К.А. Казаков - Введение в теоретическую и квантовую механику (1124202), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Итак, функция Лагранжа атома после усреднения по электронномудвижению принимает следующий простой видL=eµṘ2+(M , H) .22mcПоскольку второй член, по доказанному, зависит лишь от координат атома, то обобщенный импульс атома P = ∂L/∂ Ṙ = µṘ, а его функция ГамильтонаH=eP2−(M , H) .2µ2mc(11.33)В неоднородном поле наличие второго члена приводит к появлению силы, действующейна атом,e ∂(M , H) .F =−2mc ∂R216§11.5. Опыт Штерна-ГерлахаРассмотрим простейший случай, когда всего лишь одна компонента H отлична от нуля:H = (0, 0, Hz ).
ТогдаeMz ∂HzF =−.2mc ∂RТаким образом, в этом случае сила действует в направлении градиента поля. Если в условиях эксперимента Штерна-Герлаха момент импульса атома отличен от нуля, то моментыатомов в пучке хаотически разбросаны по всем направлениям, поскольку для испаряющихся атомов все направления термодинамически эквивалентны.
Это значит, что в пучкеимеются атомы со всеми Mz ∈ [−|M |, +|M |]. Отсюда следует, что с классической точки зрения после прохождения магнитного поля атомы, осаждающиеся на экране, должныбыли бы образовать непрерывную полосу вдоль проекции градиента Hz на плоскость экрана. С точки же зрения квантовой теории результат должен получиться иной. Посколькупри заданной величине M = ~L момента импульса его проекция на любое направлениеможет принимать лишь (2L + 1) дискретных значений, то вместо непрерывной полосы наэкране должно образоваться (2L + 1) точек, т.е. исходный пучок должен разделиться на(2L + 1) компоненту.
В частности, пучок атомов серебра вообще не должен разделяться.Действительно, если в процессе испарения атомов в печи и происходит их возбуждение, тоони быстро переходят в нормальное состояние за счет излучения фотонов электронами.В нормальном же состоянии атома серебра L = 0 (см. пример 47). Но опыт показал, чтопучок атомов серебра разделяется на две компоненты. Этот результат никак не мог бытьобъяснен в рамках бесспиновой квантовой механики, поскольку число компонент в любомслучае должно быть нечетным (т.к.
L – целое число). Американские физики С. Гаудсмити Д. Уленбек заметили в 1925 г., что этот и многие другие экспериментальные фактыможно объяснить, если предположить существование у электрона полуцелого “внутреннего” момента импульса – спина. Например, полный электронный спин атома серебра внормальном состоянии S = 1/2 (см. пример 47), что соответствует разделению пучка надве компоненты – с Sz = +1/2 и Sz = −1/2.
При этом более детальный анализ данныхнаблюдений показал, что спин электрона взаимодействует с магнитным полем в два разасильнее обычного момента импульса. Из выражения (11.33) и постулата III следует, чтогамильтониан взаимодействия обычного момента M = ~L с магнитным полем естьĤL = −e~(L̂, H) .2mc(11.34)Поэтому В. Паули постулировал в 1927 г., что оператор энергии взаимодействия спинаэлектрона ~s с магнитным полем имеет видĤs = −e~(ŝ, H) ,mc(11.35)а уравнение Шредингера для электрона при наличии магнитного поля должно записываться в следующей матричной форме¶2µe~1e∂Ψ∂=− A Ψ−(ŝ, H)Ψ ,(11.36)i~−i~∂t2m∂r cmcгде матрицы ŝ даются выражениями (11.16). Как всегда, ŝ действует на столбец Ψ поправилу умножения “строка на столбец.” Это уравнение называют уравнением Паули.
Онобыло строго получено в рамках релятивистской квантовой теории английским физикомП. Дираком в 1928 г.217Глава 11. СпинПример 48. Прецессия спина в магнитном поле. Формула (11.33) показывает, что атомвзаимодействует с внешним магнитным полем через электронный момент. При выводеэтой формулы влиянием поля на внутреннее состояние атома, в частности, на величинумомента, пренебрегалось. Рассмотрим теперь это влияние. Для этого заметим, что наиболее “чувствительным” к внешнему полю является именно момент, точнее, его направление.Действительно, энергия свободного атома не зависит от его ориентации в пространстве,а эта ориентация определяется направлением вектора M . Поэтому для изменения направления M достаточно сколь угодно малого момента силы. Поскольку магнитное полене совершает работы, то это изменение не должно сопровождаться изменением энергииатома в поле.
Из формулы (11.33) поэтому следует, что для этого должно оставаться постоянным скалярное произведение (M , H). Так как величина |M | также постоянна, этоозначает, что вектор M вращается вокруг направления H, составляя с ним постоянныйугол. Для того чтобы строго обосновать этот вывод, достаточно рассмотреть поведениевектора спина, поскольку векторы M и s одинаково взаимодействуют с магнитным полем[ср. формулы (11.34), (11.35)].Будем искать решение уравнения (11.36) в видеΨ(r, t) = ϕ(r, t)χ(t) ,где ϕ(r, t) есть обычная волновая функция, удовлетворяющая уравнению Шредингерадля бесспиновой частицы в однородном магнитном поле (см.
§9.3)∂ϕ1i~=∂t2mµ¶2∂e−i~− A ϕ,∂r cаµχ(t) =a(t)b(t)(11.37)¶.Подстановка в уравнение (11.36) с учетом того, что χ не зависит от координат, дает∂ϕdχ1i~ χ + i~ ϕ = χ∂tdt2mµ∂e−i~− A∂r c¶2ϕ−ϕe~(ŝ, H)χ .mc(11.38)Поскольку ϕ(r, t) удовлетворяет (11.37), уравнение (11.38) сводится к следующему уравнению для χ(t):i~dχe~= − (ŝ, H)χ .dtmc(11.39)Выберем ось z в направлении вектора H. Тогда (ŝ, H) = ŝz H. Используя выражение(11.16) для ŝz и расписывая уравнение (11.39) в компонентах, приходим к двум уравнениям для функций a(t), b(t):ida= ωa ,dtidb= −ωb ,dtω=|e|H.2mcРешение этих уравнений имеет видa(t) = Ae−iωt ,218b(t) = Beiωt ,(11.40)§12.1. Стационарная теория возмущенийгде A, B – постоянные, определяемые начальными условиями и условием нормировки|A|2 + |B|2 = 1.
Вычислим средние значения компонент спина. С помощью выражений(11.16) имеемµ ¶· µ¶ µ ¶¸1 0 11 ∗ ∗1ab∗∗sx = (χ, ŝx χ) = (a b )= (a b )= (a∗ b + b∗ a) ,2 1 022baилиsx = Re(a∗ b) = Re(A∗ Be2iωt ) .Аналогично находим1sy = (−ia∗ b + ib∗ a) = Im(A∗ Be2iωt ) ,211sz = (|a|2 − |b|2 ) = (|A|2 − |B|2 ) .22Если записать числа A, B, выделив явно их модуль и фазу, как A = |A|eiα , B = |B|eiβ , тополучим окончательноsx = |A||B| cos(2ωt + γ) ,sy = |A||B| sin(2ωt + γ) ,1sz = (|A|2 − |B|2 ) ,2где γ = β − α.
Наконец, в силу условия нормировки |s| = 1/2 . Полученные формулы иозначают, что вектор s равномерно вращается с частотой 2ω = |e|H/mc вокруг вектораH, составляя с ним постоянный угол θ = arccos(|A|2 − |B|2 ).Глава 12.ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙЗа исключением простейших случаев типа рассмотренных в предыдущих параграфах,точные решения уравнения Шредингера не могут быть найдены явно. Однако на практике часто встречаются системы, гамильтонианы которых имеют вид Ĥ = Ĥ0 + V̂ , гдеĤ0 – гамильтониан, для которого уравнение Шредингера решается просто, а V̂ – оператор,описывающий взаимодействие системы, которое по тем или иным причинам является слабым.
В этом случае решения уравнения Шредингера могут быть найдены приближенно.При этом систему, описываемую гамильтонианом Ĥ0 , называют невозмущенной, операторV̂ – возмущением, а методы нахождения приближенных решений – теорией возмущений.§12.1.Стационарная теория возмущенийРассмотрим сначала случай, когда оба оператора Ĥ0 , V̂ не зависят от времени, причем(0)(0)оператор Ĥ0 имеет дискретный спектр. Обозначим через ψn , En собственные векторыи собственные значения невозмущенного гамильтонианаĤ0 ψn(0) = En(0) ψn(0) .(0)(0)(12.1)(0)По условию, ψn , En известны.
Как обычно, система векторов {ψn } будет предполагаться ортонормированной. Нам надо найти решения уравнения Шредингера возмущеннойсистемы(Ĥ0 + V̂ )ψn = En ψn .219(12.2)Глава 12. Теория возмущенийПо теореме о разложении искомые векторы можно представить в видеX(0)ψn =cmn ψm,(12.3)mгде cmn – неизвестные коэффициенты. Подстановка этого разложения в уравнение (12.2)с учетом линейности операторов и уравнения (12.1) даетXX(0)(0)(0)cmn (Em+ V̂ )ψm= Encmn ψm.mm(0)Умножая последнее уравнение скалярно на вектор ψk и используя ортонормированность(0)векторов {ψn }, получаем следующую систему уравнений для коэффициентов cmnX(0)ckn (En − Ek ) =Vkm cmn ,(12.4)mгде обозначено(0)(0)Vkm = (ψk , V̂ ψm).Для любых данных значений номеров k, m число Vkm называется матричным элементом(0)(0)возмущения для перехода из состояния ψm в состояние ψk , а набор этих величин для(0)всех k, m – матрицей возмущения (в базисе {ψn }).
До сих пор предположение о малости возмущения нигде не было использовано, так что система (12.4) является точной.Используем теперь это предположение для нахождения приближенных решений системы (12.4) в виде рядов по степеням малости возмущения. Для того чтобы построить этиряды, необходимо найти малый безразмерный параметр.
Для этого мы поступим следующим образом: сначала введем такой параметр малости искусственно, заменив операторвозмущения V̂ на εV̂ , где ε ∈ [0, 1] – некоторое число, по степеням которого будет вестисьразложение, а затем исследуем возможность положить ε = 1, что и даст нам критерийприменимости разложения. Итак, вместо (12.4) мы рассматриваем уравнениеX(0)ckn (En − Ek ) = εVkm cmn , ∀ k,(12.5)mпричем ищем неизвестные числа ckn , En в виде(0)(1)(2)ckn = ckn + εckn + ε2 ckn + · · · ,(2)En = En(0) + εEn(1) + ε2 Ek .(12.6)Здесь учтено, что в нулевом порядке, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
