К.А. Казаков - Введение в теоретическую и квантовую механику (1124202), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Этого всегдаможно добиться, поскольку ~ имеет размерность масса·длина2 /время. Тогда уравнениеШредингера примет видψ 00 + (2E − x2 )ψ = 0 .(8.46)Поскольку коэффициенты этого уравнения являются целыми степенями x, его решениеестественно искать также в виде разложения по целым степеням x. Для этого удобносперва перейти к новой неизвестной функции p(x) согласноψ(x) = p(x)e−xИмеем2 /2.2 /2ψ 00 = (p00 − 2xp0 − p + x2 p)e−x2 /2и поэтому после сокращения на e−x,уравнение (8.46) принимает видp00 − 2xp0 + (2E − 1)p = 0 .Подставляя в это уравнение разложениеp(x) =∞Xak xk ,(8.47)k=0где ak – неизвестные вещественные коэффициенты, получаем∞Xak {k(k − 1)xk−2 − 2kxk + (2E − 1)xk } = 0 .k=0Сдвигая в первом члене переменную суммирования k → k + 2, это уравнение можнопереписать как∞X{ak+2 (k + 2)(k + 1) − ak (2k − 2E + 1)}xk = 0 .k=0160§8.5.
Гармонический осцилляторВ силу линейной независимости различных степеней x их коэффициенты должны обращаться в нуль:ak+2 (k + 2)(k + 1) − ak (2k − 2E + 1) = 0 ,k = 0, 1, 2, ...(8.48)Как мы знаем, собственные функции гамильтониана ψ(x) должны быть либо четными,либо нечетными. То же самое относится и к функциям p(x), т.к. они отличаются от ψ(x)2четным множителем e−x /2 . Это значит, что в разложении (8.47) отличны от нуля лишькоэффициенты либо только с четными, либо только с нечетными номерами. Итак, цепочка уравнений (8.48) позволяет найти все члены ряда (8.47) по его первому члену.Первым членом четного решения является член a0 , а первым членом нечетного – членa1 x.
Согласно общей теории дифференциальных уравнений, при любом значении энергииE уравнение Шредингера имеет два линейно-независимых решения, и в данном случаеэти решения определяются, как мы видим, заданием коэффициентов a0 и a1 . Выяснимтеперь, какие из этих решений являются собственными функциями гамильтониана. Дляэтого надо найти те из них, которые являются ограниченными при |x| → ∞.
Хотя функ22ции ψ(x) и содержат быстро убывающий фактор e−x /2 , так что каждый член e−x xk вотдельности стремится к нулю при |x| → ∞, сумма ряда (8.46) может оказаться функ2цией, возрастающей при больших |x| быстрее ex /2 . Последнее должно иметь место насамом деле для всех E за исключением счетного числа значений, поскольку нам заранееизвестно, что спектр энергии в рассматриваемом случае является дискретным. Проверимэто, например, в случае четного решения.
Заметим, что для этого достаточно найти видak при больших k. Действительно, для выяснения ограниченности решения при |x| → ∞вид любого конечного числа первых членов ряда несуществен, поскольку произведение2любого полинома по x на e−x /2 стремится к нулю в этом пределе. С другой стороны, длядостаточно больших k соотношение (8.48) можно переписать такak+2 =2k − 2E + 12ak ≈ak(k + 2)(k + 1)k+2(2 в знаменателе сохранено здесь для удобства последующих вычислений).
Хотя последнее равенство справедливо для достаточно больших k, удобно распространить его на всеk, т.к., как только что было указано, вид начального отрезка ряда для нас сейчас несуществен. Тогда, полагая k = 2m, m ∈ N, находим последовательноa2m+2 =a2ma2m−2a2m−4a0=== ··· =.m+1(m + 1)m(m + 1)m(m − 1)(m + 1)!Поэтому поведение ряда (8.47) при больших |x| совпадает с поведением следующего ряда∞Xm=0a2m x2m∞∞XXa0 2m(x2 )m2=x = a0= a0 ex .m!m!m=0m=022Мы видим, таким образом, что ψ(x) = p(x)e−x /2 → a0 ex /2 → ∞ при |x| → ∞, т.е.решение является неограниченным при больших |x|. Этот же результат получается и длянечетных решений [в этом случае соотношение (8.48) при больших n удобно переписатьв виде ak+2 = 2ak /(k + 1)].Приведенное рассуждение, однако, не учитывает ту возможность, что коэффициентыak могут обратиться тождественно в нуль при k > n, где n – натуральное число (включая161Глава 8.
Одномерное движениенуль). Действительно, если энергия такова, что при некотором n выполняется равенство2n − 2E + 1 = 0, то из уравнений (8.48) следует, что an+2 = 0, а потому также и ak = 0для всех k > n, так что решение, соответствующее этому E оказывается ограниченным.Итак, мы приходим к следующей формуле, определяющей энергетический спектр гармонического осциллятора,En = n +1,2n = 0, 1, 2, ...(8.49)Найдем явный вид собственных функций для нескольких низших уровней. При n = 0уравнения (8.48) дают a2m = 0 для всех m > 0, так что волновая функция нормальногосостояния осциллятора имеет видψ0 (x) = a0 e−x2 /2.(8.50)Аналогично, при n = 1 имеем a2m+1 = 0 для всех m > 0, и поэтому волновая функцияпервого возбужденного уровня есть2 /2ψ1 (x) = a1 xe−x.(8.51)Далее, при n = 2 уравнения (8.48) дают a2 = −2a0 и a2m = 0 для всех m > 1, и поэтому2 /2ψ2 (x) = a2 (x2 − 1/2)e−x.(8.52)Произвольные постоянные a0 , a1 , a2 в этих формулах отвечают за нормировку собственных функций.
Для нахождения нормировочных интегралов требуется вычислить интегралы видаZ+∞2In =dxx2n e−x , n ∈ N .−∞Это можно сделать с помощью следующего приема. Рассмотрим вспомогательный интегралZ+∞2I(α) =dxe−αx ,(8.53)−∞где α – произвольное положительное число. Интеграл In может быть выражен через n-юпроизводную от I(α) по параметру α.
Действительно, дифференцируя обе части определения (8.53), имеемZ+∞∂I(α)2=−dxx2 e−αx ,∂α−∞откуда следует, что¯∂I(α) ¯¯I1 = −.∂α ¯α=1Аналогично,¯∂ n I(α) ¯¯.In = (−1)∂αn ¯α=1n162(8.54)§8.5. Гармонический осцилляторДля того чтобы вычислить сам интеграл I(α), возведем обе части равенства (8.53) в квадрат и перепишем произведение интегралов в правой его части в виде двойного интеграла:Z+∞Z+∞Z+∞Z22−αx2−αy 2I (α) =dxedye=dxdye−α(x +y ) .2−∞−∞−∞Переходя к полярным координатам в плоскости (x, y), т.е. совершая замену переменныхx = r cos φ, y = r sin φ, получаемZ2π2I (α) =Z+∞Z+∞π2−αr2dφdrre=πdr2 e−αr = .α000Поскольку по определению I(α) > 0, мы находим отсюда, чтоrπI(α) =.α(8.55)С помощью формул (8.54), (8.55) имеем, например,(ψ0 , ψ0 ) =a20Z+∞√2dxe−x = a20 I(1) = a20 π = 1 ,−∞откуда следует, что нормированная волновая функция основного состояния осциллятораможет быть выбрана в видеψ0 (x) = π −1/4 e−xАналогично,(ψ1 , ψ1 ) =a212 /2.(8.56)¯√Z+∞¯2 −x22 ∂I(α) ¯2 π= a1= 1,dxx e= −a1∂α ¯α=12−∞откудаψ1 (x) =√2 /22 π −1/4 xe−x.(8.57)Полученные выражения записаны в специальной системе единиц, в которой параметрыm, ~, ω численно равны единице.
Для того чтобы вернуться в исходную систему единиц,надо для каждой величины f, имеющей размерность [f ], построить такую комбинациюma ~b ω c , где a, b, c – вещественные числа, что [ma ~b ω c ] = [f ], и после этого совершить замену f → f /ma ~b ω c . Например, размерностью энергии обладает комбинация ~ω, поэтому,заменяя E → E/~ω в формуле (8.49), мы получаем выражение для уровней энергии осциллятора в исходных единицах¶µ1, n = 0, 1, 2, ...(8.58)En = ~ω n +2163Глава 8.
Одномерное движениеПри этом, однако, возникает вопрос о единственности комбинации ma ~b ω c . Если бы оказалось, например, что существует какая-либо комбинация с размерностью энергии, отличная от ~ω, то восстановить вид формулы для En в обычных единицах оказалось быневозможно. Покажем, что такой неоднозначности в нашем случае на самом деле нет.Предположим противное, а именно что для некоторой величины f существуют две различные комбинации ma1 ~b1 ω c1 и ma2 ~b2 ω c2 , имеющие одну и ту же размерность [f ].
Тогдаих отношение безразмерно и равно ma ~b ω c , где числа a = a1 − a2 , b = b1 − b2 , c = c1 − c2 невсе равны нулю. С другой стороны, учитывая, что [m] =г, [~] =г·см2 /с, [ω] =с−1 , находим[ma ~b ω c ] =гa+b см2b с−b−c , и поэтому условие безразмерности величины ma ~b ω c имеет вид a + b = 0,2b = 0 , −b − c = 0 ,откуда следует, что a = b = c = 0, в противоречии с предположением.
Итак, восстановление по размерности единственно. Приведенное рассуждение дает регулярный способотыскания комбинаций нужной размерности. Например, величина с размерностью длины получается как решение системы a + b = 0,2b = 1 ,−b − c = 0 ,откуда b = 1/2, a = c = −1/2, и соответствующая комбинация есть (~/mω)1/2 . С еепомощью можно переписать в исходных единицах найденные выше выражения для волновых функций стационарных состояний осциллятора. Поскольку квадрат модуля волновой функции дает плотность вероятности, то в рассматриваемом случае одномерногодвижения он имеет размерность см−1 , и потому сама волновая функция имеет размерность см−1/2 . Таким образом, например, выражение для волновой функции нормальногосостояния осциллятора в обычных единицах имеет вид³ mω ´1/42ψ0 (x) =e−mωx /2~ .(8.59)π~Пример 40.
Дисперсия координаты и импульса осциллятора. По определению дисперсии(см. §7.5B) имеем следующее выражение для дисперсии координаты осциллятора в нормальном состоянии в единицах ~ = m = ω = 1 :Dx2Z+∞Z+∞122∗= x2 =dxψ0 x ψ0 = √dxx2 e−x .π−∞−∞По формулам (8.53) – (8.55) находимDx211= √ I1 = √ππµ∂−∂αr ¶¯1π ¯¯= .¯α α=1 2Поскольку Dx имеет размерность длины, то в обычных единицахr~Dx =.2mω164(8.60)§8.6. Движение в периодическом поле§8.6.A.Движение в периодическом полеФункции БлохаКак было указано в начале §8.2, проведенный там анализ энергетических спектровотносится к полям, которые стремятся при |x| → ∞ к конечным пределам, либо к +∞или −∞.
Важным случаем, который не удовлетворяет этому условию и будет рассмотрен вэтом пункте, является периодическое поле, например, поле бесконечной кристаллическойрешетки.Итак, пусть потенциальная энергия, в которой движется частица массы m, являетсяпериодическим:U (x + a) = U (x) ,где a – период поля. Покажем, прежде всего, что полное решение уравнения Шредингера~2 00ψ + U ψ = Eψ2mможет быть представлено как суперпозиция периодических (с периодом a) решений. Дляэтого вычислим коммутатор гамильтониана Ĥ = T̂ + Û с оператором сдвига на расстояниеa (см. пример 26).
Имеем(T̂ T̂a ψ)(x) = (T̂ (T̂a ψ))(x) = −=−~2 d2~2 d2(T̂ψ)(x)=−ψ(x + a)a2m dx22m dx2~2 d2 ψ(x + a)= (T̂ ψ)(x + a) = (T̂a (T̂ ψ))(x) = (T̂a T̂ ψ)(x) ,2m d(x + a)2откуда [T̂ , T̂a ] = 0 . Далее,(Û T̂a ψ)(x) = (Û (T̂a ψ))(x) = U (x)(T̂a ψ)(x) = U (x)ψ(x + a)= U (x + a)ψ(x + a) = (Û ψ)(x + a) = (T̂a (Û ψ))(x) = (T̂a Û ψ)(x) ,откуда [Û , T̂a ] = 0 . Таким образом, гамильтониан частицы в периодическом поле коммутирует с оператором сдвига на период поля:[Ĥ, T̂a ] = 0 .Отсюда следует, что если ψ(x) является решением уравнения Шредингера с некоторым E,то и (T̂a ψ)(x) = ψ(x + a) также является решением, соответствующим тому же значениюE. Действительно,Ĥ(T̂a ψ) = (Ĥ T̂a )ψ = (T̂a Ĥ)ψ = T̂a (Ĥψ) = T̂a (Eψ) ,т.е.Ĥ(T̂a ψ) = E(T̂a ψ) .Обозначим через ψ1 (x), ψ2 (x) два линейно-независимых решения уравнения Шредингерапри данном значении E.
Тогда, по доказанному, функции ψ1 (x + a), ψ2 (x + a) можнопредставить в виде линейных комбинаций функций ψ1 (x), ψ2 (x):ψ1 (x + a) = c11 ψ1 (x) + c12 ψ2 (x) ,165ψ2 (x + a) = c21 ψ1 (x) + c22 ψ2 (x) ,Глава 8. Одномерное движениегде cik , i, k = 1, 2 – некоторые комплексные коэффициенты.
Вводя матричные обозначения¶¶µµψ1 (x)c11 c12ψ(x) =, C=,ψ2 (x)c21 c22запишем эти соотношения в виде ψ(x + a) = Cψ(x) . Заметим, что detC 6= 0. Действительно, в противном случае существовал бы ненулевой вектор-строка b = (b1 , b2 ), такойчто bC = 0, а тогда из равенства ψ(x + a) = Cψ(x) следовало бы bψ(x + a) = 0, илиb1 ψ1 (x + a) + b2 ψ2 (x + a) = 0, т.е. линейная зависимость решений ψ1,2 , в противоречии спредположением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
