К.А. Казаков - Введение в теоретическую и квантовую механику (1124202), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Отыскание эрмитово-сопряженных операторов. Для того чтобы из уравнения(7.10), определяющего эрмитово-сопряженный оператор, найти его явный вид, следуетиспользовать явные определения скалярного произведения и оператора fˆ и преобразовать левую часть этого уравнения к такому виду, в котором вектор Ψ2 не затрагиваетсяникаким действием. Тогда, учитывая единственность эрмитово-сопряженного оператора,можно будет уже найти явный вид fˆ+ . Проиллюстрируем эту процедуру на примере операторов сдвига и инверсии из примера 26.
Мы имеемZ+∞Z+∞Z+∞∗∗(Ψ1 , T̂a Ψ2 ) =dxΨ1 (x)(T̂a Ψ2 )(x) =dxΨ1 (x)Ψ2 (x + a) =dyΨ∗1 (y − a)Ψ2 (y)−∞−∞Z+∞=³dy T̂−a Ψ1´∗−∞(y)Ψ2 (y) ,(7.17)−∞или(Ψ1 , T̂a Ψ2 ) = (T̂−a Ψ1 , Ψ2 ) .Сравнивая это равенство с определением (7.10), находимT̂a+ = T̂−a .Аналогично вычисляется эрмитово сопряжение для оператора инверсии:Z+∞Z+∞Z+∞∗∗dyΨ∗1 (−y)Ψ2 (y)dxΨ1 (x)Ψ2 (−x) =(Ψ1 , P̂ Ψ2 ) =dxΨ1 (x)(P̂ Ψ2 )(x) =−∞−∞Z+∞ ³´∗=dy P̂ Ψ1 (y)Ψ2 (y) = (P̂ Ψ1 , Ψ2 ) .−∞ОтсюдаP̂ + = P̂ ,т.е. оператор инверсии является эрмитовым оператором.109−∞(7.18)Глава 7. Основные положения квантовой механики§7.3.Постулаты квантовой механикиСформулируем теперь постулаты квантовой механики.I. В каждый момент времени t состояние системы описывается некоторой функцией Ψ(r1 , ..., rN , t), принадлежащей пространству состояний и называемой волновойфункцией.
Квадрат ее модуля определяет плотность распределения вероятностейкоординат частиц. Именно, величинаw(r1 , ..., rN , t)dτ =|Ψ(r1 , ..., rN , t)|2 dτ(Ψ, Ψ)(7.19)есть вероятность того, что при измерении координат частиц в момент времени tкоординаты i-ой частицы будут лежать в интервале (xi , xi +dxi ), (yi , yi +dyi ), (zi , zi +dzi ) для всех i = 1, ..., N.II. (принцип суперпозиции) Если каждая из функций Ψ1 и Ψ2 описывает возможноесостояние системы, то и любая их суперпозиция, т.е., линейная комбинация видаΨ = c1 Ψ1 + c2 Ψ2(7.20)с произвольными комплексными постоянными c1 , c2 также описывает некоторое возможное её состояние (c1 , c2 не равны нулю одновременно).III. Каждой физической величине f сопоставляется эрмитов оператор fˆ по следующему правилу: классическую величину f следует выразить как функцию координатri и обобщенных декартовых импульсов pi частиц (и времени), и затем заменитьаргументы pi на операторы p̂i по правилам (7.2) – (7.4)fˆ = f (r, p, t)|p→p̂ .При этом действие операторов обобщенных декартовых импульсов частиц на произвольный вектор Ψ ∈ M определяется формулой(p̂i Ψ)(r1 , ..., rN ) = −i~∂Ψ(r1 , ..., rN ),∂rii = 1, ..., N .Среднее значение величины f в состоянии, описываемом волновой функцией Ψ,вычисляется по правилу(Ψ, fˆΨ)f¯ =.(Ψ, Ψ)(7.21)IV.
Эволюция во времени волновой функции определяется уравнением Шредингераi~∂Ψ= ĤΨ ,∂tв котором Ĥ есть оператор обобщенной энергии системы.110(7.22)§7.3. Постулаты квантовой механикиПояснения и обсуждение постулатов.A. К постулатам I-III : Как видно из формул (7.19), (7.21), скалярный квадрат вектора Ψ должен быть не только конечен, но и отличен от нуля, т.е. вектор Ψ долженбыть ненулевым. Такиеи соответствующие им функции называются нормиR векторы2руемыми, а интеграл dτ |Ψ| – нормировочным интегралом.
Функции, для которыхнормировочный интеграл равен единице, называются нормированными.B. К постулату I : соотношение (7.19) задает распределение вероятностей для всехвозможных значений координат всех частиц. Если требуется найти распределение вероятностей для какого-либо подмножества из полного набора 3N координатri , i = 1, ..., N, то, согласно правилам теории вероятностей, следует проинтегрировать вероятность (7.19) по всем координатам, не входящим в данное подмножество.Например, распределение вероятностей для координат первой частицы будет1w(r1 , t)dx1 dy1 dz1 =dx1 dy1 dz1(Ψ, Ψ)Z YNdxi dyi dzi |Ψ(r1 , ..., rN , t)|2 .(7.23)i=2Далее, распределение вероятностей для координаты y первой частицы запишется ввидеZw(y1 , t)dy1 = dy1 dx1 dz1 w(r1 , t)1=dy1(Ψ, Ψ)Zdx1 dz1NYdxi dyi dzi |Ψ(r1 , ..., rN , t)|2(7.24)i=2и т.д.C. К постулату III : может возникнуть вопрос, почему при построении оператора физической величины только обобщенные импульсы, но не координаты частиц, заменяются операторами.
Дело просто в том, что действие оператора любой координатысводится к умножению на эту координату. Это следует непосредственно из постулатов I и III. Возьмем, например, координату y1 . Как известно из теории вероятностей,среднее значение какой-либо величины есть сумма произведений значений, которыеона может принимать, умноженных на вероятности их обнаружить. Согласно замечанию B, вероятность обнаружить y1 в интервале (y1 , y1 + dy1 ) дается формулой(7.24), а сумма по всем таким интервалам есть интеграл по dy1 .
ПоэтомуZZZNY1ȳ1 =dy1 y1 w(y1 , t) =dy1 y1 dx1 dz1dxi dyi dzi |Ψ(r1 , ..., rN , t)|2(Ψ, Ψ)ZZ i=211dτ y1 |Ψ(r1 , ..., rN , t)|2 =dτ Ψ∗ y1 Ψ .(7.25)=(Ψ, Ψ)(Ψ, Ψ)С другой стороны, в соответствии с постулатом III,Z1ȳ1 =dτ Ψ∗ ŷ1 Ψ .(Ψ, Ψ)111Глава 7. Основные положения квантовой механикиСравнивая эту формулу с последним выражением в (7.25), находим ŷ1 Ψ = y1 Ψ.Другими словами, действие оператора ŷ1 сводится просто к умножению на y1 . Аналогично, для любой из компонент rir̂i Ψ = ri Ψ .(7.26)Соответственно, действие оператора любой величины, являющейся функцией координат частиц, например, потенциальной энергии системы, сводится к умножениюна эту функцию(Û Ψ)(r1 , ..., rN ) = U (r1 , ..., rN )Ψ(r1 , ..., rN ) .D.
К постулату III : В соответствии с этим постулатом каждой физической величинесопоставляется эрмитов оператор. Эрмитовость операторов обеспечивает вещественность средних значений физических величин. Действительно, поскольку величина(Ψ, Ψ) вещественна, то условие вещественности среднего значения¡ ¢∗f¯ = f¯с учетом свойства 1 скалярного произведения сводится к(Ψ, fˆΨ) = (fˆΨ, Ψ) .(7.27)Если fˆ эрмитов, то равенство (7.27) следует из определения эрмитова сопряжения(7.11), в котором надо положить Ψ1 = Ψ2 = Ψ.
Покажем теперь, что операторы физических величин обязательно являются эрмитовыми, т.е. что эрмитовость следуетиз условия (7.27) вещественности средних значений. Непосредственно из этого равенства нельзя пока заключить, что fˆ является эрмитовым оператором, поскольку вопределении (7.10) участвуют два произвольных вектора Ψ1 , Ψ2 . Однако, используялинейность оператора fˆ, можно получить необходимое обобщение равенства (7.27).Для этого применим условие (7.27) к вектору Ψ = Ψ1 + Ψ2 , где Ψ1 , Ψ2 произвольны.Используя определение (7.1) и свойства 2,3 скалярного произведения, найдем(Ψ1 , fˆΨ1 ) + (Ψ1 , fˆΨ2 ) + (Ψ2 , fˆΨ1 ) + (Ψ2 , fˆΨ2 )= (fˆΨ1 , Ψ1 ) + (fˆΨ1 , Ψ2 ) + (fˆΨ2 , Ψ1 ) + (fˆΨ2 , Ψ2 ) ,или, с учетом равенства (7.27) для векторов Ψ1 , Ψ2 ,(Ψ1 , fˆΨ2 ) + (Ψ2 , fˆΨ1 ) = (fˆΨ1 , Ψ2 ) + (fˆΨ2 , Ψ1 ) .(7.28)Проделывая те же самые действия с вектором Ψ = Ψ1 + iΨ2 , мы получили бы(Ψ1 , fˆΨ2 ) − (Ψ2 , fˆΨ1 ) = (fˆΨ1 , Ψ2 ) − (fˆΨ2 , Ψ1 ) .(7.29)Знак здесь чередуется потому, что i∗ = −i, а скалярное произведение линейно повторому и антилинейно по первому аргументу.
Складывая (7.28) с (7.29), приходимк равенству(Ψ1 , fˆΨ2 ) = (fˆΨ1 , Ψ2 ) .(7.30)Итак, в соответствии с определением (7.11) оператор fˆ является эрмитовым.E. К постулату IV : В соответствии с постулатом III, при построении оператора обобщенной энергии ее следует выразить через координаты и обобщенные импульсычастиц, т.е. построить функцию Гамильтона системы H(r, p, t).
В связи с этим оператор Ĥ = H(r, p̂, t) называют гамильтонианом системы.112§7.3. Постулаты квантовой механикиПример 29. Функции из пространства S. Рассмотрим одномерное движение частицы, ипусть x обозначает ее декартову координату, x ∈ (−∞, +∞) . Функция Ψ5 (x) = sin xоднозначна, ограничена и бесконечно-дифференцируема, поэтому Ψ5 ∈ M. Однако Ψ5 ∈/ S,посколькуZZ+∞2dτ |Ψ5 | =dx sin2 x = ∞.−∞Таким образом, эта функция не может представлять какое-либо состояние частицы на2прямой x ∈ (−∞, +∞) . Далее, функция Ψ4 (x) = e−x из примера 25 принадлежит пространству состояний, т.к.
интегралZrZ+∞π2−2x2dxe=dτ |Ψ4 | =2−∞√конечен. Функция Ψ6 (x) = 1/ 1 + x2 однозначна, ограничена и дифференцируема любоечисло раз, а интегралZ+∞Zdx2dτ |Ψ6 | ==π1 + x2−∞√конечен, поэтому Ψ6 ∈ S. Функция Ψ6 (x)/ π является нормированной.Пример 30. Эрмитовость операторов координат и импульсов. В соответствии с замечаниемC операторы координат частиц сводятся к умножению на соответствующие переменные.Проверим, что они являются эрмитовыми. Для сокращения записи рассмотрим случай,когда имеется всего одна частица, и пусть r = (x, y, z) – ее радиус-вектор. Конфигурационным пространством является все трехмерное пространство.
Пусть Ψ1 , Ψ2 –два произвольных вектора состояния частицы. Тогда, используя явную формулу (7.9) для скалярногопроизведения, формулу (7.26) и учитывая вещественность координат, найдемZ+∞ Z+∞ Z+∞Z+∞ Z+∞ Z+∞∗(Ψ1 , r̂Ψ2 ) =dxdydzΨ1 rΨ2 =dxdydz(rΨ1 )∗ Ψ2 = (r̂Ψ1 , Ψ2 ) .−∞ −∞ −∞−∞ −∞ −∞Сравнение с определением (7.11) показывает, что оператор r̂ – эрмитов. Проверим теперь, что оператор обобщенного импульса частицы также является эрмитовым. Здесьуже приходится действовать покомпонентно, интегрируя по частям:µ¶Z+∞ Z+∞ Z+∞∂Ψ2∗(Ψ1 , p̂x Ψ2 ) =dxdydzΨ1 −i~∂x−∞ −∞ −∞¯x=+∞¯Z+∞ Z+∞ Z+∞Z+∞ Z+∞¯∂Ψ∗∗+ i~dxdydz 1 Ψ2 .= −i~dydzΨ1 Ψ2 ¯¯∂x¯−∞ −∞x=−∞−∞ −∞ −∞Как мы знаем, функции, описывающие возможные состояния системы, стремятся к нулю,если хотя бы один из ее аргументов стремится к бесконечности.
Поэтому первый член во113Глава 7. Основные положения квантовой механикивторой строке равен нулю, так что мы получаем¶∗µZ+∞ Z+∞ Z+∞Z+∞ Z+∞ Z+∞∂Ψ∗1∂Ψ1(Ψ1 , p̂x Ψ2 ) = i~dxdydzΨ2 =dxdydz −i~Ψ2∂x∂x−∞ −∞ −∞−∞ −∞ −∞= (p̂x Ψ1 , Ψ2 ) .Аналогичным образом проверяется эрмитовость двух других компонент. Таким образом,p̂+ = p̂ .Пример 31. Коммутаторы операторов координат и импульсов. Поскольку действие операторов координат частицы сводятся к умножению на соответствующие координаты, то всеони коммутируют друг с другом, например, (x̂ŷ)Ψ = x̂(ŷΨ) = x̂(yΨ) = xyΨ = yxΨ =ŷ(xΨ) = ŷ(x̂Ψ) = (ŷx̂)Ψ, т.е. (x̂ŷ − ŷx̂)Ψ = [x̂, ŷ]Ψ = 0, или, в операторном виде, [x̂, ŷ] = 0.Аналогично найдем для всех частиц системы[r̂i , r̂j ] = 0 ,i, j = 1, ..., N .Коммутируют также операторы разноименных компонент радиус-векторов и обобщенныхимпульсов, а также операторы, относящиеся к различным частицам:½ µ¶ µ¶ ¾∂(x1 Ψ)∂∂∂Ψ[x̂1 , p̂y1 ]Ψ = x1 −i~+ i~= 0,− −i~x1 Ψ = −i~x1∂y1∂y1∂y1∂y1поскольку ∂x1 /∂y1 = 0 в силу независимости x, y компонент радиус-вектора первой частицы, и½ µ¶ µ¶ ¾∂∂(x1 Ψ)∂∂Ψ[x̂1 , p̂x2 ]Ψ = x1 −i~− −i~x1 Ψ = −i~x1+ i~= 0,∂x2∂x2∂x2∂x2поскольку ∂x1 /∂x2 = 0 в силу независимости компонент радиус-векторов первой и второйчастиц.
Однако, операторы одноименных компонент радиус-вектора и импульса одной итой же частицы не коммутируют:½ µ¶ µ¶ ¾∂∂∂(x1 Ψ)∂Ψ[x̂1 , p̂x1 ]Ψ = x1 −i~− −i~x1 Ψ = −i~x1+ i~∂x1∂x1∂x1∂x1∂Ψ∂Ψ∂x1+ i~Ψ+ i~x1= i~Ψ .(7.31)= −i~x1∂x1∂x1∂x1В силу произвольности Ψ это важное равенство можно переписать в операторном виде,опуская для краткости индекс 1[x̂, p̂x ] = i~ .(7.32)Пример 32. Гамильтониан линейного гармонического осциллятора. Функция Гамильтонагармонического осциллятора имеет вид (см. 15)H(x, p) =mω 2 x2p2+.2m2114(7.33)§7.4.
Вычисление распределений вероятностейЗаменяя в ней p → p̂ = −i~∂/∂x, получаем гамильтониан осциллятораp̂2mω 2 x2mω 2 x2~2 ∂ 2Ĥ =+=−+.2m22m ∂x22(7.34)В соответствии с формулой (7.4) квадрат оператора импульса записан как результат повторного действия этого оператора:µ¶∂∂Ψ∂ 2Ψ2p̂ Ψ = p̂(p̂Ψ) = −i~−i~= −~2 2 ,∂x∂x∂xили, в операторном виде,p̂2 = −~2∂2.∂x2Пример 33. Оператор производной по времени физической величины. Согласно постулаˆ˙ соответствующий полной производной df /dtту III, для того чтобы найти оператор f,от данной величины f (r, p, t), следует сначала выразить df /dt через ri и pi . Это можно сделать с помощью уравнений Гамильтона, или используя явную формулу (5.15), азатем произвести обычную замену pi → p̂i .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
