Н.Ф. Степанов - Лекции (1124223)
Текст из файла
Ñîäåðæàíèå1. Ââåäåíèå: ëèíåéíûå ïðåäñòàâëåíèÿ êîíå÷íûõ ãðóïï21.1. Ëèíåéíûå ïðåäñòàâëåíèÿ è èõ ñâîéñòâà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2. Õàðàêòåðû ëèíåéíûõ ïðåäñòàâëåíèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3. Ïðîèçâåäåíèÿ ãðóïï è ïðåäñòàâëåíèé . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .2. Âîëíîâûå ôóíêöèè ìíîãîýëåêòðîííûõ ñèñòåì2.1.2.2.2.3.2.4.2.5.2.6.Îòäåëåíèå öåíòðà ìàññ . . . . . . . . . . . . .Îòäåëåíèå ÿäåðíîé ïîäñèñòåìû. . . . . . . . .Îïðåäåëèòåëè Ñëýòåðà. . . . . . . . . . . . . .Ó÷¼ò ñïèíà. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .Ìàòðèöû ïëîòíîñòè è íàòóðàëüíûå îðáèòàëèÒî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ â êâàíòîâîé õèìèè . . .......11......................................................................................................Ìåòîä Õàðòðè-Ôîêà . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .Ìåòîä Õàðòðè-Ôîêà-Ðóòàíà è ïðèáëèæåíèå ÌÎ ËÊÀÎÓ÷¼ò âîçáóæä¼ííûõ ñîñòîÿíèé: ìåòîäû CI è CC . . . . .Ïîëóýìïèðè÷åñêèå ìåòîäû . . . . . . . . . . . . . . . . .Ìåòîä Õþêêåëÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .............................................................3. Ìåòîäû êâàíòîâîé õèìèè3.1.3.2.3.3.3.4.3.5.242831333537Òåîðåìà è âàðèàöèîííûé ïðèíöèï Õîýíáåðãà-Êîíà . . . . . . .Òåîðèÿ Òîìàñà-Ôåðìè è ìîäåëü ñâîáîäíîãî ýëåêòðîííîãî ãàçàÏðèíöèï Êîíà-Øýìà è ïðèáëèæåíèå ëîêàëüíîé ïëîòíîñòè . .Óòî÷íåíèå ïðèáëèæåíèÿ ëîêàëüíîé ïëîòíîñòè .
. . . . . . . .................................5. Ñèììåòðèÿ â êâàíòîâîé õèìèè5.1.5.2.5.3.5.4.5.5.5.6.111415192022244. Òåîðèÿ ôóíêöèîíàëà ïëîòíîñòè4.1.4.2.4.3.4.4.2383738414447Ñèììåòðèÿ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà . . . . . . . .Òî÷å÷íûå ãðóïïû ñèììåòðèè . . . . . . . . . . . .Òåîðåìà Âèãíåðà-Ýêêàðòà è ïðàâèëà îòáîðà .
. .Ñèììåòðèÿ îðáèòàëåé è ýíåðãåòè÷åñêèõ óðîâíåéÒåîðèÿ êðèñòàëëè÷åñêîãî ïîëÿ . . . . . . . . . . .Òåîðåìà ßíà-Òåëëåðà . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................474752535556c Í. Ô. Ñòåïàíîâ, Himera, 2004.Âîïðîñû è êîììåíòàðèè ìîæíî îòïðàâëÿòü ïî e-mail himer2001@mail.ru èëè áðîñàòü âICQ 257457884.11.1.1.Ââåäåíèå: ëèíåéíûå ïðåäñòàâëåíèÿ êîíå÷íûõ ãðóïïËèíåéíûå ïðåäñòàâëåíèÿ è èõ ñâîéñòâàïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî G íàçûâàåòñÿ ãðóïïîé, åñëè äëÿ åãî ýëåìåíòîâîïðåäåëåíà îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ, ïðè÷¼ì ∀ gi , gj ∈ G (gi gj ) ∈ G, è âûïîëíåíû ñëåäóþùèåñâîéñòâà:Îïðåäåëåíèå:1.
∀ gi , gj , gk ∈ G (gi gj )gk = gi (gj gk ) àññîöèàòèâíîñòü óìíîæåíèÿ;(1.1.1)2. ∃ e ∈ G : ge = eg ∀ g ∈ G ñóùåñòâîâàíèå åäèíè÷íîãî ýëåìåíòà;(1.1.2)3. ∀ g ∈ G ∃ g−1Îïðåäåëåíèå:óìíîæåíèÿ, òî åñòüíàçûâàåòñÿ∈ G : gg−1= g g = e ñóùåñòâîâàíèå îáðàòíîãî ýëåìåíòà.−1(1.1.3)G1 , G2 ãðóïïû; îòîáðàæåíèå h : G1 −→ G2 , ñîõðàíÿþùåå îïåðàöèþh : ∀ g1 , g2 ∈ G1 h(g1 g2 ) = h(g1 )h(g2 ),(1.1.4)ãîìîðôèçìîì.ëèíåéíûì ïðåäñòàâëåíèåì D ãðóïïû G íàçûâàåòñÿ ãîìîìîðôíîå îòîá-Îïðåäåëåíèå:ðàæåíèå ýòîé ãðóïïû íà ãðóïïó íåâûðîæäåííûõ ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ, äåéñòâóþùèõ âëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå R; R íàçûâàåòñÿ ïðîñòðàíñòâîì ïðåäñòàâëåíèÿ, à dim R = n ðàçìåðíîñòüþ (ñòåïåíüþ ) ïðåäñòàâëåíèÿ.  ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì ∀ a, b ∈ GD(ab) = D(a) D(b); â ÷àñòíîñòè, ñîïðÿæ¼ííûå ýëåìåíòû ïðåäñòàâëåíû ïîäîáíûìè ìàòðèöàìè: åñëè a, b, g ∈ G è b = g −1 ag, òî D(b) = D−1 (g) D(a) D(g).Îïðåäåëåíèå: ïðåäñòàâëåíèÿ D1 è D2 ãðóïïû G â ïðîñòðàíñòâàõ R1 è R2 îäèíàêîâîéðàçìåðíîñòè íàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè (èçîìîðôíûìè, ïîäîáíûìè ), åñëè ñóùåñòâóåòèçîìîðôíîå îòîáðàæåíèå A : R1 −→ R2 , è A D1 = D2 A, òî åñòü ∀ g ∈ G A D1 (g) = D2 (g) A .ïóñòü D ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû G â ïðîñòðàíñòâå R; R1 ⊂ R ïîäïðîñòðàíñòâî, èíâàðèàíòíîå îòíîñèòåëüíî âñåõ D(g) (èíâàðèàíòíîå îòíîñèòåëüíî ãðóïïûG); òîãäà ïðåäñòàâëåíèå D1 , îáðàçîâàííîå îïåðàòîðàìè D(g), ñóæåííûìè íà R1 , íàçûâàåòñÿ ïîäïðåäñòàâëåíèåì D .Îïðåäåëåíèå: ïóñòü ïðîñòðàíñòâî R ïðåäñòàâëåíèÿ D ðàçáèâàåòñÿ â ïðÿìóþ ñóììóïîäïðîñòðàíñòâ R = R1 ⊕ R2 , ïðè÷¼ì R1 , R2 èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî G.
D1 , D2 ïîäïðåäñòàâëåíèÿ D íà ïîäïðîñòðàíñòâàõ R1 è R2 ñîîòâåòñòâåííî; òîãäà D ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîéñóììîé ïîäïðåäñòàâëåíèé D1 , D2 : D = D1 ⊕ D2 .Îïðåäåëåíèå:Îïðåäåëåíèå: ïðåäñòàâëåíèå D ãðóïïû G â ïðîñòðàíñòâå R íàçûâàåòñÿ óíèòàðíûì,åñëè â R ìîæíî ââåñòè òàêîå ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå, äëÿ êîòîðîãî âñå îïåðàòîðû D(g)óíèòàðíû.Òåîðåìà 1: âñÿêîå ïðåäñòàâëåíèå êîíå÷íîé ãðóïïû ÿâëÿåòñÿ óíèòàðíûì.4 Ïóñòü {ei }ni=1 áàçèñ R; ââåä¼ì ñòàíäàðòíîå ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ∀ x, y ∈ RnP(x, y) = x̄i yi , ãäå xi , yi êîîðäèíàòû x è y â âûáðàííîì áàçèñå. Î÷åâèäíî, (ei , ej ) = δij .i=1Åñëè êàêèå-òî D(g) íå óíèòàðíû, ââåä¼ì íîâîå ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèåXh x, y i =(D(g)x, D(g)y).g∈GËåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî òàêîå ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå óäîâëåòâîðÿåò âñåì íåîáõîäèìûìdefñâîéñòâàì: h y, x i = h x, y i; h αx, y i = α h x, y i ∀ α ∈ C; h x1 + x2 , y i = h x1 , y i + h x2 , y i;h x, x i = 0 ⇒ x = 0 (∀ g 6= 0 D(g) 6= 0).ïðîèçâåäåíèåå âñåP Ïîêàæåì, ÷òî â íîâîì ñêàëÿðíîìPP D(a) óíèòàðíû: h D(a)x, D(a)y i =(D(g) D(a)x, D(g) D(a)y) =(D(ga)x, D(ga)y) =(D(ga)x, D(ga)y) = h x, y i .
g∈Gg∈G(ga)∈G2Îïðåäåëåíèå: ïðåäñòàâëåíèå D ãðóïïû G â ïðîñòðàíñòâå R íàçûâàåòñÿ ïðèâîäèìûì,åñëè ∃ R1 ⊂ R íåòðèâèàëüíîå (îòëè÷íîå îò íóëåâîãî è ñàìîãî R) ïîäïðîñòðàíñòâî, èíâàðèàíòíîå îòíîñèòåëüíî G. Åñëè òàêîãî ïîäïðîñòðàíñòâà íåò, òî ïðåäñòàâëåíèå D íàçûâàåòñÿ íåïðèâîäèìûì. Åñëè R ðàçáèâàåòñÿ â ïðÿìóþ ñóììó íåòðèâèàëüíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ,èíâàðèàíòûõ îòíîñèòåëüíî G, òî ïðåäñòàâëåíèå D íàçûâàåòñÿ âïîëíå ïðèâîäèìûì.Òåîðåìà 2 (Ìàøêå): âñÿêîå ïðèâîäèìîå ïðåäñòàâëåíèå êîíå÷íîé ãðóïïû G âïîëíåïðèâîäèìî.4 Ïóñòü R1 ⊂ R íåòðèâèàëüíîå ïîäïðîñòðàíñòâî, èíâàðèàíòíîå îòíîñèòåëüíî G.Èç ëèíåéíîé àëãåáðû èçâåñòíî, ÷òî R = R1 ⊕ R1⊥ , à ïî òåîðåìå 1 â R ìîæíî ââåñòèòàêîå ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå, ÷òî ïðåäñòàâëåíèå D ñòàíåò óíèòàðíûì.
Ïóñòü x ∈ R1 ,y ∈ R1⊥ , òîãäà ∀ g ∈ G (D(g)x, D(g)y) = (x, y) = 0, òî åñòü ∀ y ∈ R1⊥ D(g)y ∈/ R1 ⇒D(g)y ∈ R1⊥ , òî åñòü R1⊥ èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî G. Òàêèì îáðàçîì, ïðåäñòàâëåíèå Dâïîëíå ïðèâîäèìî. Ñëåäñòâèå: âñÿêîå ïðåäñòàâëåíèå êîíå÷íîé ãðóïïû ëèáî íåïðèâîäèìî, ëèáî ÿâëÿåòñÿïðÿìîé ñóììîé íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé.G êîíå÷íàÿ ãðóïïà, ïîðÿäîê (÷èñëî ýëåìåíòîâ) êîòîðîé ðàâåí k ; R ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ðàçìåðíîñòè k , à {egi }ki=1 áàçèñ ýòîãî ïðîñòðàíñòâà. Òîãäà ïðåäñòàâëåíèå D, ââîäèìîå ñîîòíîøåíèåì D(gi )egj = egi gj íàçûâàåòñÿ ðåãóëÿðíûì. (Ýòî äåéñòâèòåëüíî ïðåäñòàâëåíèå, ïîñêîëüêó âûïîëíÿåòñÿ (1.1.4): ∀ j = 1, k D(gi gk )egj = egi gk gj =D(gi ) D(gk )egj , òî åñòü D(gi gk ) = D(gi ) D(gk ))Îïðåäåëåíèå:D1 , D2 ëèíåéíûå ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû G â ïðîñòðàíñòâàõ R1 è R2ñîîòâåòñòâåííî.
A : R1 −→ R2 ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå, A D1 = D2 A; òîãäà Im A è Ker Aèíâàðèàíòû îòíîñèòåëüíî G.4 Ïóñòü y ∈ Im A, òîãäà ∃ x ∈ R1 : A x = y. ∀ g ∈ G D2 (g)y = D2 (g) A x =A D1 (g)x ∈ Im A . Ïóñòü òåïåðü z ∈ Ker A, òîãäà A z = 0; ∀ g ∈ G A D1 (g)z = D2 (g) A z = 0,òî åñòü D1 (g)z ∈ Ker A . Òåîðåìà 4 (ïåðâàÿ ëåììà Øóðà): D íåïðèâîäèìîå ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû G â ïðîñòðàíñòâå R. A ëèíåéíûé îïåðàòîð, äåéñòâóþùèé â R, ïðè÷¼ì A D = D A; òîãäàA = λ E (λ ∈ C).4 λ îäíî èç ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé A, à x 6= 0 ñîîòâåòñòâóþùèé åìó ñîáñòâåííûéâåêòîð: A x = λx ⇒ (A −λ E)x = 0.
A D = D A, ïîýòîìó (A −λ E) D = D(A −λ E) (E åäèíè÷íûé îïåðàòîð). Êàê ñëåäóåò èç ïðåäûäóùåé òåîðåìû, Ker(A −λ E) èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî G, îäíàêî D íåïðèâîäèìî, ïîýòîìó ëèáî Ker(A −λ E) = 0, ëèáî Ker(A −λ E) = R.Ïåðâûé âàðèàíò íåâîçìîæåí, ïîñêîëüêó ∃ x 6= 0 : x ∈ Ker A . Òàêèì îáðàçîì,Ker(A −λ E) = R ⇒ A −λ E = 0 ⇒ A = λ E . Òåîðåìà 5 (âòîðàÿ ëåììà Øóðà): D1 , D2 íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû Gâ ïðîñòðàíñòâàõ R1 è R2 ñîîòâåòñòâåííî. A : R1 −→ R2 ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå, ïðè÷¼ìA D1 = D2 A; òîãäà A = 0, åñëè D1 è D2 íåýêâèâàëåíòíû, è A = λ E, åñëè D1 è D2 ýêâèâàëåíòíû.4 Ñîãëàñíî òåîðåìå 3, Ker A èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî G, à, ïîñêîëüêó D1 íåïðèâîäèìî, Ker A = 0 èëè Ker A = R1 (âî âòîðîì ñëó÷àå A = 0). Àíàëîãè÷íî Im A èíâàðèàíòåíîòíîñèòåëüíî G, òî åñòü Im A = R2 èëè Im A = 0.
Ïîñëåäíåå âíîâü ñîîòâåòñòâóåò A = 0.Òàêèì îáðàçîì, ëèáî A = 0, ëèáî Ker A = 0, Im A = R2 , òî åñòü îòîáðàæåíèå A ÿâëÿåòñÿèçîìîðôèçìîì, à ïðåäñòàâëåíèÿ D1 è D2 ýêâèâàëåíòíû. Ðàçáèðàÿ ñëó÷àé ýêâèâàëåíòíîñòèè èñïîëüçóÿ ðàññóæäåíèÿ, ïðèâåä¼ííûå äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïåðâîé ëåììû Øóðà, ïîëó÷èì,÷òî A = λ E . Òåîðåìà 3:1.2.Õàðàêòåðû ëèíåéíûõ ïðåäñòàâëåíèéÎïðåäåëåíèå:G êîíå÷íàÿ ãðóïïà; îòîáðàæåíèå ϕ : G −→ C íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé,3îïðåäåë¼ííîé íà ãðóïïå G. Ñòàíäàðòíûå îïåðàöèè íàä ôóíêöèÿìè((ϕ1 + ϕ2 )(g) = ϕ1 (g) + ϕ2 (g), (α ϕ)(g) = α ϕ(g))ïîçâîëÿþò ðàññìàòðèâàòü ìíîæåñòâî ôóíêöèé, îïðåäåë¼ííûõ íà êîíå÷íîé ãðóïïå, êàêëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî.Îïðåäåëåíèå: G êîíå÷íàÿ ãðóïïà; ôóíêöèÿ ϕ : G −→ C íàçûâàåòñÿ öåíòðàëüíîé,åñëè ∀ f, g ∈ G ϕ(f g) = ϕ(gf ).
Î÷åâèäíî, ÷òî öåíòðàëüíàÿ ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò îäèíàêîâûå çíà÷åíèÿ íà âñåõ ýëåìåíòàõ G, ïðèíàäëåæàùèõ ê îäíîìó êëàññó ñîïðÿæ¼ííûõýëåìåíòîâ.Îïðåäåëåíèå: ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì ôóíêöèé ϕ, ψ , îïðåäåë¼ííûõ íà êîíå÷íîéãðóïïå G (|G| = k ), íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà(ψ, ϕ) =1 X·ψ(g) ϕ(g).k g∈G(1.2.1)åñëè ïîðÿäîê ãðóïïû G ðàâåí k , òî ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà ôóíêöèé,îïðåäåë¼ííûõ íà G, ðàâíà k , à ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà öåíòðàëüíûõ ôóíêöèé, îïðåäåë¼ííûõ íà G, ðàâíà ÷èñëó êëàññîâ ñîïðÿæ¼ííûõ ýëåìåíòîâ G.4 Ïîñòðîèì ëèíåéíî íåçàâèñèìûå ôóíêöèè ϕi (gj ) = δij (i, j = 1, k) (äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè äîñòàòî÷íî ïðèðàâíÿòü ê íóëþ ïðîèçâîëüíóþ ëèíåéíóþêîìáèíàöèþ ϕi è, äîìíîæàÿ å¼ ñêàëÿðíî íà âñå ϕj , óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî êîýôôèöèåíòûëèíåéíîé êîìáèíàöèè ðàâíû íóëþ, ïîñêîëüêó (ϕi , ϕj ) = δij ).
Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè ϕϕ(gi ) = αi , ïîýòîìó ëåãêî ââåñòè ðàçëîæåíèå ϕ ïî îðòîíîðìèðîâàííîìó íàáîðó {ϕi }:kPϕ =αi ϕi . Òàêèì îáðàçîì, {ϕi }ki=1 áàçèñ ïðîñòðàíñòâà ôóíêöèé, îïðåäåë¼ííûõ íàÇàìå÷àíèå:i=1G, à ðàçìåðíîñòü ýòîãî ïðîñòðàíñòâà ðàâíà k. Àíàëîãè÷íóþ ïðîöåäóðó ëåãêî ïðîâåñòèäëÿ öåíòðàëüíûõ ôóíêöèé. Îïðåäåëåíèå: D ëèíåéíîå ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû G â ïðîñòðàíñòâå R.
Õàðàêòåðîìïðåäñòàâëåíèÿ D íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ χD , çàäàííàÿ íà ãðóïïå G ñîîòíîøåíèåìχD (g) = tr D(g).õàðàêòåð ïðåäñòàâëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ öåíòðàëüíîé ôóíêöèåé íà ãðóïïåP G.4 Ïîêàæåì, ÷òî äëÿ ìàòðèö A, B tr(A B) = tr(B A); äåéñòâèòåëüíî, (A B)ii = Aik Bki ,kPPtr(A B) =Aik Bki = (B Akk ) = tr(B A). Òàêèì îáðàçîì,Çàìå÷àíèå:ki,k∀ f, g ∈ G χD (f g) = tr(D(f ) D(g)) = tr(D(g) D(f )) = χD (gf ).
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
