О научных работах Римана (1124050), страница 4
Текст из файла (страница 4)
После стих вступительных замечаний мы можем перейттт к ретпению наптей задачи, т. е. к определению значения ю для заданных значений г=г', г=г'. Для болыпей наглядности будем считать, что х и 1 — абсцисса и ордината точки на плоскости; на етой же плоскости вообразим кривые, иа которых г и г постоянны. Первые пз этих кривых будем обозначать через (т), вторые через (г); условимся на стих кривых оточитывать положительные направления в сторону возрастающих 1. Область (Я) предста— 389— г1. П. РАБОТЫ ПО ГРОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ФИЗИКЕ о-) ( —" — ( —," -г- —,))гь. (2) причем интеграл распрострапбн на всю область (Я).
Расположим правую часть равенства по неиевестным, т, е. в данном случае преобраеуем интеграл посредством интегрирования по частям таким обраеом, чтобы, кроме новостных величин, входила только искомая функция, а не еб проиеводные. При атом наш интеграл сначала переходит в сумму интеграла, взятого по (Я), и простого интеграла, который должен быть распространбн только по дггг дге границе области (Я), так как — непрерывно зависит от з, — — от г, а дг' да м — от обеих стих переменных. 'Усгговимся приращения г и з на граничных кривых обовначать черве г1г и гЬ, причбм будем предполагать, что виток в виде части плоскости, которая ограничена кривой (г'), кривой (з') и еаюгючггниым между ними отрезком оси абсцисс. Речь идет о том, чтобы определить свечение ггг в точке пересечения двух первых кривых по свечениям, еадаиным на отрееке оси абсцисс.
Мы ещ6 несколько обобщим еачачу и допустим, что область(Я), вместо отрезка оси абсписс, ограничена некоторой кривой (с), пересекающей каждую из кргшых (г) и (з) це более одного раса, и что для всех пар значений г и еч отвечаюди> дм щих точкам кривой (с), указаны соответствующие значения — и — .
дг дх дге дггг Как выяснится сейчас из решения еадачи, еначения — и — должны д д' быть подчинены единственному ограничению — поменяться непрерывно при движении по кривой (с1, — тогда как, если бы кривая (с) пересекала кривые (г) и (е) болыие одного раза, ети аиачеиия пе могли бы быть веяты вполне проиевольиыми. Чтобы определить функции, которые удовлетворяют линейному дифференциальному уравнению в частных производных и линейным граничным условиям, можно прибегнуть к прибму, сходному с прибмом, употребительным при решении системы линейных уравнений, когда данные уравнения складывают, умножив предварительно иа неопределбнные множители, и еатем подбирают множители так, чтобы выпагги все неизвестные, кроме одной. 11редставим себе, что область (Я) разбита кривылги (г) и (з) на бесконечно малые параллелограммы; пусть Ег и Зз — приращения, которые приобретают величины г и х, когда происходит движение по сторонам параллелограмма в положительном направлении.
Обоаначим через с произвольную функцию переменных г и х, которая всюду непрерывна и имеет непрерывные производные. На основании равенства (1) имеем: ХХ1, О РАСПРОСТРАНЕНИИ ПЛОСКИХ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ направление движения так расположено относительно внутренней нор- мали, как положительное направление кривой (г) относительно положи.
тельного направления кривой (г). Тогда упомянутый простой интеграл по границе равен е — — им дг+м — '+те дг Интеграл по всей границе (д) равен сумме интегралов по кривым (с), (г'), (г'), образующим эту границу, т. е., если обоэначим точки перв- сечения череэ (с, г'), (с, г'), (г', г ), он равен Иэ этих трех интегралов первый, кроме функции е, содержит лишь известные величины, второй, так как для него дг = О, — только неизвестную функцию е(, а не еа проиэводные; третий после интегрирования по частям принимает вид ем / дс ( ); — ( )ь -(- ): '( — 4- )е.
~, дг е',и так что сюда входит тоже только сама неизвестная функция ю. Теперь ясно„что иэ уравнения (2) можно получить еначение функции в в точке (г', г'), выраженное череэ эадевные величины, если подчиним проиевольную функцию е следующим ограничениям: 1) всюду в (Я) должно быть д~ дг + де + дг (де — + эш = О.
дг 2) при с=с" (3) де — + эее = О. дз 3) при э=г'. 4) прис=с', г=ь': с=1. В таком случае будем иметтл е. е' ( дг( / де (,( „.)Е, (,( —.( тг)Ю) . я( ~дг ) ~дг — 391 Иеложеииый выше метод нахождения интеграла линейного дифференциального уравнения с линейными граничными условиими сведсн, таким образом, к решению подобной же, но гораэдо более простой еадачи нахождения функции е: вычисление етой функции оовершается проще всего Ч. П. РАБОТЫ ПО ГЕОМЕТР1П!, МЕХАНИКЕ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ посредством применении метода Фурье к частному случаю поставлониой общей эадачи. Мы ограничимся тем, что лишь вкратце укажем это вычисление, и справед тввость полученног о рееультата докажем иным путг!и (а).
Введйм в уравнение (1) предыдущего параграфа, вместо переменных г и а, переменные а= с+а и а=с — а, ав качестве кривой (с) возьмем кривую, иа которой а имеет постоянное значение. Тогда задачу можно решить по правилам Фурье и, польауясь формулой (4) и положив г'+а' = с', г' — а' = я', тогда получим: с = — соа р (я — гг~) — (ф (с') фа(с) — фа(о') фг(с)) ага, а где ф (с) и фа (с) — два таких, частных интеграла уравнения ф" — 2агф'+ риф = О, что г гг иа — ггагг Допуская саков Пуассона, будем иметь и = ~ — — — г —; то.гда гг2 й — 1г с ф, и фа выражаются через определенные интегралы, так что е получается в виде тройного интеграла, и после редукции получаем: 1 г (- —— г'+а' '1'" и ' / 3 1 1 1 (г — г')(а — а') г, -)- а ! 1 2 Уг — 1 Š— 1 2 ' ' (г +а)(г'+а') / Правильность решения легко проверить, убеждаясь, что полученное выражение, действительно, удовлетворяет требованиям (3) предыдущего параграфа.
а -( аь Если положим с=а * д, то для у получим требование: дау +~ — — тт 1г=0, дгда ~ агс и должно быть у=1, как при с=г', так и при а=а'. В случае закова Пуассона этим требованиям можно удовлетворить, полагая, что у есть функ( — ') (' — «') ция от х= — ... В самом деле, тогда будем иметь, обо- 1 1 аначив — — — черее П 2 А — 1 1 В Л+1 ег = — — — ми=в а ) — 302— ХХ1. О РАСПРОСТРАНЕНИИ ПЛОСКИХ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУД1а1 l а'1г Следовательно, г= ~ — ) д, и у есть решение дифференциального урава ) кения а с?у (1 — г) — г — -- — — +(1+ Лг)гу = О, И1сягэ И1ояг т.
е. согласно введенным мною в мемуаре о Гауссовом ряде обоэначениям, †функц вида 01+10 притом такая, которая при "-= 0 обращается в единицу. На основании пршщипов преобраэований, наложенных в упомянутой моей работе, у можно выраэить не только через функции Р (О, 2Л+ 1, 0), /1 но также и череэ функции Р ~ —, О, Л+ — ), Р ~0, Л+ —, Л+ — ); таким образом, для у получается множество представлений с помощью гипергеометрических рядов и определбнных интегралов.
Мы отметим лишь следующие иэ них, которые являются достаточными во всех случаях: д = Р (1+ Л, — Л, 1, ) = (1 — РР— Л, — Л, 1, ' г — 11 =(1 — г)-'-~Р 1+Л, 1+ 1, 1,— 2 Чтобы пэ этих результатов, полученных при допущении эакона. Пуассона, получить соответствующие результаты для случая эакона Бойля, достаточно, как было укаэано в 5 2, величины г, г, г', г' уменьшить на а)'й й — 1 — и эатем эаставвть й стремиться к единице; при этом получим: 1 —, й — и Ре — гч -э (т — г )э(г — г )э 1 / ж = — ---, а = е -'" 2а э! э((2а)еэ е 10 Если выражение для а, найденное в предыдущем параграфе, подставить в равенство (4) 28, то значение функции и в точке т=г', дю дю г = г' будет выражено череэ значения эб — и — на кривой (е).
Но так дг дг как в нашей эадаче предполагаются непосредственно заданными на этой дге дв кривой лишь эначения —, и -; —, а ю должно быть получено с помощью дг дг ' квадратуры, то целесообраэно преобраэовать выражение для тг„, е~ таким обраэом, чтобы под знаком интеграла фигурировалп лишь проиэводиые от ю.
Ч. П. РАБОТЫ ПО ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ / дс Обозначим интегралы выражений — тс ог + ~ — + ао Й. ~ дг де — ~- тс А — тп Й каковые вследствие уравнения дг дзс д з2ю д узг дг дг дг дз — -)- — -)- — = 0 являются полными дифференциалами через Р и 1;, а интеграл от дР дУ; выражения Р Й + 1; оз каковое вследствие — = — тс = — — — также дз дг есть полный дифференциал — через а. Если в этих интегралах определим аддитивные константы таким обдв дв разом чтобы а, — и — обращались в нуль при с =г' з=з' то ока- 1 дг дг 1 де да дзв жется, что а удовлетворяет уравнениям — + — + 1 =с, —,= — те, дг дз ' дгдг ипритом будет равно нулю как при г=г', так и при з=з', и — ааметим кстати — однозначно определяется этими граничными условиями и ура- внением дзв Г де дв — + т~ —, + — + 1 =- О.
дгде ~ дг дз Вводя в выражение для аг,с вместо с функцию а, преобразуем его .посредством интегрирования по частям к виду а с' (!дв 1 дт дв да вг,м=ас,гс + ~ —,+1~ дз — — Й' (1) ,у ~~ дг ) дг дг дг с,я Чтобы определить движение газа по его начальному состоянию, возьмем в качестве кривой (с) кривую, на которой 1=0; на етой кривой дв да — = в, †, = — в, и ещз одно интегрирование по частям приводит дг дз к формуле: а', с' =ас, "+ ~ (е Йт *из) с, г' .следовательно, согласно $ 3, (4) и (Ь), ~* — о'. в.г ) с ..
=.«-)" —,'„; с. Г да (х+ ( Т'(Р) к) 1)~ сс = Яс ~ — ~ Йт. дз' хх о рАспрострАнннии плоских ва1н нонниной Амплитуды Эти уравнения (2) лишь постольку, однако, выражаю~ движение газа, поокольиу величины ~ а1 кУ~ (И ~ о ~аьрЛЪ5, ) дге ~ Ы1ояр / даа ~ с~1онр не обращаются в нуль. Но если одна вз этих величин обращается в нуль, то восникает ударная волна, и тогда уравнение 11) останется в силе лишь внутри областей, лежащих по одну и ту же сторону раерыва. Иаложенные едесь принципы, по крайней мере в общем случае, недостаточны, чтобы при наступлении указанных обстоятельств определить движение по начальным условиям; сделать это окаеывается воеможным с помощью соотношения (1) и тех уравнений, которые были получены для раерыва в 2 5, если только будет указано местонахождение етого раерыва в момент врЬмени 1, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
