Главная » Просмотр файлов » О научных работах Римана

О научных работах Римана (1124050), страница 4

Файл №1124050 О научных работах Римана (О научных работах Римана) 4 страницаО научных работах Римана (1124050) страница 42019-05-10СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

После стих вступительных замечаний мы можем перейттт к ретпению наптей задачи, т. е. к определению значения ю для заданных значений г=г', г=г'. Для болыпей наглядности будем считать, что х и 1 — абсцисса и ордината точки на плоскости; на етой же плоскости вообразим кривые, иа которых г и г постоянны. Первые пз этих кривых будем обозначать через (т), вторые через (г); условимся на стих кривых оточитывать положительные направления в сторону возрастающих 1. Область (Я) предста— 389— г1. П. РАБОТЫ ПО ГРОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ФИЗИКЕ о-) ( —" — ( —," -г- —,))гь. (2) причем интеграл распрострапбн на всю область (Я).

Расположим правую часть равенства по неиевестным, т, е. в данном случае преобраеуем интеграл посредством интегрирования по частям таким обраеом, чтобы, кроме новостных величин, входила только искомая функция, а не еб проиеводные. При атом наш интеграл сначала переходит в сумму интеграла, взятого по (Я), и простого интеграла, который должен быть распространбн только по дггг дге границе области (Я), так как — непрерывно зависит от з, — — от г, а дг' да м — от обеих стих переменных. 'Усгговимся приращения г и з на граничных кривых обовначать черве г1г и гЬ, причбм будем предполагать, что виток в виде части плоскости, которая ограничена кривой (г'), кривой (з') и еаюгючггниым между ними отрезком оси абсцисс. Речь идет о том, чтобы определить свечение ггг в точке пересечения двух первых кривых по свечениям, еадаиным на отрееке оси абсцисс.

Мы ещ6 несколько обобщим еачачу и допустим, что область(Я), вместо отрезка оси абсписс, ограничена некоторой кривой (с), пересекающей каждую из кргшых (г) и (з) це более одного раса, и что для всех пар значений г и еч отвечаюди> дм щих точкам кривой (с), указаны соответствующие значения — и — .

дг дх дге дггг Как выяснится сейчас из решения еадачи, еначения — и — должны д д' быть подчинены единственному ограничению — поменяться непрерывно при движении по кривой (с1, — тогда как, если бы кривая (с) пересекала кривые (г) и (е) болыие одного раза, ети аиачеиия пе могли бы быть веяты вполне проиевольиыми. Чтобы определить функции, которые удовлетворяют линейному дифференциальному уравнению в частных производных и линейным граничным условиям, можно прибегнуть к прибму, сходному с прибмом, употребительным при решении системы линейных уравнений, когда данные уравнения складывают, умножив предварительно иа неопределбнные множители, и еатем подбирают множители так, чтобы выпагги все неизвестные, кроме одной. 11редставим себе, что область (Я) разбита кривылги (г) и (з) на бесконечно малые параллелограммы; пусть Ег и Зз — приращения, которые приобретают величины г и х, когда происходит движение по сторонам параллелограмма в положительном направлении.

Обоаначим через с произвольную функцию переменных г и х, которая всюду непрерывна и имеет непрерывные производные. На основании равенства (1) имеем: ХХ1, О РАСПРОСТРАНЕНИИ ПЛОСКИХ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ направление движения так расположено относительно внутренней нор- мали, как положительное направление кривой (г) относительно положи.

тельного направления кривой (г). Тогда упомянутый простой интеграл по границе равен е — — им дг+м — '+те дг Интеграл по всей границе (д) равен сумме интегралов по кривым (с), (г'), (г'), образующим эту границу, т. е., если обоэначим точки перв- сечения череэ (с, г'), (с, г'), (г', г ), он равен Иэ этих трех интегралов первый, кроме функции е, содержит лишь известные величины, второй, так как для него дг = О, — только неизвестную функцию е(, а не еа проиэводные; третий после интегрирования по частям принимает вид ем / дс ( ); — ( )ь -(- ): '( — 4- )е.

~, дг е',и так что сюда входит тоже только сама неизвестная функция ю. Теперь ясно„что иэ уравнения (2) можно получить еначение функции в в точке (г', г'), выраженное череэ эадевные величины, если подчиним проиевольную функцию е следующим ограничениям: 1) всюду в (Я) должно быть д~ дг + де + дг (де — + эш = О.

дг 2) при с=с" (3) де — + эее = О. дз 3) при э=г'. 4) прис=с', г=ь': с=1. В таком случае будем иметтл е. е' ( дг( / де (,( „.)Е, (,( —.( тг)Ю) . я( ~дг ) ~дг — 391 Иеложеииый выше метод нахождения интеграла линейного дифференциального уравнения с линейными граничными условиими сведсн, таким образом, к решению подобной же, но гораэдо более простой еадачи нахождения функции е: вычисление етой функции оовершается проще всего Ч. П. РАБОТЫ ПО ГЕОМЕТР1П!, МЕХАНИКЕ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ посредством применении метода Фурье к частному случаю поставлониой общей эадачи. Мы ограничимся тем, что лишь вкратце укажем это вычисление, и справед тввость полученног о рееультата докажем иным путг!и (а).

Введйм в уравнение (1) предыдущего параграфа, вместо переменных г и а, переменные а= с+а и а=с — а, ав качестве кривой (с) возьмем кривую, иа которой а имеет постоянное значение. Тогда задачу можно решить по правилам Фурье и, польауясь формулой (4) и положив г'+а' = с', г' — а' = я', тогда получим: с = — соа р (я — гг~) — (ф (с') фа(с) — фа(о') фг(с)) ага, а где ф (с) и фа (с) — два таких, частных интеграла уравнения ф" — 2агф'+ риф = О, что г гг иа — ггагг Допуская саков Пуассона, будем иметь и = ~ — — — г —; то.гда гг2 й — 1г с ф, и фа выражаются через определенные интегралы, так что е получается в виде тройного интеграла, и после редукции получаем: 1 г (- —— г'+а' '1'" и ' / 3 1 1 1 (г — г')(а — а') г, -)- а ! 1 2 Уг — 1 Š— 1 2 ' ' (г +а)(г'+а') / Правильность решения легко проверить, убеждаясь, что полученное выражение, действительно, удовлетворяет требованиям (3) предыдущего параграфа.

а -( аь Если положим с=а * д, то для у получим требование: дау +~ — — тт 1г=0, дгда ~ агс и должно быть у=1, как при с=г', так и при а=а'. В случае закова Пуассона этим требованиям можно удовлетворить, полагая, что у есть функ( — ') (' — «') ция от х= — ... В самом деле, тогда будем иметь, обо- 1 1 аначив — — — черее П 2 А — 1 1 В Л+1 ег = — — — ми=в а ) — 302— ХХ1. О РАСПРОСТРАНЕНИИ ПЛОСКИХ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУД1а1 l а'1г Следовательно, г= ~ — ) д, и у есть решение дифференциального урава ) кения а с?у (1 — г) — г — -- — — +(1+ Лг)гу = О, И1сягэ И1ояг т.

е. согласно введенным мною в мемуаре о Гауссовом ряде обоэначениям, †функц вида 01+10 притом такая, которая при "-= 0 обращается в единицу. На основании пршщипов преобраэований, наложенных в упомянутой моей работе, у можно выраэить не только через функции Р (О, 2Л+ 1, 0), /1 но также и череэ функции Р ~ —, О, Л+ — ), Р ~0, Л+ —, Л+ — ); таким образом, для у получается множество представлений с помощью гипергеометрических рядов и определбнных интегралов.

Мы отметим лишь следующие иэ них, которые являются достаточными во всех случаях: д = Р (1+ Л, — Л, 1, ) = (1 — РР— Л, — Л, 1, ' г — 11 =(1 — г)-'-~Р 1+Л, 1+ 1, 1,— 2 Чтобы пэ этих результатов, полученных при допущении эакона. Пуассона, получить соответствующие результаты для случая эакона Бойля, достаточно, как было укаэано в 5 2, величины г, г, г', г' уменьшить на а)'й й — 1 — и эатем эаставвть й стремиться к единице; при этом получим: 1 —, й — и Ре — гч -э (т — г )э(г — г )э 1 / ж = — ---, а = е -'" 2а э! э((2а)еэ е 10 Если выражение для а, найденное в предыдущем параграфе, подставить в равенство (4) 28, то значение функции и в точке т=г', дю дю г = г' будет выражено череэ значения эб — и — на кривой (е).

Но так дг дг как в нашей эадаче предполагаются непосредственно заданными на этой дге дв кривой лишь эначения —, и -; —, а ю должно быть получено с помощью дг дг ' квадратуры, то целесообраэно преобраэовать выражение для тг„, е~ таким обраэом, чтобы под знаком интеграла фигурировалп лишь проиэводиые от ю.

Ч. П. РАБОТЫ ПО ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ / дс Обозначим интегралы выражений — тс ог + ~ — + ао Й. ~ дг де — ~- тс А — тп Й каковые вследствие уравнения дг дзс д з2ю д узг дг дг дг дз — -)- — -)- — = 0 являются полными дифференциалами через Р и 1;, а интеграл от дР дУ; выражения Р Й + 1; оз каковое вследствие — = — тс = — — — также дз дг есть полный дифференциал — через а. Если в этих интегралах определим аддитивные константы таким обдв дв разом чтобы а, — и — обращались в нуль при с =г' з=з' то ока- 1 дг дг 1 де да дзв жется, что а удовлетворяет уравнениям — + — + 1 =с, —,= — те, дг дз ' дгдг ипритом будет равно нулю как при г=г', так и при з=з', и — ааметим кстати — однозначно определяется этими граничными условиями и ура- внением дзв Г де дв — + т~ —, + — + 1 =- О.

дгде ~ дг дз Вводя в выражение для аг,с вместо с функцию а, преобразуем его .посредством интегрирования по частям к виду а с' (!дв 1 дт дв да вг,м=ас,гс + ~ —,+1~ дз — — Й' (1) ,у ~~ дг ) дг дг дг с,я Чтобы определить движение газа по его начальному состоянию, возьмем в качестве кривой (с) кривую, на которой 1=0; на етой кривой дв да — = в, †, = — в, и ещз одно интегрирование по частям приводит дг дз к формуле: а', с' =ас, "+ ~ (е Йт *из) с, г' .следовательно, согласно $ 3, (4) и (Ь), ~* — о'. в.г ) с ..

=.«-)" —,'„; с. Г да (х+ ( Т'(Р) к) 1)~ сс = Яс ~ — ~ Йт. дз' хх о рАспрострАнннии плоских ва1н нонниной Амплитуды Эти уравнения (2) лишь постольку, однако, выражаю~ движение газа, поокольиу величины ~ а1 кУ~ (И ~ о ~аьрЛЪ5, ) дге ~ Ы1ояр / даа ~ с~1онр не обращаются в нуль. Но если одна вз этих величин обращается в нуль, то восникает ударная волна, и тогда уравнение 11) останется в силе лишь внутри областей, лежащих по одну и ту же сторону раерыва. Иаложенные едесь принципы, по крайней мере в общем случае, недостаточны, чтобы при наступлении указанных обстоятельств определить движение по начальным условиям; сделать это окаеывается воеможным с помощью соотношения (1) и тех уравнений, которые были получены для раерыва в 2 5, если только будет указано местонахождение етого раерыва в момент врЬмени 1, т.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,77 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов учебной работы

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6518
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее