К.А. Казаков - Введение в теоретическую и квантовую механику (1124202), страница 38
Текст из файла (страница 38)
неотрицательной при любом m. Таким образом, при всех целых неотрицательныхl функции ψlm (r, θ, φ) являются однозначными и имеют производные любого порядка поr, θ, φ, а потому и по x, y, z. Следовательно, они принадлежат пространству M и являютсясобственными функциями операторов l̂2 , ˆlz .180§9.4. Свойства оператора момента импульсаПример 42. Флуктуации компонент момента. Продолжим разбор примера 41. Найдемфлуктуации lx , ly в том случае, когда вместе с lz имеет определенное значение и квадрат момента. Усредняя равенствоl̂2 = ˆlx2 + ˆly2 + ˆlz2по этому состоянию, получаемl(l + 1) = lx2 + ly2 + m2 .(9.30)22= 0, поскольку оператор ˆl+переводит векторС другой стороны, имеем тождественно l+ψlm в ортогональный ему вектор ψl,m+2 (см. теорему об ортогональности собственныхфункций эрмитова оператора из §7.4B). Раскрывая это тождество, находим2l+= (ψlm , (ˆlx + iˆly )2 ψlm ) = (ψlm , (ˆlx2 − ˆly2 + i(ˆlx ˆly + ˆly ˆlx ))ψlm ) = lx2 − ly2 + i(lx ly + ly lx ) = 0 .Операторы ˆlx2 , ˆly2 , ˆlx ˆly + ˆly ˆlx являются эрмитовыми.
Действительно, имеем, например,(ˆlx ˆly + ˆly ˆlx )+ = (ˆlx ˆly )+ + (ˆly ˆlx )+ = ˆly+ ˆlx+ + ˆlx+ ˆly+ = ˆly ˆlx + ˆlx ˆly = ˆlx ˆly + ˆly ˆlx .Поэтому их средние значения вещественны, и отделение вещественной части тождестваlx2 − ly2 + i(lx ly + ly lx ) = 0 дает lx2 = ly2 . Подставляя это в равенство (9.30), находимlx2 = ly2 =Поэтомуl(l + 1) − m2.2rqlx2 =Dly = Dlx =l(l + 1) − m2.2В частности, поскольку l > m, тоl(l + 1) − m2m>,22в согласии с принципом неопределенности.Dlx Dly =Пример 43.
Собственные функции момента с l = 0, 1, 2. При l = 0 возможно лишь однозначение m = 0, а соответствующая собственная функция ψ00 = B, т.е. не зависит от угловых координат. При l = 1 число m пробегает значения +1, 0, −1, при этом ψ11 = A sin θeiφ ,ψ10 = ˆl− ψ11 = −2A cos θ , ψ1,−1 = ˆl− ψ10 = −2A sin θe−iφ . При l = 2 z-проекция моментаможет иметь значения +2, +1, 0, −1, −2, которым соответствуют собственные функцииψ22 = A sin2 θe2iφ ,ψ20ψ21 = ˆl− ψ22 = −4A sin θ cos θeiφ ,µ¶∂∂−iφˆ= l− ψ21 = −4Ae− + i ctg θsin θ cos θeiφ∂θ∂φ= −4A(− cos2 θ + sin2 θ − ctg θ sin θ cos θ) = 4A(3 cos2 θ − 1) .Аналогично получаем, что ψ2,−1 = A sin θ cos θe−iφ , ψ2,−2 = A sin2 θe−2iφ .181(9.31)Глава 9. Трехмерное движение§9.5.Центрально-симметричное полеДвижение частицы в центрально-симметричном поле описывается гамильтонианомĤ = −~24 + U (r) ,2m4 ≡ ∂ 2 /∂x2 + ∂ 2 /∂y 2 + ∂ 2 /∂z 2 .(9.32)Для того чтобы разделить переменные в уравнении Шредингера, воспользуемся известным выражением лапласиана 4 в сферических координатах:µ¶µ¶½¾1 ∂1∂ψ1 ∂ 2ψ1 ∂2 ∂ψ4ψ = 2r+ 2sin θ+.r ∂r∂rrsin θ ∂θ∂θsin2 θ ∂φ2Замечательным при этом оказывается тот факт, что выражение в фигурных скобкахздесь есть не что иное как (−l̂2 ).
Это нетрудно проверить, подставив выражения (9.27) вформулу (9.21). Имее쵶 µ¶µ¶2ˆl− ˆl+ ψ = e−iφ − ∂ + i ctg θ ∂ eiφ ∂ + i ctg θ ∂ ψ = − ∂ ψ − ∂ i ctg θ ∂ψ∂θ∂φ∂θ∂φ∂θ2∂θ∂φµ¶µ¶∂∂∂∂ ∂ψ− ctg θ+ i ctg θψ + i ctg θ+ i ctg θ∂θ∂φ∂θ∂φ ∂φ22∂ ψ∂ψ∂ψ∂ ψ=− 2 +i− ctg θ− ctg2 θ 2 ,∂θ∂φ∂θ∂φпоэтому∂ 2ψ∂ψ∂ψ∂2ψ∂ψ ∂ 2 ψl̂2 ψ = (ˆl− ˆl+ + ˆlz + ˆlz2 )ψ = − 2 + i− ctg θ− ctg2 θ 2 − i−∂θ∂φ∂θ∂φ∂φ∂φ2µ¶1 ∂∂ψ1 ∂ 2ψ= −sin θ−,sin θ ∂θ∂θsin2 θ ∂φ2Таким образом, стационарное уравнение Шредингера в центральном поле принимает вид"#µ¶22~1 ∂∂l̂−r2− 2 ψ + U (r)ψ = Eψ .(9.33)22m r ∂r∂rrМы видим, что гамильтониан опять имеет вид (9.1), причем q1 = r, {q2 } = {θ, φ}, ĥ = l̂2 .Поэтому мы ищем его собственные функции в видеψ(r, θ, φ) = R(r)Y (θ, φ) ,где Y (θ, φ) являются собственными функциями оператора l̂2 :l̂2 Y = λY .Но эти собственные функции были уже найдены в §9.4B как совместные собственныефункции операторов l̂2 и ˆlz . Согласно формуле (9.28) имеем¶¾l−m½µ∂∂−iφsinl θeilφ ,Ylm (θ, φ) = Alm e− + i ctg θ∂θ∂φ182§9.5.
Центрально-симметричное полегде Alm – произвольные постоянные. Заменяя в гамильтониане оператор l̂2 его собственным значением [см. формулу (9.26)], получаем уравнение для радиальной функции R(r)[см. вывод уравнения (9.5)]:µ¶~2 1 d~2 l(l + 1)2 dR−r+R + U (r)R = ER .(9.34)2m r2 drdr2mr2Таким образом, задача нахождения собственных функций гамильтониана в центральномполе сведена к задаче решения обыкновенного дифференциального уравнения для радиальной функции R(r). Больше того, полученное уравнение может быть представлено ввиде одномерного уравнения Шредингера. Для этого заметим, что первый член в левойчасти уравнения (9.34) можно переписать так:µ¶d2 R 2 dR1 d1 d2 (rR)2 dRr=+=.r2 drdrdr2r drr dr2Поэтому, домножая уравнение (9.34) на r и вводя новую неизвестную функцию χ(r) =rR(r), приходим к следующему уравнению−~2 d2 χ(l)+ Ueff (r)χ = Eχ ,22m dr(9.35)где~2 l(l + 1).2mr2Это уравнение имеет в точности вид уравнения (8.5), описывающего прямолинейное дви(l)жение частицы в эффективном потенциальном поле Ueff (r) (ср.
с аналогичным результатом классической механики, §3.2).Заметим, что величиной, определяющей плотность распределения вероятностей радиальной координаты, является именно функция χ(r). Действительно, согласно постулату I,вероятность обнаружить частицу в элементе объема dτ = r2 sin θdrdθdφ около точки с координатами r, θ, φ дается выражением (предполагается, что (ψ, ψ) = 1)(l)Ueff (r) = U (r) +w(r, θ, φ)dτ = |ψ|2 dτ = |R(r)|2 |Y (θ, φ)|2 r2 sin θdrdθdφ = (|χ(r)|2 dr)(|Y (θ, φ)|2 do) ,где do = sin θdθdφ – элемент телесного угла в направлении, определяемом углами θ, φ.Распределение вероятности для радиальной координаты получается отсюда интегрированием по do (ср. пояснение B в §7.3)Z2w(r)dr = |χ(r)| dr do|Y (θ, φ)|2 .(9.36)RПоскольку функции Y (θ, φ) конечны, то интеграл do|Y (θ, φ)|2 также конечен.
Из формулы (9.36) следует поэтому, что если договориться нормировать функции Y (θ, φ) условиемZdo|Y (θ, φ)|2 = 1 ,(9.37)то |χ(r)|2 даст плотность распределения вероятностей координаты r:w(r) = |χ(r)|2 .183(9.38)Глава 9. Трехмерное движениеКак следствие, условие нормировки для функции χ(r) имеет тот же вид, что и при одномерном движении:Z+∞dr|χ(r)|2 = 1 .(9.39)0Пример 44. Нормированные собственные функции момента с l = 0, 1. Нетрудно проверить,что функции Ylm (θ, φ) с l = 0, 1 можно выбрать в видеrr133Y00 = √ , Y10 =cos θ ,Y1,±1 =sin θe±iφ .(9.40)4π8π4πИмеем, например,3(Y10 , Y10 ) =4πZ2πZπdφ03dθ sin θ cos2 θ =20Z+1dxx2 = 1 .−1Тот факт, что уравнение Шредингера и условие нормировки для радиального движения имеют одномерный вид позволяет применить к нему результаты качественного исследования, проведенного в §8.2.
Для этого надо лишь заменить U (x) → Ueff (r) и учесть,что r не может быть отрицательным. Это условие можно интерпретировать как наличиебесконечно высокой потенциальной стенки в точке r = 0. Вероятность нахождения частицы слева от стенки должна быть равна нулю, а потому по непрерывности она должнаобращаться в нуль и в точке r = 0.
Таким образом, одним из граничных условий для собственной функции χ(r) является χ(0) = 0. Второе условие на собственную функцию следует, как всегда, из условия ограниченности функции ψ(r). Поскольку функции Ylm (θ, φ)конечны при всех θ, φ, то для ограниченности ψ при r → ∞ необходимо и достаточно,чтобы функция R(r) была ограничена при r → ∞. Если χ(r) ограничена при r → +∞,то и R(r) = χ(r)/r также ограничена (а именно, стремится к нулю).
С другой стороны,как мы знаем из §8.2, если решение одномерного уравнения Шредингера неограничено,то оно растет на больших расстояниях быстрее первой степени координаты. Поэтому, если функция χ(r) неограничена, то и функция R(r) = χ(r)/r также неограничена. Мывидим, таким образом, что функция ψ = R(r)Y (θ, φ) является собственной функциейгамильтониана тогда и только тогда, когда функция χ(r) является собственной функ(l)(l)цией оператора Ĥr ≡ −~2 /2m · d2 /dr2 + Ueff (r), описывающего одномерное радиальное(l)движение частицы в эффективном поле Ueff (r).Заметим, наконец, что поскольку радиальное движение может быть инфинитным лишьв одну сторону, то каждому значению E в уравнении (9.35) может соответствовать мак(l)симум одна собственная функция χ(r), т.е.
собственные значения E (l) гамильтониана Ĥrявляются невырожденными. Это не означает, конечно, что спектр исходного гамильтониана (9.32), описывающего трехмерное движение, также невырожден. Наоборот, посколькууравнение (9.34) не содержит собственного значения m проекции момента на ось z, то иE не зависит от m, а потому для каждого E (l) имеется 2l + 1 независимых собственныхфункций ψlm (r, θ, φ) = (χ(r)/r)Ylm (θ, φ), m = −l, ..., +l.
Таким образом, каждое собственное значение E = E (l) гамильтониана Ĥ как минимум (2l +1)-кратно вырождено. Степеньвырождения может даже оказаться выше, если собственные значения E (l) совпадают дляразличных значений l, как это имеет место, например, в кулоновом поле.184§9.6. Двухатомная молекула§9.6.Двухатомная молекулаПрименим полученные результаты к движению двухатомной молекулы. Как было объяснено в §4.2, ввиду того что электронные скорости в атомах и молекулах значительно(∼ 103 раз) превосходят ядерные, движение атомных ядер может быть эффективно описано как движение материальных точек, взаимодействующих по закону U (r), где U (r) естьэлектронный терм молекулы, т.е. полная энергия электронов (их кинетическая и потенциальная энергии), вычисленная при неподвижных ядрах, плюс энергия электростатического взаимодействия ядер.
Для каждой молекулы имеется набор термов, соответствующихразличным электронным состояниям.Для того чтобы описать квантовое поведение ядер, надо, как всегда, построить гамильтониан системы. Как было показано в §3.2, функция Лагранжа системы двух частицможет быть представлена в видеµṘ2 mṙ 2+− U (r) ,22где r = r1 − r2 – вектор, описывающий ориентацию первой частицы относительно второй, R = (m1 r1 + m2 r2 )/(m1 + m2 ) – радиус-вектор центра масс системы, µ = m1 + m2 иm = m1 m2 /(m1 + m2 ) – полная и приведенная масса системы, соответственно, и U (r) – потенциальная энергия взаимодействия частиц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
