К.А. Казаков - Введение в теоретическую и квантовую механику (1124202), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Если этоимеет место для всех n и m, т.е. величины f, f 0 могут одновременно иметь определенные0значения из соответствующих наборов {fn }, {fm} в любой комбинации, то в силу линей00ности оператора [fˆ , fˆ] равенство [fˆ , fˆ]Ψ = 0 должно выполняться для любого вектора Ψ,поскольку совокупность векторов {Ψnm } образует полную систему функций, и поэтомуΨ может быть представлен в виде суперпозиции векторов из {Ψnm }. Другими словами, вэтом случае должно выполняться операторное равенство[fˆ0 , fˆ] = 0 .(7.66)Покажем теперь, что условие (7.66) является также достаточным для того, чтобы величины f, f 0 всегда могли быть точно измерены одновременно, т.е. могли иметь одновременно0любые значения из соответствующих наборов {fn }, {fm}.Теорема: при выполнении условия (7.66) у операторов fˆ, fˆ0 существует полная система совместных собственных векторов, т.е.
система {Ψnm }, удовлетворяющая уравнениям (7.65) для всех n, m. Доказательство. Возьмем любой собственный вектор Ψn оператора fˆ и разложим его по собственным векторам Ψ0k оператора fˆ0 :XΨn =akn Ψ0k , akn = const .kВ этой сумме индекс k нумерует как всегда все собственные векторы оператора fˆ0 . Напомним, что некоторые из этих векторов могут соответствовать одному и тому же собственному значению, т.е. fk0 могут быть вырожденными.
Ввиду этого нам будет удобно128§7.5. Совместная измеримость физических величин0объединить эти векторы, образовав для каждого fmсуммуXakn Ψ0k ≡ Ψnmk:0f 0 =fmk0(в случае невырожденного fmсумма в левой части сводится к одному члену). По построению, Ψnm является собственным вектором оператора fˆ0 , соответствующим собственному0значению fm:0Ψnm .fˆ0 Ψnm = fm(7.67)Тогда разложение вектора Ψn перепишется в видеXΨn =Ψnm ,mгде m теперь нумерует все различные собственные значения оператора fˆ0 . Покажем, чтоΨnm и будут совместными собственными функциями операторов fˆ, fˆ0 . Для этого подействуем на последнее равенство оператором (fˆ−fn ).
Поскольку Ψn есть собственный вектороператора fˆ, соответствующий собственному значению fn , получаемX0=(fˆ − fn )Ψnm .(7.68)mЗаметим теперь, что вектор fˆΨnm , а потому и вектор (fˆ − fn )Ψnm , является собственным0для оператора fˆ0 , соответствующим собственному значению fm. Действительно, используя равенства (7.66), (7.67), а также определение произведения операторов и линейностьоператора fˆ, находим0Ψnm ,fˆ0 (fˆΨnm ) = (fˆ0 fˆ)Ψnm = (fˆfˆ0 )Ψnm = fˆ(fˆ0 Ψnm ) = fˆfmили0 ˆfˆ0 (fˆΨnm ) = fm(f Ψnm ) .Таким образом, в правой части равенства (7.68) стоит сумма собственных векторов опе0ратора fˆ0 , причем все они соответствуют различным собственным значениям fm.
Поэтому в силу линейной независимости собственных векторов, соответствующих различнымсобственным значениям (см. §7.4A) все члены этой суммы должны обращаться в нуль:(fˆ − fn )Ψnm = 0, илиfˆΨnm = fn Ψnm ,откуда следует, что вектор Ψnm является также собственным вектором оператора fˆ, соответствующим собственному значению fn . Поскольку это справедливо для всех n, то мывидим, что уравнения (7.65) выполняются для всех n и для всех m. Наконец, посколькусистема векторов {Ψn } является полной, а каждый вектор Ψn линейно выражается черезвекторы Ψnm , то любой вектор Ψ ∈ S может быть линейно разложен по векторам Ψnm ,т.е. система {Ψnm } является полной.
Теорема доказана.Существование системы совместных собственных функций и является выражениемсовместной измеримости величин f, f 0 : в любом состоянии Ψnm эти величины имеют129Глава 7. Основные положения квантовой механики0определенные значения fn , fm, и наоборот, одновременное измерение этих величин в произвольном состоянии Ψ переводит это состояние в один из векторов Ψnm . Формальнотакое двойное измерение можно рассматривать как одинарное измерение двухкомпонентной величины (f, f 0 ), что как раз соответствует нумерации состояний двойным индексом(n, m).
Поэтому к нему применимы все полученные в предыдущих параграфах формулы.0В частности, вероятность найти значения fn , fmпри измерении в состоянии, описываемомнормированным вектором Ψ, дается выражением0w(fn , fm) = |cnm |2 ,где коэффициенты cnm определяются из разложенияXΨ=cnm Ψnm ,nmпричем Ψnm также должны быть нормированы: (Ψnm , Ψnm ) = 1 .Полученные результаты непосредственно обобщаются на случай трех и большего числа коммутирующих операторов. Именно, если помимо рассмотренных операторов fˆ, fˆ0имеется еще один коммутирующий с ними эрмитов оператор fˆ00 , то для этих трех операторов существует система совместных собственных векторов {Ψnml }, которая может бытьполучена разложением всех векторов системы {Ψnm } по собственным векторам Ψ00l оператора fˆ00 .
В случае операторов с непрерывным спектром приведенное выше рассуждениеприводит к тому же самому выводу с одной лишь оговоркой: поскольку не существует состояний системы, в которых непрерывная величина имеет строго определенное значение,слово “точно” следует заменить на “с заданной точностью.”B.Принцип неопределенностиПолучим теперь количественную характеристику неточности измерений, связанной снекоммутативностью операторов измеряемых величин.
Возьмем два эрмитова оператораfˆ, fˆ0 и пусть[fˆ, fˆ0 ] = iĝ ,(7.69)где ĝ 6= 0. Рассмотрим произвольное состояние Ψ и пусть f¯, f¯0 – средние значения величинf, f 0 в этом состоянии. Введем новые операторы F̂ = fˆ − f¯ , F̂ 0 = fˆ0 − f¯0 . Посколькусредние значения f¯, f¯0 вещественны, новые операторы эрмитовы. Заметим, что операторĝ также эрмитов.
Действительно, вычисляя эрмитово сопряжение левой части уравнения(7.69) по правилам, выведенным в §7.2B и учитывая эрмитовость fˆ, fˆ0 , получим++[fˆ, fˆ0 ]+ = (fˆfˆ0 )+ − (fˆ0 fˆ)+ = fˆ0 fˆ+ − fˆ+ fˆ0 = fˆ0 fˆ − fˆfˆ0 = −[fˆ, fˆ0 ] = −iĝ .(7.70)С другой стороны, эрмитово сопряжение правой части (7.69) дает(iĝ)+ = −iĝ + .Сравнение полученных выражений показывает, что ĝ + = ĝ . Вычислим еще коммутатороператоров F̂ , F̂ 0 :[F̂ , F̂ 0 ] = [(fˆ − f¯), (fˆ0 − f¯0 )] = [fˆ, fˆ0 ] − [f¯, fˆ0 ] − [fˆ, f¯0 ] + [f¯, f¯0 ] = [fˆ, fˆ0 ] = iĝ , (7.71)поскольку любой линейный оператор коммутирует с числами.130§8.1.
Совместная измеримость физических величинРассмотрим теперь вектор (F̂ + iαF̂ 0 )Ψ , где α – произвольное вещественное число. Мыимеем³´(F̂ + iαF̂ 0 )Ψ, (F̂ + iαF̂ 0 )Ψ > 0 ,в силу свойства 4 скалярного произведения. Применяя определение эрмитова сопряжения, учитывая эрмитовость операторов F̂ , F̂ 0 , равенство (7.71) и определение среднегозначения, левую часть можно преобразовать так³´ ³´(F̂ + iαF̂ 0 )Ψ, (F̂ + iαF̂ 0 )Ψ = Ψ, (F̂ + iαF̂ 0 )+ (F̂ + iαF̂ 0 )Ψ³´ ³´= Ψ, (F̂ − iαF̂ 0 )(F̂ + iαF̂ 0 )Ψ = Ψ, (F̂ F̂ + iαF̂ F̂ 0 − iαF̂ 0 F̂ + α2 F̂ 0 F̂ 0 )Ψ´³22 020(7.72)= Ψ, (F̂ + iα[F̂ , F̂ ] + α F̂ )Ψ = F 2 − αḡ + α2 F 02 .Таким образом, мы имеемF 2 − αḡ + α2 F 02 > 0 .Для того чтобы это неравенство выполнялось для всех α, должно бытьḡ 2 − 4F 2 F 02 6 0 ,илиppF2F 02 >qp|ḡ|.2(7.73)В теории вероятностей число= (f − f¯)2 ≡ Df называется дисперсией величиныf.
Она характеризует разброс, который будет наблюдаться в значениях величины f примногократном ее измерении в состоянии Ψ, т.е. неопределенность в ее значении. Такимобразом, мы получили следующий результат: произведение дисперсий двух физическихвеличин в данном состоянии системы не меньше, чем половина среднего их коммутатора в этом состоянии.
Подчеркнем, что хотя этот результат и означает, что в состояниис ḡ 6= 0 величины f, f 0 не имеют определенных значений, он еще не означает, что эти величины не могут быть одновременно измерены в этом состоянии точно, поскольку в процессеизмерения система может перейти из данного состояния в такое, в котором f, f 0 имеютопределенные значения, т.е. в их совместную собственную функцию. С другой стороны,может оказаться и так, что Df Df 0 > 0, несмотря на то что ḡ = 0 в данном состоянии, т.е.величины f, f 0 все же не имеют определенных значений в этом состоянии (см. пример 41).Применим соотношение (7.73) к случаю f = x, f 0 = px .
Используя формулу (7.32),получаемF2Dx Dpx >~.2(7.74)Мы видим, что правая часть этого неравенства есть постоянная, не зависящая от состояния системы, т.е. для данной пары величин вообще не существует состояний, в которыхдисперсии x и px были бы одновременно произвольно малы.
Это приводит нас к принципунеопределенности Гейзенберга: произведение неопределенностей в значениях одноименных компонент координат и импульсов частиц в любом состоянии не может бытьменьше ~/2, так что ни при каких условиях они не могут быть измерены одновременно сколь угодно точно.131Глава 8. Одномерное движениеГлава 8.§8.1.ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕСтационарное уравнение ШредингераМы переходим к применению общей схемы, изложенной в предыдущей главе, к решению конкретных квантовомеханических задач. Так же как и в классической механике,основной проблемой квантовой механики является решение уравнений движения – в данном случае уравнения Шредингера (7.22). В этой и следующих двух главах мы будемрассматривать системы, гамильтонианы которых не зависят от времени.
В этом случаезадача решения уравнения Шредингера может быть существенно упрощена – она сводится к задаче решения более простого уравнения, в котором неизвестная функция независит от времени. Этому посвящен настоящий параграф.Поскольку по определению гамильтониан Ĥ строится по функции ГамильтонаH(r, p, t), а операторы p̂i не зависят от времени, то условие независимости Ĥ от времени означает, что функция H(r, p, t) не должна явно зависеть от времени. Как мы знаем из §5.1, следствием этого является закон сохранения обобщенной энергии H(r, p) =E = const.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
