Н.Ф. Степанов - Лекции (1124223), страница 2
Текст из файла (страница 2)
(1.2.2)õàðàêòåðû ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû ìîæíî çàäàâàòü íà êëàññàõ ñîïðÿæ¼ííûõ ýëåìåíòîâ ýòîé ãðóïïû.Ñëåäñòâèå: õàðàêòåðû èçîìîðôíûõ ïðåäñòàâëåíèé ñîâïàäàþòÑëåäñòâèå:(A D1 = D2 A ⇒ D1 = A−1 D2 A ⇒ ∀ g ∈ G χD1 (g) = tr(A−1 D2 (g) A) = tr D2 (g) = χD2 (g)).Çàìå÷àíèå: D ëèíåéíîå ïðåäñòàâëåíèå êîíå÷íîé ãðóïïû G â ïðîñòðàíñòâåR = R1 ⊕ R2 ; D = D1 ⊕ D2 ; òîãäà ∀ g ∈ G χD (g) = χD1 (g) + χD2 (g) (R1 , R2 èíâàðèàíòíûîòíîñèòåëüíî G, ïîýòîìó ïðè íàäëåæàùåì âûáîðå áàçèñà âñå ìàòðèöû D(g) ðàçáèâàþòñÿíà äâà äèàãîíàëüíûõ áëîêà, à õàðàêòåðû ñêëàäûâàþòñÿ).Çàìå÷àíèå: ∀ g ∈ G χD (g −1 ) = χD (g) (êàê áûëî ïîêàçàíî â òåîðåìå 1 (1.1), âñÿêîå ïðåäñòàâëåíèåêîíå÷íîéãðóïïûìîæåòáûòüñäåëàíîóíèòàðíûì,ïîýòîìóD(g −1 ) = (D(g))−1 = D(g)+ ⇒ tr D(g −1 ) = tr D(g)).4Çàìå÷àíèå: äëÿ ëþáîãî ïðåäñòàâëåíèÿ D χD (e) = k, ãäå k ïîðÿäîê ãðóïïû G. ñëó÷àå ðåãóëÿðíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ D ∀ gi , gk 6= e χD (gi ) = 0, ïîñêîëüêó D(gi )egk =egi gk 6= egk (èíà÷å gi gk = gi ⇒ gk = 1, ÷òî íå ñîîòâåòñòâóåò ïðåäïîëîæåíèþ).
Òàêèìîáðàçîì, D(gi )egk íå ñîäåðæèò âêëàäà îò egk , òî åñòü âñå äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû ìàòðèöûD(gi ), à òàêæå å¼ ñëåä ðàâíû íóëþ.(òåîðåìà îðòîãîíàëüíîñòè Âèãíåðà): D1 , D2 óíèòàðíûå íåïðèâîäèìûåïðåäñòàâëåíèÿ êîíå÷íîé ãðóïïû G (|G| = k) â ïðîñòðàíñòâàõ R1 è R2 ñîîòâåòñòâåííî.(1)(2)Dij (g), Dij (g) ýëåìåíòû ìàòðèö D1 (g), D2 (g), çàïèñàííûõ â îðòîíîðìèðîâàííûõ áàçèñàõ. Òîãäà, ðàññìàòðèâàÿ ýòè ýëåìåíòû êàê ôóíêöèè, îïðåäåë¼ííûå íà G, ìîæíî çàïèñàòüîáùåå ñîîòíîøåíèå îðòîãîíàëüíîñòèÒåîðåìà 1(Diα , Djβ ) =1· δij δαβ δD1 D2 ,n(1.2.3)ãäå δD1 D2 = 1 â òîì ñëó÷àå, êîãäà D1 , D2 ýêâèâàëåíòíû, δD1 D2 = 0, åñëè D1 , D2 íåýêâèâàëåíòíû, à n ðàçìåðíîñòü îäíîãî èç ïðåäñòàâëåíèé.P4 Ïóñòü A : R1 −→ R2 ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå; Γ =D2 (g −1 ) A D1 (g) : R1 −→ R2 .g∈GÑíà÷àëà ðàññìîòðèì ñëó÷àé íåýêâèâàëåíòíûõ D1 , D2 .
∀ f ∈ G D−12 (f )Γ D1 (f ) =PP−1−1−1−1= D2 (f )Γ D1 (f ) =D2 (f ) D2 (g ) A D1 (g) D1 (f ) =D2 ((gf ) ) A D1 (gf ) = Γ ⇒g∈G(gf )∈GD2 Γ = Γ D1 , òî åñòü Γ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì âòîðîé ëåììû Øóðà. D1 , D2 íåýêâèâàëåíòíû; çíà÷èò, Γ = 0. Ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò ìàòðèöû îïåðàòîðà Γ:XX (2)(1)γαβ =Dαi (g −1 ) Aij Djβ (g) =g∈G i,j=XAiji,jX(1)(2)Dαi (g) Djβ (g)=kX(2)(1)(1.2.4)Aij (Dαi , Djβ ) = 0,i,jg∈Gïðè÷¼ì ýòî ðàâåíñòâî âûïîëíÿåòñÿ äëÿ ðàçëè÷íûõ A, ïîñêîëüêó âûáîð A ïðîèçâîëåí.(2)(1)Òàêèì îáðàçîì, â ñëó÷àå íåýêâèâàëåíòíûõ D1 , D2 (Dαi , Djβ ) = 0 ∀ i, j, α, β.Ïóñòü òåïåðü D1 è D2 ýêâèâàëåíòíû; êàê áûëî ïîêàçàíî âûøå, Γ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì âòîðîé ëåììû Øóðà, ïîýòîìó Γ = λ E .
Ðàññ÷èòàåì ñëåä îò îáåèõ ÷àñòåé ðàâåíñòâà!XXk Xtr(λ E) = λn = tr Γ = trD(2) (g −1 ) A D(1) (g) =tr A = k tr A ⇒ λ = ·δij Aijni,jg∈Gg∈G(îòîáðàæåíèå A âûáðàíî êàê èçîìîðôèçì, îòâå÷àþùèé óñëîâèþ A D2 = D1 A). Ñ äðóãîéñòîðîíû, ìàòðè÷íûé ýëåìåíò Γ ìîæåò áûòü, â ñîîòâåòñòâèè ñ (1.2.4), çàïèñàí â âèäåγαβ =Xi,jAijXDαi (g −1 ) Djβ (g) = λδαβ = δαβ ·g∈Gk X·δij Aij ,n i,jïðè÷¼ì ýòî ðàâåíñòâî ñïðàâåäëèâî ïðè ðàçëè÷íûõ A .
Òàêèì îáðàçîì,(2)(1)(Dαi , Djβ ) =1· δαβ δij .n(1.2.5)Ñîâîêóïíîñòü (1.2.4) è (1.2.5) ïðèâîäèò ê (1.2.3), äîêàçûâàÿ òåîðåìó. Òåîðåìà 2: D1 , D2 íåïðèâîäèìûå, íåýêâèâàëåíòíûå óíèòàðíûå ïðåäñòàâëåíèÿ êîíå÷íîé ãðóïïû G (|G| = k); òîãäà (χD2 , χD1 ) = 0, (χD1 , χD1 ) = (χD2 , χD2 ) = 1. Òàêèìîáðàçîì, õàðàêòåðû íåïðèâîäèìûõ íåèçîìîðôíûõ ïðåäñòàâëåíèé êîíå÷íîé ãðóïïû îáðàçóþò îðòîíîðìèðîâàííóþ ñèñòåìó ôóíêöèé.54 Ïóñòü ìàòðèöû D1 (g), D2 (g) çàïèñàíû â îðòîíîðìèðîâàííûõ áàçèñàõ; òîãäàX (2) (1)1 X1 XX (2)(1)(χD2 , χD1 ) = ·tr D2 (g) tr D1 (g) = ·Djj (g) Dii (g) =(Djj , Dii ) = 0 (1.2.6)k g∈Gk g∈G i,ji,j ïî ïðåäûäóùåé òåîðåìå. Àíàëîãè÷íîX (1) (1)1 Xδij = 1.
(χD1 , χD1 ) =(Dii , Djj ) = ·n i,ji,j(1.2.7)åñëè ïðîèçâîëüíîå ïðèâîäèìîå ïðåäñòàâëåíèå D ðàñêëàäûâàåòñÿ â ïðÿìóþ ñóììó íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé D1 , . . . Ds , êàæäîå èç êîòîðûõ âñòðå÷àåòñÿ â ýòîésPPñóììå mi ðàç, òî χD =mi χDi . Îòñþäà mi = (χD , χDi ), (χD , χD ) = m2i .  ÷àñòíîñòè,Ñëåäñòâèå:i=1iïðåäñòàâëåíèå íåïðèâîäèìî â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà êâàäðàò åãî õàðàêòåðà ðàâåí åäèíèöå. Ñîîòâåòñòâåííî, ðàçëîæåíèå ïðèâîäèìîãî ïðåäñòàâëåíèÿ â ïðÿìóþ ñóììóíåïðèâîäèìûõ îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî ýêâèâàëåíòíîñòè ñëàãàåìûõ.Ñëåäñòâèå: ïðåäñòàâëåíèÿ êîíå÷íîé ãðóïïû G, èìåþùèå îäèíàêîâûå õàðàêòåðû, ýêâèâàëåíòíû.(Áåðíñàéäà): ñóììà êâàäðàòîâ ðàçìåðíîñòåé âñåõ íåýêâèâàëåíòíûõ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé êîíå÷íîé ãðóïïû G ðàâíà ïîðÿäêó ãðóïïû k .4 Ïóñòü D ðåãóëÿðíîå ïðåäñòàâëåíèå G, à D1 , . .
. Ds âñå íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ G. Ðàçìåðíîñòü i-ãî ïðåäñòàâëåíèÿ ðàâíà ni ; ñîãëàñíî ñëåäñòâèþ èç ïðåäûäóùåéòåîðåìû, Di âõîäèò â D ñ êîýôôèöèåíòîì1k1 XχD (g)χDi (g) = · χD (e)χDi (e) = · ni = ni(χD , χDi ) = ·k g∈GkkÒåîðåìà 3(êàê óæå îòìå÷àëîñü â çàìå÷àíèè ê îïðåäåëåíèþ õàðàêòåðà, χD (e) = k. χD (g) = 0 ∀ g 6= e).pPÒàêèì îáðàçîì, χD = ni χDi . Èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèÿì îðòîãîíàëüíîñòè äëÿ õàðàêòåðîâ,i=1ïîëó÷èì (χD , χD ) =P 2ni = k. P 21ni ; ñ äðóãîé ñòîðîíû, (χD , χD ) =· χD (e)χD (e) = k, ïîýòîìókiiG êîíå÷íàÿ ãðóïïà ïîðÿäêà k ; âñÿêàÿ öåíòðàëüíàÿ ôóíêöèÿ f (g), îïðåäåë¼ííàÿ íà G è îðòîãîíàëüíàÿ ê õàðàêòåðàì âñåõ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé ýòîéãðóïïû, òîæäåñòâåííî ðàâíà íóëþ.4 PÏóñòü D íåïðèâîäèìîå ïðåäñòàâëåíèå G â ïðîñòðàíñòâå R (dim R = n),A(f ) =f (g) D(g) ëèíåéíûé îïåðàòîð.Òåîðåìà 4:g∈G∀ h ∈ G D−1 (h) A(f ) D(h) =XD−1 (h)f (g) D(g) D(h) =g∈G=XXf (g) D(h−1 gh) =g∈Gf (h−1 gh) D(h−1 gh) = A(f ),(h−1 gh)∈Gïîñêîëüêó öåíòðàëüíàÿ ôóíêöèÿ f ïðèíèìàåò îäèíàêîâûå çíà÷åíèÿ íà âñåõ ïðåäñòàâèòåëÿõ îäíîãî êëàññà ñîïðÿæ¼ííûõ ýëåìåíòîâ.
Ñîîòâåòñòâåííî, A(f ) D = D A(f ), òî åñòü A(f )óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì ïåðâîé ëåììû Øóðà, à ïîòîìó A(f ) = λ E . Âû÷èñëèì ñëåä (n ðàçìåðíîñòü D): XX λn = tr A(f ) =tr f (g) D(g) =f (g)χD (g) = k(f, χD );g∈Gg∈G6Pkk(f, χD ),f (g) D(g) = (f, χD ) E = 0, ïîñêîëüêó f îðòîãîíàëüíà êî âñåìnng∈Gíåïðèâîäèìûì ïðåäñòàâëåíèÿì G. D(g) 6= 0 ∀ g ∈ G, çíà÷èò, f (g) = 0 ∀ g ∈ G ⇒ f ≡ 0. Ñëåäñòâèå: ÷èñëî íåýêâèâàëåíòíûõ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé êîíå÷íîé ãðóïïûG ðàâíî ÷èñëó êëàññîâ ñîïðÿæ¼ííûõ ýëåìåíòîâ ýòîé ãðóïïû.4 Ïóñòü D1 , .
. . Ds íàáîð âñåõ íåýêâèâàëåíòíûõ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé G.Òîãäà, ñîãëàñíî òåîðåìå 2, {χDi (g)}si=1 îáðàçóþò îðòîíîðìèðîâàííóþ ñèñòåìó öåíòðàëüíûõ ôóíêöèé, îïðåäåë¼ííûõ íà G. Ýòà ñèñòåìà ïîëíà, ïîñêîëüêó, ïî òåîðåìå, âñÿêàÿ öåíòðàëüíàÿ ôóíêöèÿ, îðòîãîíàëüíàÿ êî âñåì χDi , òîæäåñòâåííî ðàâíà íóëþ. Òàêèì îáðàçîì,ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà öåíòðàëüíûõ ôóíêöèé ðàâíà p; íî, ñ äðóãîé ñòîðîíû, ðàçìåðíîñòü ýòîãî ïðîñòðàíñòâà ðàâíà ÷èñëó êëàññîâ ñîïðÿæ¼ííûõ ýëåìåíòîâ (ñì.
çàìå÷àíèå êîïðåäåëåíèþ öåíòðàëüíîé ôóíêöèè), ÷òî äîêàçûâàåò óòâåðæäåíèå. îòñþäà λ =G êîíå÷íàÿ ãðóïïà ïîðÿäêà k ; D ïðåäñòàâëåíèå G â ïðîñòðàíñòâå R,à Γ íåïðèâîäèìîå ïðåäñòàâëåíèå â ïðîñòðàíñòâå RΓ ⊂ R (dim RΓ = n); òîãäà îïåðàòîðn PP= ·χΓ (g) D(g) ÿâëÿåòñÿ ïðîåêòîðîì íà RΓ .k g∈G4 Ïðîâåðèì, ÷òî P ÿâëÿåòñÿ ïðîåêòîðîì, òî åñòü P+ = P, P2 = P .
Êàê áûëî ïîêàçàíîâ òåîðåìå 1 (1.1), âñÿêîå ïðåäñòàâëåíèå ìîæåò áûòü ïðèâåäåíî ê óíèòàðíîìó, ïîýòîìón Xn XχΓ (g) D−1 (g) = ·χΓ (g −1 ) D(g −1 ) = P .P+ = ·k g∈Gk −1Òåîðåìà 5:g∈G2n XP2 = 2χΓ (g)χΓ (h) D(g) D(h).k g,h∈G(1.2.8)Âûáåðåì g̃ ∈ G : h = g −1 g̃, òîãäàχΓ (h) = tr(Γ(g −1 )Γ(g̃)) =XXiγiα (g −1 )γαi (g̃),αãäå γij (g) ýëåìåíòû ìàòðèöû îïåðàòîðà Γ(g), çàïèñàííîé â îðòîíîìèðîâàííîì áàçèñå.Ïîäñòàâëÿÿ â (1.2.8), ïîëó÷èìP2 =n2 X Xn2 XX−1·γ(g)γ(g)γ(g̃)D(g)D(g)D(g̃)=·(γjj , γiα )γαi (g̃) D(g̃) =jjiααik 2 g,g̃∈G i,j,αk g̃∈G i,j,αn Xn XXγii (g̃) D(g̃) = ·χΓ (g̃) D(g̃) = P,= ·k g̃∈G ik g̃∈G1· δij δαj ñîãëàñíî (1.2.3).nÒåïåðü óáåäèìñÿ â òîì, ÷òî P ïðîåêòèðóåò âåêòîðû R íà RΓ .
Ïóñòü dim R = N, {ei }ni=1⊥ îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ RΓ , à {ei }Ni=n+1 îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ RΓ .!!nXXn X Xγjj (g)Dli (g)el = n (γjj , Dli )el .∀ i P ei = ·k g∈G j=1lj,lïîñêîëüêó (γiα , γjj ) =l äîñòàòî÷íî áðàòü ëèøü â ãðàíèöàõ òîãî èíâàðèàíòíîãî îòíîñèòåëüíî G ïîäïðîñòðàíñòâàR, êîòîðîìó ïðèíàäëåæèò ei , ïîýòîìó ïîä çíàêîì ñóììû âñåãäà ñòîèò ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ äâóõ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé. Ñîãëàñíî (1.2.3) ýòîñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå îòëè÷íî îò íóëÿ ëèøü â ñëó÷àå ei ∈ RΓ .
Òàêèì îáðàçîì, P ïåðåâîäèò â íîëü âñå áàçèñíûå âåêòîðû RΓ⊥ , ñîõðàíÿÿ áàçèñíûå âåêòîðû RΓ â RΓ , òî åñòü Päåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ ïðîåêòîðîì íà RΓ . 71.3.Ïðîèçâåäåíèÿ ãðóïï è ïðåäñòàâëåíèéÎïðåäåëåíèå:òåíçîðíûì ïðîèçâåäåíèåì êâàäðàòíûõ ìàòðèö A, B (âîçìîæíî, ðàç-íîãî ðàçìåðà) íàçûâàþò ìàòðèöó, ñîñòàâëåííóþ èç áëîêîâ Aik B, ïðè÷¼ì ýëåìåíòû òàêîéìàòðèöû îáû÷íî íóìåðóþò íå äâóìÿ, à ÷åòûðüìÿ èíäåêñàìè ((A ⊗ B)ij,kl = Aik Bjl ), êîòîðûå ñîîòâåòñòâóþò íîìåðàì ýëåìåíòîâ â ìàòðèöàõ ñîìíîæèòåëåé.Çàìå÷àíèå: åñëè ïðîèçâåäåíèÿ A B, C D îïðåäåëåíû, òîXXX[(A B) ⊗ (C D)]ij,kl = (A B)ik (C D)jl =Aiα Bαk ·Cjβ Dβl =(Aiα Cjβ )(Bαk Dβl ) =α=Xβα,β(A ⊗ C)ij,αβ (B ⊗ D)αβ,kl = [(A ⊗ C)(B ⊗ D)]ij,kl ⇒α,β⇒ (A B) ⊗ (C D) = (A ⊗ C)(B ⊗ D).(1.3.1)12R1 , R2 ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà ñ áàçèñàìè {ei }ni=1, {fj }nj=1ñîîòâåòn1 ,n2ñòâåííî. Ïðîñòðàíñòâî R, íàòÿíóòîå íà âåêòîðû {ei fj }i,j=1 (â îáùåì ñëó÷àå ïîä ei fj ïîíèìàåòñÿ ïðîñòàÿ êîìáèíàöèÿ äâóõ ýëåìåíòîâ, êîòîðàÿ, îäíàêî, ìîæåò áûòü è èõ ïðîèçâåäåíèåì) íàçûâàåòñÿ òåíçîðíûì (êðîíåêåðîâñêèì ) ïðîèçâåäåíèåì R1 , R2 â òîì ñëó÷àå, êîãäàïðåîáðàçîâàíèå áàçèñà R1 ìàòðèöåé A1 , à ïðåîáðàçîâàíèå áàçèñà R2 ìàòðèöåé A2 ïðèâîäèòê ïðåîáðàçîâàíèþ áàçèñà R ìàòðèöåé (A1 ⊗ A2 ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
