Главная » Просмотр файлов » К.А. Казаков - Введение в теоретическую и квантовую механику

К.А. Казаков - Введение в теоретическую и квантовую механику (1124202), страница 25

Файл №1124202 К.А. Казаков - Введение в теоретическую и квантовую механику (К.А. Казаков - Введение в теоретическую и квантовую механику) 25 страницаК.А. Казаков - Введение в теоретическую и квантовую механику (1124202) страница 252019-05-10СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

Таким образом, собственные функции вектораимпульса имеют видΨp (x, y, z) = Aeipx x/~ eipy y/~ eipz z/~ ,A ≡ A1 A2 A3 = const ,или, короче,Ψp (r) = Aei(pr)/~ .(7.44)Постоянная A может быть выбрана различной для разных p, но нам это не понадобится.Выясним еще вопрос о том, все ли решения уравнений (7.42) мы нашли, т.е. вопросо вырожденности собственных значений (ведь мы искали решения частного вида (7.43)).Чтобы ответить на него, преобразуем эти уравнения, введя новую неизвестную функциюΨ0 (x, y, z) = Ψp (x, y, z)e−i(pr)/~ . Мы имеем¶µ∂Ψp −i(pr)/~ipx −i(pr)/~i −i(pr)/~∂Ψp∂Ψ0=e− Ψpe= e− px Ψp = 0 .−i~∂x∂x~~∂xАналогично найдем, что ∂Ψ0 /∂y = 0, ∂Ψ0 /∂z = 0.

Таким образом, новая функцияΨ0 (x, y, z) не зависит от переменных x, y, z, т.е. равна некоторой постоянной: Ψ0 (x, y, z) =A, и потому Ψp (x, y, z) = Aei(pr)/~ . Итак, собственные значения оператора импульса невырождены.119Глава 7. Основные положения квантовой механикиB.Распределения вероятностей для величин с дискретным спектромЕсли собственные значения эрмитова оператора принадлежат дискретному спектру, а собственные функции являются нормируемыми, то они обладают следующимиважными свойствами: собственные значения являются вещественными, а собственныефункции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Доказательство. Умножим скалярно уравнение (7.35) слева на вектор Ψf :(Ψf , fˆΨf ) = (Ψf , f Ψf ) .По свойству 2 скалярного произведения, правая часть есть f (Ψf , Ψf ). В левой же частииспользуем эрмитовость оператора fˆ, затем уравнение (7.35) и свойство 3 скалярногопроизведения:(Ψf , fˆΨf ) = (fˆΨf , Ψf ) = (f Ψf , Ψf ) = f ∗ (Ψf , Ψf ) .Таким образом, уравнение (7.35) даетf (Ψf , Ψf ) = f ∗ (Ψf , Ψf ) ,или(f − f ∗ )(Ψf , Ψf ) = 0 .Поскольку по определению собственной функции Ψf 6= 0, то (Ψf , Ψf ) 6= 0 и поэтому изпоследнего равенства следует, что f = f ∗ .

Пусть теперь имеются два собственных вектораΨf и Ψf 0 , соответствующие собственным значениям f и f 0 :fˆΨf = f Ψf ,fˆΨf 0 = f 0 Ψf 0(7.45)Умножив скалярно первое уравнение слева на Ψf 0 , а второе – справа на Ψf , и взяв разностьрезультатов, получим(Ψf 0 , fˆΨf ) − (fˆΨf 0 , Ψf ) = (f − f 0 )(Ψf 0 , Ψf ) .Левая часть этого равенства равна нулю, поскольку оператор fˆ эрмитов. Таким образом,если f 6= f 0 , то необходимо (Ψf 0 , Ψf ) = 0, т.е. собственные векторы, соответствующиеразличным собственным значениям, ортогональны.(1)(2)Если же собственные функции Ψf , Ψf соответствуют одному и тому же вырожден(1)(2)ному собственному значению f, то, вообще говоря, (Ψf , Ψf ) 6= 0.

Однако в этом слу(1)(2)чае функции Ψf , Ψf можно заменить их линейными комбинациями так, чтобы новыефункции стали ортогональными друг другу. Действительно, любая линейная комбинация(1)(2)c1 Ψf + c2 Ψf также будет собственной функцией оператора fˆ, соответствующей тому жесамому собственному значению f, поскольку(2)(1)(2)(1)(2)(1)(1)(2)fˆ(c1 Ψf + c2 Ψf ) = c1 fˆΨf + c2 fˆΨf = c1 f Ψf + c2 f Ψf = f (c1 Ψf + c2 Ψf ) .(1)(2)(1)(2)(1)(2)Если (Ψf , Ψf ) 6= 0, то пару функций {Ψf , Ψf } заменим парой {Ψf , Ψ̃f } , где(1)(2)Ψ̃f=(2)Ψf−(2)(Ψf , Ψf )(1)(1)(Ψf , Ψf )120(1)Ψf .§7.4. Вычисление распределений вероятностей(1)(2)Учитывая свойство 2 скалярного произведения, легко проверить, что теперь (Ψf , Ψ̃f ) =(1)(2)0, причем векторы {Ψf , Ψ̃f } линейно-независимы. Если имеется третий собственный(3)вектор Ψf , соответствующий тому же собственному значению f, то мы заменим еговектором(1)(3)(2)(3)(Ψf , Ψf ) (1) (Ψ̃f , Ψf ) (2)(3)(3)Ψ̃f = Ψf − (1) (1) Ψf − (2) (2) Ψ̃f .(Ψf , Ψf )(Ψ̃f , Ψ̃f )(1)(3)(2)(3)(1)(2)(3)Тогда по построению (Ψf , Ψ̃f ) = (Ψ̃f , Ψ̃f ) = 0, так что тройка {Ψf , Ψ̃f , Ψ̃f } представляет собой набор взаимно-ортогональных собственных векторов.

Таким образом можно ортогонализовать любой набор векторов, что мы и будем всегда предполагать выполненным. Заметим, что описанную процедуру можно провести множеством способов.Например, можно было бы просто поменять местами исходные векторы Ψ(1) , Ψ(2) . Другими словами, в случае оператора с вырожденным спектром выбор полной ортогональнойсистемы собственных векторов неоднозначен.Перейдем теперь к выяснению физического смысла коэффициентов cn в формуле(7.37).

В рассматриваемом случае теорема о разложении гласитXΨ =cn Ψ n ,(7.46)nгде сумма берется по всем значениям индекса n, который нумерует собственные функцииоператора fˆ. Пусть вектор состояния Ψ является нормированным, т.е. (Ψ, Ψ) = 1. Тогдасогласно постулату III среднее значение величины f в состоянии Ψ равноf¯ = (Ψ, fˆΨ) .Подставляя в эту формулу Ψ в виде (7.46), учитывая линейность оператора fˆ и используясвойства 2,3 скалярного произведения, получаем:Ã!XXXf¯ =cn Ψn , fˆcm Ψm =c∗ cm (Ψn , fˆΨm ) .(7.47)nnmn,mПо предположению функции Ψn являются нормируемыми, и мы будем считать, что они,так же как и Ψ, нормированы, (Ψn , Ψn ) = 1. Эти условия вместе со свойством ортогональности различных Ψn можно записать в виде единого условия ортонормированности(Ψn , Ψm ) = δnm .(7.48)Тогда, учитывая, что Ψn являются собственными функциями оператора fˆ, получим(Ψn , fˆΨm ) = (Ψn , fm Ψm ) = fm (Ψn , Ψm ) = fm δnm .

Подставляя это в (7.47), приходим кследующей важной формулеXf¯ =fn |cn |2 .(7.49)nС другой стороны, согласно правилам теории вероятностей, среднее значение любой величины f, которая может принимать значения fn с вероятностями w(fn ), дается выражениемXf¯ =fn w(fn ) ,(7.50)fn121Глава 7. Основные положения квантовой механикигде суммирование производится по всем возможным значениям величины f. Сравнениепоследних двух формул приводит к следующей интерпретации величин fn , cn : каждаяфизическая величина f может принимать лишь значения, принадлежащие спектру{fn } сопоставленного ей оператора fˆ, причем при измерении величины f в состоянии,описываемом вектором Ψ, вероятность обнаружить данное значение fn определяетсякоэффициентами cn разложения Ψ по собственным функциям оператора fˆ.

А именно,если спектр оператора fˆ невырожден, тоw(fn ) = |cn |2 .(7.51)Если же оператор fˆ имеет вырожденный спектр, то одному и тому же вырожденномусобственному значению fn соответствует несколько членов в сумме (7.49). Поэтому длятого чтобы сравнить эту формулу с (7.50), перепишем ее в следующем видеXXf¯ =fn|cm |2 .fnm: fm =fnЗдесь сначала берется сумма по всем m, для которых fm равны данному fn , а затем ужеберется сумма по всем различным fn . Сравнение этого выражения с формулой (7.50) даетXw(fn ) =|cm |2 .(7.52)m: fm =fnИспользуя ортонормированность собственных функций, нетрудно получить явнуюформулу для нахождения коэффициентов cn .

Для этого умножаем скалярно равенство(7.46) слева на Ψm , учитывая свойство 2 скалярного произведения и формулу (7.48)Ã!XXX(Ψm , Ψ) = Ψm ,cn Ψn =cn (Ψm , Ψn ) =cn δmn ,nnnоткудаcn = (Ψn , Ψ) .(7.53)Таким образом, формулу (7.51), например, можно записать в видеw(fn ) = |(Ψn , Ψ)|2 .(7.54)Напомним, что в этой формуле вектор Ψ предполагается нормированным. Для такоговектора сумма вероятностей wn автоматически равна единице. Действительно, подставляяразложение (7.46) в равенство (Ψ, Ψ) = 1, найдемÃ!XXXXXXc∗n cm (Ψn , Ψm ) =c∗n cm δnm =c∗n cn =wn = 1 .cn Ψn ,cm Ψm =nmn,mn,mnnНа практике иногда бывает удобно работать с ненормированным Ψ, а в конце вычисленийнормировать само распределение {wn }. Тогда формула (7.54) перепишется как|(Ψn , Ψ)|2.w(fn ) = P|(Ψm , Ψ)|2(7.55)mРассмотрим отдельно важный частный случай, когда все cn , кроме одного cn0 , равны нулю.

Если вектор состояния нормирован, то сумма всех |cn |2 равняется единице, ипоэтому должно быть |cn0 |2 = 1, т.е. вероятность значения fn0 равна единице. Другимисловами, в состоянии Ψ = Ψn величина f имеет определенное значение fn .122§7.4. Вычисление распределений вероятностейC.Распределение вероятностей обобщенного импульсаВопрос о нормировке собственных функций операторов с непрерывным спектром иоб интерпретации коэффициентов разложения по ним векторов состояния является математически более сложным, чем в случае дискретного спектра, однако окончательныеформулы в обоих случаях практически идентичны.

Мы разберем этот вопрос на конкретном примере оператора импульса.Начнем с нормировки собственных функций оператора импульса. Будем для простотырассматривать одномерный случай. Используя выражение (7.44), находимZ+∞Z+∞2∗dx|A|2 = ∞ .dx|Ψp (x)| =−∞−∞Таким образом, собственные функции оператора импульса являются ненормируемыми.Это означает, что не существует состояний, в которых импульс имеет точно определенное значение. Другими словами, в любом состоянии системы импульс “размазан” понекоторой области собственных значений.Скалярные произведения собственных функций, соответствующих различным p, такжене существуют, поскольку интеграл¯Z+∞Z+∞i(p0 −p)x/~ ¯+∞∗2−ipx/~ ip0 x/~2 e¯dxΨp (x)Ψp0 (x) = |A|dxee= |A| ~i(p0 − p) ¯−∞−∞−∞0не определен (при x → ±∞ выражение ei(p −p)x не стремится ни к какому числу).

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
2,52 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6418
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее