О научных работах Римана (1124050), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Таким обрааом, опрелелйнное евачешю г будет послеловательно встречаться с разгнгщымп «впереди находящимися» епаченвями г, и скоросгь его продвижения в каждый момент будет зависеть от значения г, с которым оно встречается. С помои!ею аналиеа можно ответить на вопрос, где ц когда еначение г =- г' встретится с некоторым предшествующим ему аначеиием г =г', т. е.
представить х и ! как функции г и г. В самом деле, если введем г и г в уравнениях(3) В 1 в качестве нееависнмых переменных, то эти уравнения превран1аются в линейные относительно х и 1, и пх Ч. И. РАБОТИ1 ПО ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ можно интегрировать хорошо известными методами.
Впрочем, чтобы привести уравнения (8) к линейным, наиболее целесообразно переписать уравнения (4) и (б) в следующем виде: ~ = — ~ Лг.— ! -';у~'юдам~-1~.( ' ' 1)'; дг ( — Й!ои $/ э' (Р), дх ~ б!оно +Нг ' ' — 1 ! (1! '.- — |л — ь — г '~р))с — !г.( дг ( — Г /И 1оа ~/~'(о1, дх ~ 4!сир д!оИ ф'е'(о) б!оид Принимая затем г и > за независимые переменпые, мы получим для х и ! следующие линейные уравнения: д(х — (к т Ф', ' !Р)) 1 ) И !оИ ф' з' (о) 1( 0!око д (х — (и — )' е' (Р)) 1) / Н !ок )г й' (о! 1~. дг ~, И !око Вследствие этих уравнений выражение (х — (а + У 9 (р)) 1) Й вЂ” (х — (к — р э (о)) 1) Йз (д) есть полный дпфферендиал, а соответствующий интеграл, который мы назовем и, удовлетворяет уравнению дзм / И !ок'Р'в' (д) '! ( дю, дм~! '-- — 1 = ж~ — -~-— дгдз (, б!ояр — ./ = '!д.
дз)' 1 /Ы !оИ ')Гв' (р) где и = ' — 1, так что т есть фупкпвл только от 2у"е'(Р)(, 4!оид ~Ь г+з. Положим )'(р) =с+в= с; тогда )/е'(р)=, и значит, и= 0!оку ' д !ои —. ИР 1 Ио 2 бо При допущении Пуассона Т(Р) =аоот получается: 2а)/й )" (р) = — р т + сопзС., й — 1 — 380— ХХ1. О РАСПРОСТРАНЕНИИ ПЛОСКИХ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ л дальше, придавая произвольной постоянной значение нуль: — 1с -~- 1 1с — 3 )> Р (р)+ г = — г+ — г, > 1 — 3 Й+1 >>>Р 1Р) — и =- >'+ — 8, 2 2 »1 1 1 1с — 3 и 2 Й вЂ” 1) с 2(Й вЂ” 1) (г+ г) В прелпосюжеиин закона Бойля Р1р) г=аар, и тогда У'(р) — а 1оК р )г г' (р) -Л г = г — г+ а, )' е' (р) — и = г — > + а 1 Ж = —— 2а тая Й= 1.
Введение независимых переменных > и 8 возможно, заметим, только и том случае, если фушсционзльный детерминант этих функций по гг н — дг дг д>. который=2)г ср'(с.) —. —, ие обращается в нуль, т. е., если сш — пи дх дл' дл д8 — пе равны пулю. ди д>' Если —, =О, то из (1) следует а»"=О, а из (2) следует, что ив дл — (и — )> в'(р))1 есть фушспия лишь 8.
Следовательно, и в этом также случае выражение (3) есть полный дифференциал, а з есть функция одной переменной г. дг Точно так же, если — = О, то г не зависит от 1, а и — (>с+ )> е' (о)) 1 д.г п >с †функц одной переменной г. дг дг Если, наконец, --- н -- оба=О, то на основании дифференциальных д.с дл уравнений >., г и г; являются постоянными. Для респении иа>пей задачи необходимо прежде всего определить функцию и> переменных г и г, таким образом, чтобы она удовлетворяла дифференпиальному уравнению дз>г дв> ди — — ж — +— д>' дг дг д8 и начальным условиям.
Такая функция определяется с точностью до постоянного слагаемого, которое, очевидно, может быть взято произвольно. Эти формулы можно получить из предыдущих, уменьшая 1'(р) на 2а1/Й а )>ЙТ постоянную, значит, г п 8 — на постоянную, н затем пола- Й вЂ” 1 Й вЂ” 1' Ч, Н, РАГ>ОТЫ ИО ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ФИЗИК!4 Где и когда определенное значение г встречается с определйвным значением гн мы можем установить нз уравнения (х — (и+ )»р' (р)) !) >!г — (,>; — (», — )>э (о)) !) >(» = >4и, (2) и, наконец, и и ! определяются как функции х н ! с помон>ью уравнений У (р) + >' = 2г У (р) — и = '-"'. (3) Действительно, если только >1> н >!» на некотором отрезке не обращаются тождественно в нуль (так что > и» сводились бы к постоянныи), из (2) следуют равенства дн> : — ('+ р' (>)) 1= —.
(4) >!>' д»> х — (и — и' е (з)) 1 = д» (3>) Прежде чем мы предпримем ннтеграншо уравнения (1) предыдущего параграфа, нам кажется умеотным выскж>ать кое-какие соображения, которые не прелпо.сага>от выполнения этой интеграции. По поводу функции э (о) пам нужно сделать только одно допущение, нмешю, что ей пронзводнан прп возрастании р не убывает, что всегда имеет место в действительности.
Мы зам> тнм теперь же (н этим не раз воспользуемся в следующем параграфе), что прп этом допущении выражение '. (2>) '; (ре) "- = ~ э'(ар, +(1 — а) р ) >(а р> -рз э — 332 и тогда посредством (3), (4) н (3) можно выразить и н р через .> и !. Если же >' в начальный момент на некотором конечном отрезке имеет постоянное значение г', то в дальнейшем этот отрезок сдвнгаетсн в сторону возрастающих значений х. Внутри области, где >.= г', нельзя иэ уравнения (2) получить значение х — (и+ )>ге' (р)) 4, так как Й = О; и, действительно„вопрос о том, когда и где это значение >' встречается с определанным значением», в атом случае не допускает определйнного ответа.
Равенство (4) тогда выполняется только на границе атой области и указывает, между какими значениями х в данный момент заключено постоянное значение г==-г, или же на протяжении какого промежутка времени в данной точке г принимает это значение. В указанных пределах и и р определяются как функции,г и ! нз уравнений (3) п (5). Подобным же образом определяются этп функции в случае, если» на некотором конечном отрезке имеет постоянное значение»', тогда как г меняется; так же и в случае, когда > и» оба сводятоя к постоянным.
В последнем случае они принимают в пределах, которые могут быть определены из (4) н (5), постоянные сцачення: какие именно — можно определить пз (3). ХХ1, О РАСПРОСТГАННННН ПЛОСКИХ ВОЛН НОННИНОЙ Аз!ПЛИТУ!(Ы прн изменениях только одной из величин рн ое цли остайтся нензме о ным или изменяется в том же направлении, что и эта величина, откуда сейчас же следУет, что оно заключено междУ о'(Р,) и е'(Ре). Рассмотрим сначала случай, когда в начальный момент нарушение равновесия имеет место в конечной области, определяемой неравенствами а(з ((б так что вне ей н и р, а значит также .э и з постоянны: значения этих величин при,г ( а будем отмечать индексом 1, а нря з '> Ь вЂ” индексом 2. Область, в которой > церемонно, согласно й ! постепенно сдвигается впербд, и притом ° ей задняя граница движется со скоростью Г'ею ф~„) + з,; в то же время передняя граница области, в которой з церемонно, движется назад со скоростью )(е'(!е) — и, 11о истечения времени 6 — л Ф Р ((О)+ $'9 (Ре)+ к~ — ае обе ети области разминутся, и между ниии образуется пространство, в котором э=х и г=г„и, значит, частицы газа вернутся снова к состоянию равновесия.
11так, из места, в котором нарушено равновесие, распростращпотся две волны во взаимно противоположных направлениях. В тОй ВОЛЦЕ, КОтОРан плот ВПЕРЕД, З = Зз) ПОЭТОМУ С ОПРЕДЕЛбННЫМ значением плотности Р непремешю связана скорость и = )'(р) — 2ха и оба. эти значения движутся вперйд с постоянной скоростью ф' э'(Р) +к= У э'(21 +У(р) — 2ак В тои же волне, которая идет назад, с плотностью э связана скорость. . — !'(Р) + 2г, и оба эти значения движутся назад со скоростью ф в,"'(Р! + +у(Р) — 2гг Ббльшим плотностяч соответствуют большие скорости распространения, так как и ф'Р'(Р) и 1(Р) возрастают вместе с Р.
1!1н деталям себе Р в виде ор:щнатьт кривой, у которой переменная абсцисса будет,г; тогда каждая точка етой кривой движется параллельно оси абсцисс с постоянной скоростью, притом тем ббльшею, чем больше ее ордината. Нетрудно понять, что при таких оостоятельствах точки с ббльшими ординатами в конце концов должны перегнать предшествуюощие точки с меньшими ордииатямп, н тогда одному значению .г будет соответстцовать более одного значения Р. Бо так как этого в действительности бь то це молят, то должно быть некоторое обстоятельство, препятствующее наступлению указанного явления. В самом деле, прн выводе дпфференциалщпах уравнений было с'[елаио:юпущенне, что я и Р являются непрерывцызщ функциями з и имеют непрерывные пронзводныо: это допущение, однако, нарушается, как только з какой-нибудь точке кривая плотности становится пе(щецдикуля)щей к оси абсцисс, ц с этого момента иа кривой устанавливается разрыв, так что ббльшие значения р непосредственно следуют за меныяими: этот случай будет разобран в следующем параграфе.
«1 П РАБОТЫ ПО ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И МАТЕМЛТИ«1ЕОКОИ «гИЗИ1«Е Волны сгу«пения, т. е. те части волны, в которых плотность при распространении убывает, сдвигаясь, становятся вой короче и в конце концов переходят в «удариыех волны; напротив, длина волн разрежения раотдт пропорционально времени [т).
Можно показать, по крайней мере пря допущении закона Пуассона [или Бойля), что, кроме некоторых особых случаев, ударные волны образуются не только тогда, когда начальное нарушение равновесия распространено на конечную область. Скорость, с которой двигается вперял значение г, при этом допущении равна й4-1 й — 3 2 Г+ —, д; 2 болыпие значения в среднем двигаются с большей скоростью, и боль шее зяачение «' рано или поздно догонит меньшее значение гт, если ТОЛЬКО ВотРЕЧаЮЩЕЕСЯ С Гч СяаЧЕНИЕ д В СРЕДНЕМ НЕ МЕНЬШЕ На 1+й ['' — ") —,, 3 — й чем в тот же момент встречающееся с г'. В атом же последнем случае прп т, равном+ос, з стало бы равно — со, так что скорость к стала бы равна+ сс [или при допущении закона Бойля, вместо того, плотность стала бы бесконечно малой).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
