К.А. Казаков - Введение в теоретическую и квантовую механику (1124202), страница 37
Текст из файла (страница 37)
По теореме, доказанной в §7.5A, это означает, что у каждой пары операторов {l̂2 , ˆlx }, {l̂2 , ˆlx },{l̂2 , ˆlz } существует совместная система собственных функций (другими словами, соответствующие пары физических величин всегда могут быть точно измерены одновременно).Однако это не имеет место уже для троек операторов вида {l̂2 , ˆlx , ˆly }, поскольку не всеони коммутируют друг с другом.Пример 41. Средние значения компонент момента. Рассмотрим состояние ψm системы,в котором проекция lz имеет определенное значение m. Тогда средние значения другихдвух проекций в этом состоянии равны нулю. Действительно, усредняя уравнения (9.17)по состоянию ψm и учитывая эрмитовость оператора ˆlz , находимi¯lx = i(ψm , ˆlx ψm ) = (ψm , (ˆly ˆlz − ˆlz ˆly )ψm ) = (ψm , ˆly (ˆlz ψm )) − (ˆlz ψm , ˆly ψm )= (ψm , ˆly mψm ) − (mψm , ˆly ψm ) = 0176(9.22)§9.4.
Свойства оператора момента импульсаи, аналогично, ¯ly = 0. Как мы знаем из §7.5B, среднее коммутатора двух операторовдает нижнюю границу произведения флуктуаций соответствующих физических величинв данном состоянии. В данном случае ¯lx = ¯ly = 0, и можно было бы подумать, исходя изсоотношений (9.17), что в состоянии с определенным lz определенное значения можетиметь также и другая проекции момента, например, lx . Однако из формулы (9.16) исоотношения неопределенности (7.73) следует, что Dlx Dly > m/2, и поэтому при m 6= 0должно быть Dlx > 0, Dly > 0.
Итак, единственным случаем, когда более чем одна изпроекций момента имеет определенное значение, является тривиальный случай lx = ly =lz = 0.B.Собственные функции и собственные значенияПри движении в центрально-симметричном поле разделение переменных в уравненииШредингера следует производить в сферических координатах. Для этого, в частности,оператор момента также должен быть выражен в сферических координатах. Нам понадобится, прежде всего, выражение для оператора ˆlz . Легко видеть, что если переход отдекартовых координат к сферическим задается формуламиx = r sin θ cos φ ,y = r sin θ sin φ ,z = r cos θ ,то этот оператор в сферических координатах имеет видˆlz = −i ∂ .∂φДействительно, по правилу дифференцирования сложной функции находим для произвольного вектора ψ∂ψ∂ψ ∂x ∂ψ ∂y ∂ψ ∂z∂ψ∂ψ∂ψ∂ψ=++= − r sin θ sin φ +r sin θ cos φ + 0 = − y +x,∂φ∂x ∂φ ∂y ∂φ ∂z ∂φ∂x∂y∂x∂yследовательно, в соответствии с выражением (9.16)µ¶∂ψ∂∂−i= −i x−yψ = ˆlz ψ .∂φ∂y∂xТаким образом, собственные функции оператора ˆlz определяются уравнением−i∂ψlz= lz ψlz .∂φРешение этого уравнения есть ψlz (r, θ, φ) = A(r, θ)eilz φ , где A(r, θ) ∈ M – произвольная функция координат r, θ.
Поскольку при любом вещественном lz функция ψlz (r, θ, φ)является бесконечно дифференцируемой и ограниченной функцией координат r, θ, φ, тоотсюда можно было бы заключить, что собственными значениями оператора ˆlz являются все вещественные числа. Однако этот вывод поспешен. Дело в том, что соответствиемежду декартовыми и сферическими координатами не является взаимно-однозначным:тройки координат (r, θ, φ) и (r, θ, φ + 2πn), где n ∈ Z, соответствуют одной и той же точкепространства. В то же время, по определению собственных функций, они должны принадлежать пространству M, т.е. быть однозначными дифференцируемыми функциями177Глава 9.
Трехмерное движениеименно декартовых координат (см. §7.1). Конечно, однозначности функции eilz φ можнодобиться, ограничив множество значений угла φ полуоткрытым отрезком [0, 2π). Однакопри этом точки с координатами (r, θ, 0) и (r, θ, 2π − ²) можно сделать сколь угодно близкими друг к другу, выбирая достаточно малое число ² > 0. Для того чтобы функцияψlz (r, θ, φ) была непрерывна в точке (r, θ, 0), необходимо, следовательно, чтобы пределвеличины ψlz (r, θ, 2π − ²) при ² → 0 совпадал со значением ψlz (r, θ, 0), т.е.lim A(r, θ)eilz (2π−²) = A(r, θ)eilz 2π = A(r, θ) ,²→0откуда следует, что eilz 2π = 1, т.е. lz = m, m ∈ Z. Таким образом, собственные значенияоператора ˆlz являются целыми числами, а его собственные функции имеют видψm (r, θ, φ) = A(r, θ)eimφ ,m∈Z.(9.23)Перейдем теперь к собственным функциям и собственным значениям оператора квадрата момента.
Поскольку [l̂2 , ˆlz ] = 0, то на основании теоремы из §7.5A мы можем считать,что собственные векторы оператора l̂2 являются также и собственными векторами оператора ˆlz . Обозначим их через ψλm , где λ, m есть собственные значения операторов l̂2 , ˆlz ,соответственно. Итак, векторы ψλm удовлетворяют уравнениямl̂2 ψλm = λψλm ,ˆlz ψλm = mψλm .(9.24)Оказывается, что функции ψλm , соответствующие различным значениям m при данном λ,связаны друг с другом простым соотношением. Для его вывода подействуем операторнымравенством (9.19) на вектор ψλm , учитывая второе из уравнений (9.24),ˆl+ mψλm − ˆlz ˆl+ ψλm = −ˆl+ ψλm ,откудаˆlz (ˆl+ ψλm ) = (m + 1)(ˆl+ ψλm ) .Из этого уравнения следует, что вектор ˆl+ ψλm является собственным вектором оператораˆlz , соответствующим собственному значению (m + 1).
Более того, этот вектор соответствует тому же собственному значению оператора квадрата момента, что и вектор ψλm .Действительно, поскольку l̂2 коммутирует с операторами проекций момента, то он коммутирует и с оператором ˆl+ , и потому в силу первого из уравнений (9.24)l̂2 (ˆl+ ψλm ) = (l̂2 ˆl+ )ψλm = (ˆl+ l̂2 )ψλm = ˆl+ (l̂2 ψλm ) = ˆl+ λψλm = λ(ˆl+ ψλm ) ,что и требовалось доказать.
Итак, оператор ˆl+ увеличивает значение z-проекции моментана единицу, оставляя неизменным величину квадрата момента. Его называют поэтомуповышающим оператором. Аналогично, с помощью равенства (9.20) показывается, чтооператор ˆl− уменьшает значение z-проекции момента на единицу, и называется поэтомупонижающим оператором.Определим теперь сами значения λ, т.е. спектр оператора l̂2 . Заметим, во-первых, чтоλ > 0. Действительно, учитывая уравнения (9.24), эрмитовость операторов компонентмомента и свойство 2 скалярного произведения, имеемλ(ψλm , ψλm ) = (ψλm , λψλm ) = (ψλm , l̂2 ψλm ) = (ψλm , (ˆlx2 + ˆly2 + ˆlz2 )ψλm )= (ˆlx ψλm , ˆlx ψλm ) + (ˆly ψλm , ˆly ψλm ) + m2 (ψλm , ψλm ) .178(9.25)§9.4.
Свойства оператора момента импульсаВ силу свойства 4 скалярного произведения входящие в это равенство скалярные произведения неотрицательны, а величина (ψλm , ψλm ) к тому же не равна нулю, по определениюсобственного вектора. Поэтому, переписывая равенство (9.25) в виде(λ − m2 )(ψλm , ψλm ) = (ˆlx ψλm , ˆlx ψλm ) + (ˆly ψλm , ˆly ψλm ) ,видим, что при заданном значении λ возможные значения числа m ограничены по абсолютной величине. Положимl = max(m) ,λгде максимум берется при заданном значении λ. Таким образом, по определению, l –целое неотрицательное число. Выразим λ через l.
Для этого подействуем операторнымравенством (9.21) на вектор ψλl . Поскольку l – максимально возможное значение m приданном λ, то оператор ˆl+ обращает вектор ψλl в нуль (если бы это было не так, то векторˆl+ ψλl был бы собственным для оператора ˆlz , соответствующим собственному значениюm = l + 1, что невозможно по определению числа l).
Поэтому, учитывая равенства (9.24),находимλψλl = lψλl + l2 ψλl ,откудаλ = l(l + 1) .(9.26)Поскольку значение λ однозначно определяется числом l, и наоборот, то для простоты обозначений первым нижним индексом у собственных функций вместо λ указываютобычно число l и пишут: ψlm , что мы и будем делать в дальнейшем.Для того чтобы показать, что значения (9.26) действительно являются собственнымизначениями оператора l̂2 , нам надо еще найти явный вид функций ψlm (r, θ, φ) и доказать,что они принадлежат пространству M. Это удобно сделать с помощью операторов ˆl± , длячего надо выразить их в сферических координатах. Проверим, чтµ¶∂∂−iφˆl+ = eiφ ∂ + i ctg θ ∂ˆ, l− = e− + i ctg θ.(9.27)∂θ∂φ∂θ∂φС одной стороны, имеем согласно формулам (9.14)µ¶ µ¶µ¶∂ψ∂ψ∂ψ∂ψ∂ψ∂ψ∂ψˆl+ ψ = −i y−z+ z−x=z+i− (x + iy)∂z∂y∂x∂z∂x∂y∂zµ¶∂ψ∂ψ∂ψ+i.= r cos θ− r sin θeiφ∂x∂y∂zС другой стороны, по правилу дифференцирования сложной функци趵¶µ∂∂ψ∂ψ∂∂ψ+ i ctg θr cos θ cos φ +r cos θ sin φ −r sin θψ=∂θ∂φ∂x∂y∂zµ¶∂ψ∂ψ+i ctg θ − r sin θ sin φ +r sin θ cos φ∂x∂yµ¶∂ψ∂ψ∂ψ= r cos θ(cos φ − i sin φ)+i.− r sin θ∂x∂y∂z179Глава 9.
Трехмерное движениеСравнение этих двух выражений с учетом формулы cos φ − i sin φ = e−iφ подтверждаетпервую из формул (9.27). Аналогично проверяется и вторая.Теперь уже нетрудно вычислить ψlm . Расписывая явно тождество ˆl+ ψll = 0, имее쵶∂∂iφe+ i ctg θψll = 0 ,∂θ∂φили, подставляя согласно формуле (9.23) ψll = A(r, θ)eilφ ,∂A(r, θ)= l ctg θA(r, θ) .∂θРешение этого уравнения легко находится разделением дифференциалов:A(r, θ) = A(r) sinl θ ,где A(r) – произвольная функция координаты r.
Поскольку операторы компонент момента действуют лишь на угловые переменные, зависимость их собственных функцийот радиальной координаты r остается полностью произвольной (требуется лишь, чтобыфункции A(r) принадлежали пространству M). Иначе говоря, координата r в данномслучае играет роль параметра, и для краткости не будет выписываться явно. Итак, мыполучили, что ψll (θ, φ) = A sinl θeilφ .
Действуя на эту функцию оператором ˆl− , получаемвектор ψl,l−1 :µ¶∂∂−iφψl,l−1 (r, θ, φ) = e− + i ctg θA sinl θeilφ = −2lAei(l−1)φ sinl−1 θ cos θ ,∂θ∂φа для того чтобы получить вектор ψlm , надо подействовать на вектор ψll понижающимоператором (l − m) раз:½µ¶¾l−m∂∂−iφψlm (θ, φ) = A e− + i ctg θsinl θeilφ .(9.28)∂θ∂φАльтернативно, вектор ψlm может быть получен как ψlm = (ˆl+ )l+m ψl,−l . Из тождестваˆl− ψl,−l = 0 находим, как и раньше, ψl,−l = A sinl θe−ilφ , и поэтому½ µ¶¾l+m∂∂iφψlm (θ, φ) = A e+ i ctg θsinl θe−ilφ .(9.29)∂θ∂φИз формул (9.28), (9.29) следует важный вывод о том, что все функции ψlm (r, θ, φ)являются полиномами по sin θ и cos θ, а именно, легко проверить, что синусы, появляющиеся в знаменателе из-за котангенса в ˆl± и содержащие потенциальную особенность приθ = 0, π, сокращаются с синусами из sinl θ. Действительно, степень последнего уменьшается на единицу при каждом действии операторов ˆl± (как из-за дифференцирования по θ,так и из-за умножения на ctg θ), но из формулы (9.28) видно, что при m > 0 степень синусапосле всех этих операций оказывается не меньше l − (l − m) = m > 0, тогда как из формулы (9.29) следует, что при m 6 0 эта степень оказывается не меньше l − (l + m) = −m > 0,т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
