К.А. Казаков - Введение в теоретическую и квантовую механику (1124202), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Поскольку суммирование в формулах(11.20) идет по разным переменным, то порядок действия операторов ŝ1 , ŝ2 не важен:используя формулы (11.20), находим по определению произведения операторовX(s)σ1 σ10 (ŝ2 χ)(σ10 , σ2 )({ŝ1 ŝ2 }χ) (σ1 , σ2 ) = (ŝ1 (ŝ2 χ)) (σ1 , σ2 ) =σ10XXXX(s)σ1 σ10 χ(σ10 , σ20 )(s)σ2 σ20(s)σ1 σ10(s)σ2 σ20 χ(σ10 , σ20 ) ==σ10σ20σ20σ10X=(s)σ2 σ20 (ŝ1 χ)(σ1 , σ20 ) = (ŝ2 (ŝ1 χ)) (σ1 , σ2 ) = ({ŝ2 ŝ1 }χ) (σ1 , σ2 ) ,(11.21)σ20где фигурные скобки указывают, что под произведением векторов ŝ1 , ŝ2 понимается простое произведение каких-либо их компонент.
Таким образом,ŝ1 ŝ2 − ŝ2 ŝ1 = 0 .Отсюда следует, что компоненты полного спина удовлетворяют тем же коммутационнымсоотношениям, что и операторы ŝ1,2 . Имеем, например,[ŝx , ŝy ] = [ŝx1 + ŝx2 , ŝy1 + ŝy2 ] = [ŝx1 , ŝy1 ] + [ŝx2 , ŝy2 ] = iŝz1 + iŝz2 = iŝz .Отсюда следует, в частности, что квадрат полного спина коммутирует с проекций полногоспина на ось z (см. §9.4A). Далее, оба эти оператора коммутируют с квадратами спиновŝ1,2 . Действительно,ŝ2 = (ŝ1 + ŝ2 )(ŝ1 + ŝ2 ) = ŝ21 + ŝ22 + 2(ŝ1 ŝ2 ) .(11.22)Поскольку ŝ21 коммутирует со всеми компонентами ŝ1 , а также по только что доказанномусо всеми компонентами ŝ2 , то [ŝ2 , ŝ21 ] = 0 .
Аналогично доказывается, что [ŝz , ŝ21,2 ] = 0 . Однако ŝ2 не коммутирует с компонентами ŝ1,2 по отдельности: например, хотя ŝz1 коммутирует с первыми двумя слагаемыми в правой части (11.22), но не коммутирует с последним,поскольку [ŝz1 , ŝx1 ] 6= 0, [ŝz1 , ŝy1 ] 6= 0. Как мы знаем из §7.5A, коммутативность операторовŝ2 , ŝ21 , ŝ22 , ŝz означает, что они имеют полную систему совместных собственных функций.В состояниях, описываемых такими функциями, все четыре величины s2 , s21 , s22 , sz имеют определенные значения, а в силу принципа неопределенности (§7.5B) значения величин sz1 , sz2 , вообще говоря, не определены.
Наоборот, операторы ŝ21 , ŝ22 , ŝz1 , ŝz2 также всекоммутируют друг с другом, и потому имеют полную систему совместных собственныхфункций. В соответствующих состояниях s21 , s22 , sz1 , sz2 имеют определенные значения, аs2 не определен. С физической точки зрения наиболее интересными являются состоянияпервого типа, поскольку взаимодействия между частицами обычно приводят к установлению определенной величины именно квадрата полного спина. Построим эти состояния.209Глава 11. СпинВообще говоря, для этого надо решить следующую систему уравнений на собственныефункции и собственные значенияŝ2 χ = s(s + 1)χ ,ŝz χ = σχ ,ŝ21 χ = s1 (s1 + 1) χ ,ŝ22 χ = s2 (s2 + 1) χ ,где неизвестными являются функции χ = χ(σ1 , σ2 ) и числа s, σ (а числа s1 , s2 равны поусловию 1/2).
Однако проще и нагляднее найти эти состояния, используя известные намсвойства собственных функций и собственных значений. Определим сперва спектр оператора ŝz = ŝ1z + ŝ2z . Спектр данного оператора является характеристикой этого оператораи не зависит от того, какие другие операторы выбираются в качестве набора коммутирующих с ним операторов. Поэтому собственные значения ŝz можно найти, рассматриваясостояния χ, в которых вместе с sz имеют определенные значения и величины s1z , s2z .Действуя на такое состояние оператором ŝz = ŝ1z + ŝ2z , получаем σχ = σ1 χ + σ2 χ, откудаσ = σ1 + σ2 .Поскольку каждая из проекций σ1,2 может принимать значения ±1/2, то из полученногоравенства следует, что собственными значениями ŝz являются σ = +1, 0, −1.
Далее, поопределению числа s оно равняется наибольшему из возможных значений проекции наось z при заданном значении квадрата спина. Мы еще не знаем, какие значения можетпринимать квадрат спина и какие из найденных значений σ им соответствуют, но поскольку среди трех значений ±1, 0 максимальным является +1, то ясно, что одним иззначений s является s = 1, и это значение является максимально возможным. При этомзначении полного спина его проекция σ пробегает значения +1, 0, −1, т.е. все возможныесобственные значения оператора ŝz . Это, однако, не означает, что s = 1 является единственным возможным значением полного спина, поскольку состояние с s = 0 также имеетσ = 0. Легко видеть, что состояние с s = 0 действительно должно существовать. Это следует уже из простого подсчета общего числа собственных функций.
С математическойточки зрения, переход от собственных функций одного набора коммутирующих операторов к собственным функциям другого такого набора представляет собой смену базиса впространстве состояний. Поскольку число векторов базиса должно при этом оставатьсянеизменным, то число состояний с определенной величиной квадрата полного спина врассматриваемом случае должно равняться четырем. Действительно, при заданных значениях s1 = s2 = 1/2 базис собственных функций набора ŝ21 , ŝ22 , ŝz1 , ŝz2 состоит из четырехфункций вида χσ̃1 σ̃2 (σ1 , σ2 ) = χσ̃1 (σ1 )χσ̃2 (σ2 ) , соответствующих четырем возможным комбинациям σ̃1 = σ̃2 = 1/2, σ̃1 = −σ̃2 = 1/2, σ̃1 = −σ̃2 = −1/2 и σ̃1 = σ̃2 = −1/2. С другойстороны, состоянию с s = 1 в новом базисе соответствуют лишь три собственных функциис σ = ±1, 0, поэтому недостающая четвертая функция должна соответствовать состояниюс s = 0.
Этот результат можно интерпретировать наглядно, сказав, что состояния с s = 1и s = 0 описывают конфигурации спинов, в которых векторы спинов соответственно параллельны и антипараллельны друг другу. Однако при этом ни сами эти векторы, ни ихсумма не имеют определенного направления относительно осей x, y, z.Найдем теперь явный вид собственных функций состояний с определенным полнымспином. Наиболее прост случай s = 1, σ = 1. В этом случае не только sz но и s1z , s2zдолжны иметь определенные значения, равные 1/2. Действительно, поскольку 1/2 естьмаксимально возможное значение для каждого из s1z , s2z , то любая неопределенность в ихзначении привела бы к уменьшению их средних значений.
Но тогда и сумма этих среднихs1z + s2z = sz была бы меньше единицы, тогда как по условию она равна единице. Таким210§11.4. Сложение спиновобразом, собственная функция состояния с s = 1, σ = 1 имеет видχs=σ=1 (σ1 , σ2 ) = χ1/2 (σ1 )χ1/2 (σ2 ) ,где χ1/2 (σ) дается формулой (11.10) с σ̃ = 1/2. Непосредственной подстановкой этоговыражения в уравнение ŝz χ = σχ нетрудно убедиться, что σ действительно равно 1.Как мы знаем, фазу α в (11.10) можно выбрать произвольно для какого-либо одногосостояния, и тогда фазы состояний с другими σ̃ автоматически определятся из условияположительности матричных элементов повышающего оператора. Положим, например,α = 0 в состоянии с σ̃ = 1/2, т.е.
возьмем собственную функцию этого состояния длякаждой из частиц в виде½1 , σ = 21 ,χ1/2 (σ) = δ 1 ,σ =20 , σ = − 21 .Тогда собственная функция полной системы с s = σ = 1 примет видχs=σ=1 (σ1 , σ2 ) = δ 1 ,σ1 δ 1 ,σ2 .22Это выражение удобно изобразить графически, используя введенное выше представлениефункций χσ̃ (σ) в виде столбцовµ ¶ µ ¶11,(11.23)χs=σ=1 =0 1 0 2где нижний индекс у скобок указывает на систему, к которой относится данный столбец.Состояния с s = 1 и σ = 0 можно построить, используя основное свойство понижающегооператора ŝ− , а именно, что он переводит собственную функцию с данным σ̃ в собственнуюфункцию с σ̃ − 1.
С помощью формулы (11.15) оператор ŝ = ŝ1− + ŝ2− запишется вматричном виде ка굶µ¶0 00 0ŝ− =+,(11.24)1 0 11 0 2где нижний индекс у матрицы указывает на какой столбец умножается данная матрицапри составлении выражения ŝ− χ. Действуя этим оператором на вектор (11.23), находимвектор χs=1,σ=0 :(µµ¶ )µ ¶ µ ¶¶0 00 011+χs=1,σ=0 = ŝ− χs=σ=1 =1 0 11 0 20 1 0 2(µ¶ µ ¶)µ ¶ (µ¶ µ ¶ )µ ¶10 01110 0+=1 0 2 0 20 10 21 0 1 0 1µ ¶ µ ¶µ ¶ µ ¶0110.(11.25)+=0 1 1 21 1 0 2Нормируем этот вектор. Для этого вычислим его скалярный квадрат по формуле (10.9).В данном случае “координата” n состоит из двух индексов σ1 , σ2 и поэтому формула (10.9)имеет видX(χ1 , χ2 ) =χ∗1 (σ1 , σ2 )χ2 (σ1 , σ2 ) .(11.26)σ1 ,σ2211Глава 11.
СпинВ соответствии с этой формулой выражение (χs=1,σ=0 , χs=1,σ=0 ) представится в виде четырех слагаемых, каждое из которых является произведением скалярных квадратов векторов состояния первой и второй частиц(χs=1,σ=0 , χs=1,σ=0 )((µ ¶ )(µ ¶)µ ¶ )(µ ¶)0110= (0 1)1(1 0)2+ 2 (0 1)1(1 0)21 10 20 11 2(µ ¶ )(µ ¶)10+ (1 0)1(0 1)2= 1 × 1 + 2 × 0 × 0 + 1 × 1 = 2.0 11 2Таким образом, нормированный собственный вектор с s = 1, σ = 0 имеет вид(µ ¶ µ ¶µ ¶ µ ¶)10110χs=1,σ=0 = √+.1 1 0 20 1 1 22(11.27)Заметим, что нормировочный множитель этого вектора выбран положительным, так чтобы не изменить его фазу, которая уже фиксирована соглашением о выборе фаз матричныхэлементов повышающего оператора. Действуя на этот вектор оператором ŝ− еще раз инормируя результат, получим вектор состояния с s = 1, σ = −1:µ ¶ µ ¶00.χs=1,σ=−1 =1 1 1 2Нам осталось найти собственный вектор состояния с s = 0.
Это легко сделать с помощьютеоремы об ортогональности собственных функций эрмитова оператора, соответствующих различным собственным значениям (см. §7.4B). А именно, вектор χs=0 должен бытьортогонален всем трем найденным выше векторам с s = 1. Поскольку при s = 0 также иσ = 0, то искомый вектор должен являться линейной комбинацией векторовµ ¶ µ ¶µ ¶ µ ¶0110,.1 1 0 20 1 1 2Легко видеть, что таким вектором является(µ ¶ µ ¶µ ¶ µ ¶)10110χs=0,σ=0 = √−,1 1 0 20 1 1 22(11.28)что нетрудно проверить, вычислив скалярное произведение этого вектора с вектором(11.27).Проведенное рассуждение непосредственно обобщается на системы с любым спиноми применимо также к сложению моментов или момента со спином. Если данная система состоит из двух подсистем со спинами s1 и s2 , то максимально возможное значениепроекции на ось z вектора полного спина равно s1 + s2 , и поэтому наибольшее значениеполного спина есть smax = s1 +s2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
