К.А. Казаков - Введение в теоретическую и квантовую механику (1124202), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Если U (x) → −∞ хотя бы в одном из пределов x → ±∞, то собственными значениями гамильтониана являются все E ∈ (−∞, +∞), поскольку при любом E уравнениеШредингера имеет ограниченное решение. Степень вырождения собственных значений зависит от поведения U (x) в другом из пределов. В частности, если в этомпределе U (x) стремится к +∞ или −∞, то все собственные значения являются,соответственно, невырожденными и двукратно вырожденными.Отметим следующие общие свойства всех четырех типов спектров: a) дискретная частьспектра всегда расположена ниже непрерывной; b) дискретные собственные значения являются невырожденными; c) собственные функции, соответствующие дискретным уровням энергии, являются нормируемыми.
Напомним, что дискретность собственных значений является необходимым, но не достаточным условием нормируемости собственныхфункции (см. пример 34). В данном же случае дискретность, или как говорят, квантование энергии в области E < U (±∞) возникает как результат отбрасывания неограниченных решений, причем согласно утверждению γ остающиеся решения автоматическиоказываются нормируемыми. Это соответствие между дискретностью уровней энергиии нормируемостью собственных функций гамильтониана имеет место и в общем случаепроизвольного (многомерного) движения.Наконец, есть еще одно важное общее свойство энергетических спектров.
Предположим, что потенциал U (x) ограничен снизу, и пусть Umin – его значение в точке абсолютногоминимума (этот случай может встретиться в любом из типов, кроме типа IV). Покажем,что тогда собственные значения гамильтониана удовлетворяют неравенствуE > Umin .(8.13)Что касается непрерывной части спектра, то она имеется в типах II,III и лежит вышеминимального из значений U (±∞), а потому и выше Umin .
Рассмотрим теперь дискретные уровни. Для того чтобы доказать неравенство E > Umin в этом случае, умножимуравнение (8.5) на ψ(x) и проинтегрируем его по всем x:~2−2mZ+∞Z+∞Z+∞002dxψψ +dxU (x)ψ = Edxψ 2 .−∞−∞(8.14)−∞Все интегралы в этом уравнении существуют. Действительно, интеграл в правой части конечен в силу утверждения γ. Далее, первый интеграл в левой части можно преобразоватьс помощью интегрирования по частям:Z+∞Z+∞000 +∞dxψψ = ψψ |−∞ −dxψ 0 2 .−∞−∞Краевые члены здесь равны нулю, а интеграл от ψ 0 2 сходится, как мы видели при доказательстве утверждения γ (см.
рассуждение после неравенства (8.12)). Итак, первыйинтеграл в левой части уравнения (8.14) сходится, а потому должен сходиться и интеграл140§8.2. Качественное исследование уравнения Шредингераот U ψ 2 . Этот интеграл можно оценить снизу какZ+∞Z+∞dxU (x)ψ 2 > Umindxψ 2 .−∞−∞Таким образом, уравнение (8.14) приводит к искомой оценке снизу для E :+∞Z+∞2 Z1~E > +∞dxψ 0 2 + Umindxψ 2 > Umin .R2mdxψ 2−∞−∞−∞Пример 36. Сравнение классических и квантовых типов движения. Рассмотрим движениев поле изображенного на Рис. 3 вида.
Согласно данной выше классификации, энергетический спектр в квантовом случае принадлежит типу II. При E < 0 возможны лишьдискретные уровни энергии. Поскольку соответствующие им собственные функции нормируемы, они описывают возможные состояния частицы. В классической механике каждому такому состоянию соответствует финитное движение частицы. Однако в то времякак в классической задаче частица может иметь любое значение энергии E = E3 , энергиячастицы в квантовом случае может принимать лишь некоторые выделенные значения. Далее, при E > 0 лежит область невырожденного непрерывного спектра. Соответствующиесобственные функции ненормируемы, и потому сами по себе не описывают возможных состояний частицы (возможные состояния строятся по этим функциям по формуле (8.4)).Другими словами, в данной квантовой задаче не существует стационарных состоянийчастицы с положительной энергией. Но в классическом случае имеется область положительных значений энергии (E = E2 ), при которых частица все еще может совершатьфинитное движение, а именно, движение в области слева от локального максимума потенциала.
При этом движение с той же энергией справа от локального максимума являетсяинфинитным. В квантовом же случае такое разделение конфигурационного пространстване имеет смысла, поскольку состояние частицы описывается единой волновой функцией,которая ни в одной из областей не обязана обращаться тождественно в нуль.141Глава 8.
Одномерное движение§8.3.Свойства гладкости волновой функции. Условия сшиванияВолновая функция является решением уравнения Шредингера, и поэтому свойствагладкости этой функции (т.е. существования и непрерывности производных различныхпорядков) определяются свойствами гладкости потенциалов, описывающих взаимодействия частиц и входящих в гамильтониан, а в случае одномерного движения одной частицы – свойствами внешнего поля U (x). Согласно постулату I, волновая функция должнаиметь производные любого порядка.
Это требование оправдывается тем, что в реальности этим свойством обладают потенциалы всех фундаментальных взаимодействий. Однако реальные взаимодействия довольно сложны, а потому сложны и соответствующие имфункции U (x). Поэтому на практике при решении уравнения Шредингера эти функциичасто приходится заменять более грубыми функциями, а затем учитывать их отличиеот реальных путем введения поправок к полученным простым решениям. В результатесвойства гладкости функции U (x), а потому и функции ψ(x), ухудшаются (к чему этоможет привести – см. пример 37). Простейший способ огрубления функции U (x) – этоаппроксимация ее прямоугольниками.
Пусть, например, имеется K + 1 прямоугольныхучастков, разделенных K точками разрыва потенциала. Координаты точек разрыва обозначим через ai , i = 1, ..., K. При этом крайние левый и правый участки простираютсясоответственно до x = −∞ и x = +∞. На каждом из горизонтальных отрезков уравнение Шредингера решается просто, а затем полученные решения “сшиваются” друг сдругом в точках разрыва потенциала. Вообще говоря, условия сшивания зависят от типаразрыва потенциала и его вида по обе стороны от точки разрыва. Однако в наиболее важном случае, когда потенциал является ограниченной функцией, условия сшивания имеютуниверсальный вид, а именно, в точке разрыва потенциала должны быть непрерывныфункция ψ(x) и ее первая производная ψ 0 (x).
Действительно, если бы мы допустили разрыв у функции ψ 0 (x) в некоторой точке a, то вторая производная ψ 00 (x) обратилась бы вэтой точке в бесконечность. В этом можно убедиться графически (см. Рис. 14), представляя функцию ψ 0 (x) как предел последовательности гладких функций, каждая из которыхсовпадает с ψ 0 везде, исключая малую окрестность точки a, где она плавно изменяется отзначения ψ 0 (a−0) до ψ 0 (a+0) [ψ 0 (a±0) обозначают правый и левый пределы функции ψ 0 (x)в точке a].
Тогда при уменьшении этой окрестности скорость изменения в ней функцииψ 0 (x) неограниченно растет, т.е. ψ 00 растет по абсолютной величине, и поэтому в пределеψ 00 (a) оказывается бесконечной. Поскольку ψ(x) удовлетворяет уравнению Шредингера(8.5), то этот бесконечный разрыв функции ψ 00 (x) должен компенсироваться таким жеразрывом в члене U (x)ψ(x), что, однако, невозможно, поскольку функция ψ(x) непрерывна, а потенциал U (x) ограничен по предположению. Таким образом, функция ψ 0 (x),а потому и ψ(x) должны быть непрерывны везде.
С другой стороны, этих двух условийдостаточно для однозначного определения полного решения при заданных граничныхусловиях. Действительно, добавление одной новой точки разрыва (с целью улучшенияаппроксимации исходного потенциала) увеличивает число сшиваемых функций на две –число линейно-независимых решений уравнения (8.5) на новом горизонтальном участке, и соответственно добавляются два условия сшивания. Эти рассуждения применимыи к любой кусочно-непрерывной аппроксимации потенциала (например, с помощью кусков парабол). Итак, в случае кусочно-непрерывной аппроксимации потенциала условиясшивания решений имеют видψi (ai ) = ψi+1 (ai ) ,dψi+1dψi(ai ) =(ai ) ,dxdx142i = 1, ..., K,(8.15)§8.3. Свойства гладкости волновой функцииРис.
14: Сглаживание конечного разрыва функции ψ 0 (x).где ψi (x), ψi+1 (x) – решения уравнения (8.5) слева и справа от i-ой точки разрыва потенциала. Другой тип сшивания (случай бесконечного разрыва потенциала) мы рассмотримв примере 37 и в §8.6B. Перейдем теперь к примерам.A.Прямоугольный потенциальный барьер. Коэффициенты отражения и прохожденияРассмотрим движение в потенциале вида½0, x < 0 ,U (x) =U0 , x > 0 ,где U0 – положительная постоянная. В соответствии с классификацией, данной в §8.2,спектр энергии в этой задаче относится к типу III; дискретные уровни отсутствуют.Непрерывный спектр простирается от E = 0 до E = +∞, причем значения 0 < E < U0невырождены, а E > U0 – двукратно вырождены.Собственные функции гамильтониана.Случай 0 < E < U0 . В области x < 0 уравнение (8.5) имеет вид−~2 00ψ = Eψ1 ,2m 1где в соответствии с обозначениями, введенными при записи условий (8.15), неизвестная функция обозначена через ψ1 (x).
Общее решение этого уравнения удобно записать вкомплексном виде:√2mE+ikx−ikxψ1 (x) = Ae+ Ãe, k=+,(8.16)~где A, à – произвольные постоянные. В согласии с утверждением α, оба линейнонезависимых решения ограничены при x → −∞. В области x > 0 имеем уравнение−~2 00ψ + U0 ψ2 = Eψ2 ,2m 2143Глава 8. Одномерное движениеилиψ200 =2m(U0 − E)ψ2 .~2Его общее решение естьpψ2 (x) = Be−κx+ B̃eκx,κ=+2m(U0 − E),~где B, B̃ – новые произвольные постоянные. В согласии с утверждением β одно излинейно-независимых решений стремится к нулю при x → +∞, а другое неограниченнорастет и поэтому должно быть отброшено, т.е. следует положить B̃ = 0. Три коэффициента A, Ã, B связаны двумя условиями сшивания (8.15) в точке разрыва потенциалаx = a1 = 0 :A + à = B, ikA − ik à = −κB .С помощью этих уравнений любые два коэффициента можно выразить через третий,например, через A:à =ik + κA,ik − κB=2ikA.ik − κ(8.17)Таким образом, для любого E ∈ (0, U0 ) собственная функция гамильтониана имеет видik + κ −ikx e+ikx +e, x < 0,ik − κψE (x) = A ×(8.18)2ik −κxe,x > 0.ik − κОбщий множитель A остается произвольным.Случай E > U0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
