Н.А. Боголюбов - ММФ (методические материалы) (1125160), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Тогда понятия классическогорешения недостаточно и мы будем строить обобщенные решения спомощью обобщенных функций о котором речь пойдет позже.2) Описанный в данном разделе способ получения решения задачи в видесуперпозиции вкладов от элементарных источников применим не только вэлектростатике. Его можно обобщить на все задачи рассматриваемого типауравнений,если функции F и f удовлетворяют определенным условиям , речь окоторых пойдет в следующих пунктах данной главы.1792.Понятие обобщенной функции и точечного источника.Для построения решений рассматриваемых задач, мы должныиспользовать аппарат функций Грина, которыми описывают полеточечного источника в области D с соответствующими граничнымиусловиями.Для начала введем понятие точечного источника в неограниченномпространстве:пусть весь наш заряд равномерно распределен по шару K(M0, ε) cцентром в M0 и радиусом ε .

Нам нужно перейти к пределу при ε → 0 .Для этого введем следующую функцию:fε(M, M0) =3, M4πε 3∈ K(M0, ε)0, M ∉ K(M0, ε).Следовательно:f M, M0)dVM = 1 .∫ ε(R3Теперь переходим к пределу:limε→0 fε(M, M0) =∞, M = M0.{0, M ≠ M0А интеграл от функции fε(M, M0) при каждом фиксированном ε остаетсяравным единице:1 = limε→0f M, M0)dVM .∫ ε(R3180К тому же, для любой непрерывной функции ψ (M ) в точке M0 предел( ε → 0 ) от интеграла будет конечным и будет равен:limε→0f M, M0)ψ (M )dVM = ψ (M0) .∫ ε(R3Что означает, что : из непрерывности функции ψ (M ) ⇒ ∀δ > 0 ∃ε > 0такое, что для любых точек M, M0 из области определения функции ψ (M ) ,при выполнении условия ( 0 < rMM0 ≤ ε ) , справедливо неравенство:ψ (M ) − ψ (M0) ≤ δ .Теперь, если мы возьмем точку M внутри шара K(M0, ε) радиусом ε сцентром в M0 , то расстояние rMM0 между M и M0 не будет превосходить ε .Следовательно:f M, M0)ψ (M )dVM − ψ (M0) =∫ ε(R3=∫K(M0, ε)3ψ (M )dVM − ψ (M0)4πε 3∫dVM =K(M0, ε)=1=∫K(M0, ε)3ψ (M ) − ψ (M0))dVM ≤4πε 3 (181≤∫K(M0, ε)3ψ (M ) − ψ (M0) dVM ≤ σ34πε∫K(M0, ε)3dVM = δ,34πεа из этого следует:limε→0f M, M0)ψ (M )dVM = ψ (M0) .∫ ε(R3Интегралf M, M0)ψ (M )dVM можно рассматривать, как результат∫ ε(R3действия функционала fε на функцию ψ (M ) :⟨ fε, ψ⟩ =f M, M0)ψ (M )dVM .∫ ε(R3Тогда , из выше полученного выражения, мы получаем результатдействия некоторого функционала на функцию ψ , который будемобозначать как δ(M, M0) :ψ (M0) = limε→0⟨ fε, ψ⟩ .Сформулируем определение для функции δ(M, M0) :Функционал δ(M, M0) , действующий на любую непрерывную в точке M0функцию ψ (M ) по правилу:⟨δ(M, M0), ψ (M )⟩ = ψ (M0), называют σ функцией Дирака.Следовательно, плотность единичного точечного заряда,расположенного в точке M0 , можно определить, как δ(M, M0) .182Тогда плотность точечного заряда будет представлять собойфункционал следующего вида:ρ(M, M0) = q ⋅ δ(M, M0) .Замечания:1) Для вычисления полного заряда нужно подействовать функционаломна функцию ψ (x) тождественно равную единице:⟨ρ(M, M0),1⟩ = q,2) Если в области D распределен заряд с объемной плотностью ρ(M ) , тополной заряд этой плотности будет равен:Q = ρ(M )dV = ⟨ρ(M ),1⟩ .∫D3) В декартовой системе координат функционалы δ(M, M0) иδ(x − x0)δ(y − y0)δ(z − z0) действуют на любую непрерывную в точкеM0(x0, y0, z0) функцию ψ (M ) одинаково , поэтому их можно считатьравными.В сферических координатах имеет место равенство:δ(M, M0) =1δ(r − r0)σ(θ − θ0)δ(φ − φ0) .2r0 sinθ0В полярных координатах:1δ(M, M0) = δ(r − r0)δ(φ − φ0) .r0183Теперь введем понятие обобщенной функции .Функционал δ(M, M0) , действующий на множестве непрерывных вточке M0 функций является примером обобщенных функций .Любая обобщенная функция представляет собой функционал.Для того, чтобы ввести строгое определения пространстваобобщенных функций , необходимо ввести само пространство основныхфункций ψ (M ) , на котором действуют эти функционалы.Для этого введем понятие финитной функции в пространстве R n :Ограниченная на R n функция ψ (M ) называется финитной, еслисуществует шар:M(x1, x2, .

. . , xn){x12 + x22 + . . . + xn2 ≤ R},вне которого функция ψ (M ) всюду равна нулю.Замыкание множества {M ψ (M ) ≠ 0} называется носителем функцииψ (M ) и обозначается sup ψ .Замечание: ψ (M ) = 0 находится вне sup ψ . Множество sup ψ состоит извсех точек M , где ψ (M ) ≠ 0 и точек M , в любой окрестности которыхнайдется точка M′ : ψ (M′) ≠ 0 .Введем следующие определения:1) Будем называть совокупность всех финитных бесконечнодифференцируемых в R n функций множеством основных функций ℑ(R n) .Теперь определим сходимость в ℑ(R n):2) Функциональная последовательность {ψk(M )} из ℑ(R n) называетсясходящейся к функции ψ (M ) из ℑ(R n) , если существует такой шарU ⊂ R n , что supψk ⊂ U (k = 1,2, .

. . ) , и для любой производной функцииψk(M ) будет выполнено:184αD α ψk(M )→Dψ (M ) при k → ∞ , где :→α∂D α = α1 α2αn , α = α1 + α2 + . . . + αn, αi = 0,1,2, . . . , включая случай∂x1 ∂x2 . . . ∂xnα = 0 , что означает равномерное стремление самих функций ψk(M ) кфункции ψ (M ) при k → ∞ .Теперь мы можем ввести строгое определение пространства основныхфункций:Линейное пространство ℑ(R n) c введенным таким образом сходимостьюназывается пространством основных функций.Теперь когда пространство основных функций задано, введем строгоепонятие обобщенной функции:Обобщенной функцией называется всякий линейный непрерывныйфункционал f , действующий на пространстве основных функций ℑ :1) ∀α, β ∈ ℂ и ∀ψ1, ψ2 ∈ ℑ : ⟨ f, αψ1 + βψ2⟩ = α⟨ f, ψ1⟩ + β⟨ f, ψ2⟩;2) ∀ {ψk} ⊂ ℑ, ψk → ψ ∈ ℑ ( в смысле уже введенной нами сходимости) .3) при k → ∞⇒ ⟨ f, ψk⟩ → ⟨ f, ψ⟩, k → ∞ .

Введем операции сложения обобщенных функций и умноженияобобщенной функции на число над полем комплексных чисел:⟨ f + g, ψ⟩ = ⟨ f, ψ⟩ + ⟨g, ψ⟩, ∀ψ ∈ ℑ,⟨λ ⋅ f, ψ⟩ = λ⟨ f, ψ⟩, ∧ ψ ∈ ℑ .( черта обозначает комплексное сопряжение) .Множество всех обобщенных функций , определенных на ℑ , сзаданными на нем операциями сложения и умножения на число образуетлинейное пространство ℑ′ .185Теперь обсудим сходимость обобщенных функций:Последовательность обобщенных функций fn ∈ ℑ′ cходится кобобщенной функции f ∈ ℑ′ , если :⟨ fn, ψ⟩ → ⟨ f, ψ⟩ при n → ∞ для любой функции ψ ∈ ℑ .Обобщенные функции делятся на регулярные и сингулярные:Обобщенная функция f называется регулярной , если существует функцияF(M ) , интегрируемая на любом замкнутом ограниченном множестве , такаячто:⟨ f, ψ⟩ =∫F(M )ψ (M )dVM, ∀ψ ∈ ℑ .RnТак как функция ψ (M ) финитна, то интегрирование ведется поограниченной области sup ψ .Все другие обобщенные функции называются сингулярными .Пример: δ - функция это сингулярная обобщенная функция.Введем понятие производной обобщенной функции:Пусть F(M ) ∈ C (1)(R n) и ψ (M ) ∈ ℑ .186В основе понятия производной обобщенной функции стоит формула,вытекающая из формулы интегрирования по частям:∂F∂ψψdV = − FdV .∫ ∂xi∫ ∂xiRnRnИнтегрирование по пространству R n ведется при −∞ < xi < ∞ , i = 1, nи все подстановки на бесконечности обращаются в ноль за счет финитностифункции ψ .

Поскольку интегралы можно понимать, как результат действиялинейного непрерывного функционала на гладкую финитную функцию ψ ,то полученное равенство можно переписать в следующем виде:∂F∂ψ⟨, ψ⟩ = − ⟨ f,⟩ , где f - обобщенная , порождаемая функцией F(M ) .∂xi∂xiПолученное равенство является определением производной обобщеннойфункции, как регулярной , так и сингулярной:Функционал, действующий на любую функцию ψ ∈ D по правилу:⟨∂F∂ψ, ψ⟩ = − ⟨ f,⟩∂xi∂xi∂Fназывается производнойобобщенной функции f .∂xiАналогично определяются производные любого порядка отобобщенных функций:∂αD f = α1 α2f , где α = α1 + α2 + . . .

+ αn, αi = 0,1,2, . . . ,∂x1 ∂x2 . . . ∂αxnnαобобщенной функции f называется функционал, действующий на любуюфункцию ψ ∈ ℑ по правилу:⟨D αf, ψ⟩ = (−1)α⟨ f, D α ψ⟩1873. Потенциал поля точечного источника. Фундаментальное решениеоператора Лапласа в трехмерном и двухмерном случаях.Пусть точечный заряд величины q помещен в точку M0неограниченного, однородного пространства R 3 .Тогда плотность точечного заряда определяется следующим образом:ρ(M, M0) = q ⋅ δ(M, M0) .Уравнение для потенциала поля заряда, записанное в виде:Δφ = − 4πqδ(M, M0) ,означает, что для любой функции ψ (M ) ∈ ℑ справедливо следующеевыражение:φ M, M0)ΔψdVM = − 4πqψ (M0) .∫ (R3Можно показать, что полученному выражению удовлетворяет потенциалqполя точечного заряда φ(M, M0) =во всем пространстве R 3 .rMM0Для любой функции ψ (M ) ∈ ℑ , где ℑ - пространство основныхфункций, найдется число R > 0 , такое что sup ψ ⊂ K(M0, R) , где K(M0, R) шар радиуса R с центром в точке M0 .Следовательно:φ M, M0)Δψ (M )dVM = q∫ (R3∫K(M0, R)Δψ (M )dVM .rMM0Используя третью формулу Грина, получим:∫K(M0, R)Δψ (M )dVM =rMM0188=∫∑(M0, R)( rPM01∂ψ (P)∂ 1− ψ (P)dδP = 4π ψ (M0),∂nP∂nP rPM0 )M , R - сфера радиуса R с центром в точке M0 , n p - вектор∑( 0 )внешней нормали к сфере в точке P .гдеТак как sup ψ ⊂ K(M0, R) , то финитная функция ψ вместе со всемисвоими производными тождественно равна нулю на сфереM ,R , и∑( 0 )поверхностный интеграл в последнем выражении обращается в ноль.Следовательно:q∫ rMM0Δψ (M )dVM = − 4πqψ (M0) .R3Ч.Т.Д.Теперь введем ряд определений:1) Фундаментальным решением оператора Лапласа называется любаяобобщенная функция, являющаяся решением уравнения:Δφ = − δ(M, M0) .Замечания:1) Фундаментальное решение определяется с точностью до произвольногорешения однородного уравнения Δφ = 0 .2) Если мы положим величину q в формуле φ(M, M0) =⇒ то мы получим частное решение:φ(M, M0) =1 1.4π rMM0189qrMM0равную14πCледовательно, функция Грина:G(M, M0) =1+ v - фундаментальное решение оператора Лапласа в4πrMM0трехмерном случае.v - произвольная гармоническая функция.2) Функция u(M ) называется обобщенным решением уравненияΔu = − F(M ) , если на удовлетворяет равенству:∫u(M )Δψ (M )dVM = −R3∫F(M )ψ (M )dVдля любой функции ψ (M ) ∈ ℑ.R3Понятие обобщенного решения шире понятия классического решения, так какфункция u(M ) может быть недифференцируемой.

Характеристики

Список файлов книги