д«(х)=(х ) -1-(хз) — 1<0, дз(х)=(х«) +(хз) — 1=О); э) 1о(х) =1(х) — (х ) — (х«2) — (х«э)2, Х=(х ЕЕ«з: д«(х) =О, дл(х) =О), где функции 1(х), д«(х), дз(х) азаты иэ примера 6; з определении функции 1(х) считать с = О, 3.
Применить прааило множителей Лагранжа и теоремы 2, 3 для поиска точек экстремума функций Дм)=х, 1(и)=хз, 1(х)=ха+ на множестве Х =(м=(х,д) еЕ: д(м)=0[<0, 2. > О[), где д(и) = ха+и«или д(м) = х" — д«, р, д — натуральные числа. Найти зсе нормальные и анормальные точки множества Х. 4. Пусть Оо, О«,..., О. — симметричные матрицы размера и х и, пусть К = (х е Е"; (О тх) (О, « = 1,..., и«; [0«х х) = О, « = и« 1-1,..., в). Доказать, что (Оох х) > 0 на конусе К тогда и только тогда, когда точка э = 0 является решением задачи: 1(х) = (Оох, х) -«!и1, х е К (23) б.
Пусть (Оох, х) > 0 Ух с К (обозначения см. э упражнении 4), Доказать, что дяя УЬ е Е" ЭЛ = Л(Ь) = (Л,(Ь» О,..., Лм(Ь» О, Л,(Ь),..., Л,(Ь)), ° ([ Е ЛЗ(Ь) д,.) Ь, Ь) > О индекс квадратичной формы ([ ) Лз(Ь)СЬ [г, г) не превышает [1(0)/, где 1(0) — множество =о активных ограничений из К э точке с = 0,[1(0)[ — количество элементов множества 1(0). Указание: применить к задаче (23) теорему 3 з точке о=О. 6. Найти точки экстремума функций 1(х) = х, Дх) = х, 1(х) =(х — 3/2)), 1(х) = (х — 3), 2 2 2 1(х) =(х — 1)(х — 2) на множестве Х =(х е Е'.
д«(х)= -х < О, дл(х) = х — зх +2х < З 2 (О). Обратить внимание, что х = 0 является иэолирозанной точкой множества Х и ее можно считать точкой локального минимума [максимума) любой функции. 7. Пусть с — изолированное решение системы уравнений дз(х) =О, « = 1,..., з; и > э. Доказать, что тогда для УЬ е К(с) = [Ь с Е"; (д,'(о), Ь) = О, « = 1,..., э) существует Л = = Л(Ь) = (Л«,..., Л,), что Л(Ь)фО, С (с,Л(Ь))= ) Л;(Ь)дз«(с)=0 (24) =1 (т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
