К.А. Казаков - Введение в теоретическую и квантовую механику (1124202), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Каждая функция wn (p),n = 1, 2, ... описывает пару четко выраженных пиков, расположенных симметрично отно(−)сительно нуля с максимумами в точках p = ±~π(n+1/2)/a, а функция wn (p), n = 1, 2, ... –(±)такие же пики с максимумами в p = ±~πn/a. Мы видим, что в каждом состоянии ψn сn = 1, 2, ... импульс частицы размазан в окрестностях тех двух значений, которые может(±)иметь классическая частица при движении в яме с кинетической энергией En .
Все пики(+)имеют одинаковую высоту a/(2π~) и ширину 2π~/a у основания. Функция же w0 , описывающая распределение вероятностей импульса в нормальном состоянии, имеет один болеевысокий и широкий пик с максимумом в нуле. На Рис. 16 показаны графики функций(±)w2 (p).Все Функции w(±) (p) являются четными функциями импульса, и поэтому p̄ =R +∞(±)dp pwn (p) = 0 , что естественно, поскольку в стационарном состоянии частица−∞в среднем покоится. С помощьюw(p) можно рассчитать среднее любой функции имR +∞22пульса, например, Dp = −∞ dp p w(p). Однако дисперсию проще найти, заметив, чтоp2 = 2mT = 2mT , где T есть кинетическая энергия частицы. С другой стороны,T = E − U = E + U0 = E, поскольку по определению в любом стационарном состоянии энергия имеет определенное значение, а средняя потенциальная энергия частицыравна −U0 (т.к. частица все время находится внутри ямы, где U = −U0 ). Итак,Dp(+) =~π(n + 1/2) ,a154Dp(−) =~πn.a§8.3.
Свойства гладкости волновой функции0.180.160.140.120.1w0.080.060.040.020−15−10−50p51015(+)Рис. 16: Плотности распределения вероятностей импульса частицы в состояниях ψ2 (сплошная(−)линия) и ψ3 (штриховая линия) в бесконечно глубокой яме. Импульс измеряется в единицах~/a, а плотность вероятности – в единицах a/~.Дисперсия импульса растет с увеличением номера состояния, что в данном случае связанопросто с удалением пиков друг от друга.Как уже было указано в начале §8.3, в результате огрубления потенциала свойствагладкости волновой функции ухудшаются.
Если в точках конечного разрыва потенциаларазрыв терпит вторая производная функции ψ(x), то в случае бесконечного разрыва потенциала разрывной является уже ее первая производная. В рассматриваемом примеребесконечно-глубокой ямы вне отрезка [−a, +a] имеем ψ = 0, поэтому также и ψ 0 = 0.Но значения ψ 0 (±a), вычисленные внутри ямы, не равны нулю.
Например, в нормальномсостоянии(+)dψ0π(a − 0) = − 3/2 .dx2aИз-за наличия таких разрывов некоторые характеристики движения частицы могут вообще потерять смысл. Попытаемся найти, например, среднее значение квадрата кинетической энергии частицы в нормальном состоянии:1p4=T2 =24m4m2Z+∞dp p4π/2a cos2 (pa/~)~[(π/2)2 − (pa/~)2 ]2−∞Легко видеть, что этот интеграл расходится при больших p. Действительно, при p → ∞подынтегральное выражение ведет себя как cos2 (pa/~), т.е. положительно и не стремитсяк нулю.
Таким образом, мы получаем физически бессмысленный результат T 2 = ∞. Насамом деле указанная расходимость означает, что значение величины T 2 определяетсяв основном мелкомасштабной структурой потенциала, и потому на него сильно влияют нарушения гладкости потенциала и, как следствие, нарушения гладкости волновой155Глава 8. Одномерное движениефункции. Это естественно, поскольку T̂ 2 является оператором довольно высокого дифференциального порядка: T̂ 2 = (~2 /2m)2 d4 /dx4 . Другими словами, если потенциал типабесконечно-глубокая яма получен огрублением какого-либо более гладкого потенциала, тоэта грубая модель будет применима для вычисления лишь таких характеристик системы,которые определяются поведением функций w(±) (p) при малых p.Пример 38.
Мелкая яма. Точные выражения для уровней энергии в яме упрощаютсятакже в противоположном случае малых U0 , а именно, при выполнении условия U0 ¿~2 /(ma2 ) , т.е. α À 1. Поскольку |E| < U0 , то одновременно выполняется и неравенство(U0 − |E|) ¿ ~2 /(ma2 ) , откуда ka ¿ 1, κa ¿ 1. При этом имеется единственный –четный – уровень энергии, удовлетворяющий уравнению κ cos(ka) = k sin(ka). Посколькуcos(ka) ≈ 1, sin(ka) ≈ ka при ka ¿ 1, то имеем приближенно κ = k(ka), илиp2m|E|2ma(U0 − |E|)=.~~2Возводя это равенство в квадрат и учитывая, что ma2 (U0 − |E|)/~2 ¿ 1 , находим|E| =2ma2 (U0 − |E|)2¿ (U0 − |E|) ,~2откуда следует, что |E| ¿ U0 , и поэтому, окончательно,|E| =2ma2 U02.~2С той же точностью собственная функция сводится кx 6 −a , eκx ,1/2−a 6 x 6 +a ,ψ(x) = κ × 1, −κxe ,x > +aгде теперь κ = 2maU0 /~2 = 1/(α2 a) . Как и раньше, средние значения координаты иимпульса равны нулю.
Вычислим дисперсию координаты. Снова пренебрегая малой величиной κa, находимDx2Z+∞Z−aZ+aZ+∞12 22 2κx2=dx x ψ (x) = κdx x e+ κ dx x + κdx x2 e−2κx =,2κ 2−∞−∞−a+aилиα2 a~2Dx = √ = √.22 2maU0Поскольку α À 1, то отсюда следует, что большую часть времени частица проводит внеямы.
Далее, для расчета плотности вероятности импульса пишемZ+∞Z−aZ+aZ+∞−ipx/~1/2−ipx/~ κx1/2−ipx/~1/2dxeψ(x) = κdxee +κdxe+κdxe−ipx/~ e−κx−∞−∞1/2 ipa/~=κ e2~κ+κ − ip/~1/2−a1/2 −ipa/~+asin(pa/~) κ ep cos(pa/~) + ~κ sin(pa/~)+= 2κ 3/2pκ + ip/~p(κ 2 + (p/~)2 )156§8.3. Свойства гладкости волновой функции0.50.450.40.350.3w0.250.20.150.10.050−5−4−3−2−1012345pРис. 17: Плотности распределения вероятностей импульса частицы в мелкой яме при α = 10(сплошная линия) и в нормальном состоянии в бесконечно глубокой яме (штриховая линия).Импульс измеряется в единицах ~/a, а плотность его вероятности – в единицах a/~.
Высотаострого пика ≈ 64.и по формуле (7.62) находимa 2(κa)3w(p) =~ π½(pa/~) cos(pa/~) + (κa) sin(pa/~)(pa/~)[(κa)2 + (pa/~)2 ]¾2.(8.43)Как и в предыдущем примере, дисперсию импульса находим как4m2 a2 U02Dp2 = 2mT = 2m(E − U ) = −− 2m~2Z+a4m2 a2 U02dxκ(−U0 ) =,~2−aоткудаDp =2maU0~= 2 .~α a√Заметим, что Dx Dp = ~/ 2 . Распределение (8.43) имеет форму очень острого пика приp = 0. Если измерять импульс в единицах ~/a, а плотность вероятности в единицах a/~,то из формулы (8.43) находим, что высота пика = 2α2 /π À 1, а из выражения для Dpследует, что его ширина = 1/α2 ¿ 1.
На Рис. 17 сравниваются графики функции w(p) вмелкой и бесконечно глубокой ямах.Пример 39. Сила, действующая на стенку ямы. Определим среднюю силу FR , с которойчастица действует на правую стенку ямы конечной глубины. Эта сила равна взятой сознаком минус средней силе, действующей на частицу со стороны поля, когда частицанаходится вблизи стенки. Для того чтобы найти последнюю, надо вспомнить, что разрывпотенциала U (x) в точке a представляет собой огрубление некоторой гладкой функции157Глава 8. Одномерное движениеŨ (x), которая быстро возрастает от значения −U0 до нуля в малой окрестности (a−², a+²)точки x = a и постоянна вне этой окрестности.
Малость окрестности означает, что ² ¿ a.Сила, с которой такое гладкое поле действует на частицу в точке x, дается обычнойформулой F = −dŨ /dx, а средняя сила по правилам теории вероятностей равна сумме(интегралу) произведений всех значений силы на соответствующие вероятности:!Za+² ÃdŨF =dx −|ψ (±) (x)|2 .dxa−²Поскольку функции ψ (±) (x) мало меняются на отрезке интегрирования, их можно вынести за знак интеграла, заменив значениями в точке x = a:¯a+²Za+²¯dŨ¯(±)2(±)2dx= −|ψ (±) (a)|2 U0 .F ≈ −|ψ (a)|= −|ψ (a)| Ũ (x)¯¯dxa−²a−²Этот результат является точным в пределе ² → 0. Подставляя значения ψ (±) (a), находим,что в четных и нечетных состояниях искомая сила дается одним и тем же выражениемFR =~2 k 2µ¶.12m a +κЭта сила, естественно, положительна.
Аналогичное вычисление силы FL , с которой частица действует на левую стенку, дает FL = −FR , так что полная сила равна нулю. В случаебесконечно глубокой ямы явные выражения для силы в четных и нечетных состоянияхимеют вид~2 π 2~2 π 2 2(+)(−)2FR ==(n+1/2),Fn .R2ma32ma3В случае же мелкой ямы получаетсяFR =§8.4.2maU02.~2Четность состоянияКак мы видели в §8.3B, собственные векторы гамильтониана, соответствующие дискретным уровням энергии в симметричной прямоугольной потенциальной яме, являютсялибо четными, либо нечетными функциями координаты x.
Это свойство не случайно.Покажем, что оно является следствием четности потенциала и невырожденности состояний дискретного спектра. Для этого вычислим коммутатор гамильтониана с оператором инверсии (см. пример 26). По предположению, U (x) = U (−x), поэтому операторыпотенциальной энергии и инверсии коммутативны.
Действительно, поскольку операторпотенциальной энергии есть просто умножение на функцию U (x), то(P̂ Û ψ)(x) = (P̂ (Û ψ))(x) = (U ψ)(−x) = U (−x)ψ(−x)= U (x)(P̂ ψ)(x) = (Û (P̂ ψ))(x) = (Û P̂ ψ)(x) ,158§8.5. Четность состоянияоткуда[P̂ , Û ] = 0 .Найдем теперь коммутатор операторов инверсии и кинетической энергии. Поскольку T̂ =p̂2 /2m, то надо выяснить, что получается при перемене порядка следования операторовP̂ и p̂. Имее쵶dψ(−x)d(P̂ p̂ψ)(x) = (P̂ (p̂ψ))(x) = (p̂ψ)(−x) = −i~= − −i~ψ(−x)d(−x)dxµ¶d= − −i~(P̂ ψ)(x) = −(p̂(P̂ ψ))(x) = −(p̂P̂ ψ)(x) .dxВ силу произвольности вектора ψ полученный результат можно переписать в операторномвидеP̂ p̂ = −p̂P̂ .Теперь уже нетрудно найти [P̂ , T̂ ], используя определение произведения операторов,111P̂ (p̂p̂) =(P̂ p̂)p̂ = −(p̂P̂ )p̂2m2m2m111=−p̂(P̂ p̂) =p̂(p̂P̂ ) =(p̂p̂)P̂ = T̂ P̂ ,2m2m2mP̂ T̂ =(8.44)т.е., [P̂ , T̂ ] = 0.
Таким образом, гамильтониан частицы, движущейся в четном потенциале,оказывается коммутативным с оператором инверсии[P̂ , Ĥ] = 0 .(8.45)Возьмем теперь собственную функцию гамильтониана ψE (x), соответствующую невырожденному собственному значению E. Используя равенства (8.3), (8.45), а также линейность оператора инверсии (см.
пример 26), находимĤ(P̂ ψE ) = (Ĥ P̂ )ψE = (P̂ Ĥ)ψE = P̂ (ĤψE ) = P̂ EψE = E(P̂ ψE ) .Итак, мы получили, что Ĥ(P̂ ψE ) = E(P̂ ψE ). Сравнивая это равенство с (8.3), заключаем, что вектор P̂ ψE является собственным вектором гамильтониана, соответствующимсобственному значению E. Но по предположению значение E невырождено, и потомувекторы ψE , P̂ ψE должны быть линейно-зависимы:c1 ψE + c2 P̂ ψE = 0 ,где c1 , c2 не равны нулю. Отсюда следует, что P̂ ψE = cψE , c = −c1 /c2 . Другими словами,вектор ψE является также собственным вектором оператора инверсии.
Учитывая, чтособственными значениями этого оператора являются ±1 (см. пример 34), мы приходимк выводу, что функция ψE (x) должна удовлетворять одному из двух равенств – либоψE (−x) = +ψE (x), либо ψE (−x) = −ψE (x), т.е., иметь определенную четность.Как мы знаем из §8.2, дискретные уровни энергии при одномерном движении всегданевырождены, и потому, по доказанному, соответствующие им собственные функции имеют определенную четность.
Собственное значение оператора P̂ в этом случае называютчетностью состояния.159Глава 8. Одномерное движение§8.5.Гармонический осцилляторРассмотрим движение частицы в потенциале U (x) = mω 2 x2 /2, где m есть масса частицы, а ω – некоторая постоянная, имеющая размерность частоты. В классической механике этот потенциал описывает гармонический осциллятор с частотой ω. Спектр энергиисоответствующей квантовой системы относится к типу I, т.е.
все уровни энергии являются дискретными и невырожденными. При этом из неравенства (8.13) следует, что всеуровни положительны, поскольку Umin = 0. Далее, рассматриваемый потенциал является симметричным, а потому каждая собственная функция гамильтониана является либочетной, либо нечетной функцией x (см. §8.4). Эти функции удовлетворяют уравнению−~2 00 mω 2 x2ψ +ψ = Eψ .2m2Прежде чем решать это уравнение, опишем прием, который позволяет упростить егокоэффициенты и который неоднократно будет применяться в дальнейшем. Примем, вопервых, массу частицы m за единицу измерения массы, а величину 1/ω – за единицувремени, т.е. положим m = 1, ω = 1. После этого выберем единицу измерения длины так,чтобы постоянная Планка также численно обратилась в единицу: ~ = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
