О научных работах Римана (1124050), страница 5
Текст из файла (страница 5)
е. 1 будет задано как функция 1. Однако, иа атом мы закончим наше наложение, оставляя также в стороне рассмотрение случая, когда воэдушная среда ограничена твердой стенкой, так как едесь не возникает особых вычислительных трудностей, а сравнение с опытом в настоящее время едва ли возможно. ПРИМЕЧАНИЯ %Х!. О РАСПРОСТРАНЕНИИ ПЛООКИХ ВОЛН ИОПЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ (ЯЪ.йе, Х771 Мемуар Римана с'УеЬег й1е Уог$рйапхппЕ еЬепег ТпйтгвНвп топ епЛИ- оЬег ЯсЬъчпНппнвне11еэ бмя напечатан в 1860 г.
в 8.м томе Геттингенских АЬЬапй!ппнеп. В 661ИпЕег МасЬг1сЬ1еп (1859 г., М19) имеется следующий автореферат". ХХ1. О РАСПРОСТРАНННИИ ПЛОСКИХ ВОЛН КОННЧНОИ АМПЛИТУДЫ зНаотоящая работа не ставит себе полью способствовать экспериментальным исследованиям; автор просит рассматривать ей только как вклад в теорию нелинейных уравнений в частных производных. В теории линейных уравнений в частных производных наиболее плодотворные методы были выработаны не в пропессе рассмотрения отвлечйнно поставленной задачи, а скорее при изучении спепнальных физических проблем; точно так жо и теория уравнений нелинейных может, как я полагаю, достигнуть нзиболыппх успехов, если внимание наше со всею тщательностью, с учйтом всех побочных условий, направится к впециальным проблемам физического содержания.
И в самом деле, решение совершенно спепиальной задачи, являющейся предметом настоящего сочинения, требует новых методов и понятий п приводит к результатам, которые, вероятно, будут играть известную роль и в задачах более обс1вх. Окончательное решение рассматриваемой нами задачи должно было бы внести полсую ясшють с вопросы, которые послужила предметом обсуждения со стороны английских математиков Чэллиса, Эйри и Стокса (см. Р)п!. 5(ая., тт. 33, 34, 35, в частности т, ЗЗ, стр. 349), а также вызвзлиспор в Венском научном ооществе междуРеФзта!' ем, Эорр!ег'ом и К(1(пИЬапзеп'ом, подошедшизш ь вопросу с несколько иной точки зрения (И((зпп зЬепс!пе Нез.
с. 1У(зз., 1352). Кдпнственный эмпирический закон, который, помимо общих законов движения, пришлось постулировать в настоящем исследовании, зто— закон, связывающий давление и плотность газа при условии, что гзз не принимает и не отдает тепла. Уже Пуассон сделал допущение, что давление пропорционально й-ой степени плотности р, где Й вЂ” отношение теплобмкости прп постоянном давлении к теплоймкости при постоянном обчйме; благодаря экспериментам Реньо над теплоймкостью газов п с помощью одного принципа механической теории тепла это допущение в настоящее время может быть хорошо обосновано.
Мне казшюсь полезным предпослать во введении это обоснование закона Пуассона, поскольку оно ешли, повидимому, мало повестке. При этом значение Й оказывается равным 1,4101, тогда как согласно опытам Ыаг1шз и Вгага(з (Апп. Йс с)бш.
е$ йе рНуз., серия 3, т. ХП1) окорость звука при О' С п при сухом 332,37"' воздухе равна „. откуза для 1 с..п дует значение 1.4095. 1" Хотя сравнение полученных нами результатов с экспериментальными представляет большие трудности и в настоящее время едва ли может быть осуществлено, тем не менее я позволю себе сообщить здесь, насьолько возможно кратко, этп результаты.
В нас~ей работе рассматриваются лшпь такие движения воздуха илн газа, которью кэк вначале, так и в дальнейшем являются одинаково направленными, так что скорости и плотности остаются постоянными во всякой плоскости, перпендикулярной к направлению движения. В том случае, ео:ш в начальный момент нарушение равновесия ограничивается некоторым конечным отрезком, и прп обычном допущении, что изменения давления бесконечно малы по оравненпю с самим давлением, ь(ак извеспю, получается тот результат, что пз места, где нарушено равно весне, распространи~ется в противоположных пзпрзвлштях две волны, прич6м в каждой пз ппх скорость есть определенная функпия давления и именно равна (прп сделанном предположении — постоянному) числу е'(9).
где Р(9) обозначает давление прн плотности Р, а з'(2) — производную функп~ю э (о!. Оказывается, что нечто подобное происходит и в рассматриваемом нами случае, когда изменения давлении не яв- примйчлния ~1] и стр. 370. Доз уравнения, выведенные Рямаиом, получаются из общих зйлеровых уравнений гидродинамики ди ди ди ди — +и — +о — +ж — =— ди дх ду дх дг д» до дэ — +и — +е — +х — =— ! д~ дх ду дг дх дх дх дх — +и — +о — +и —, дТ дх ду дх 1 др дх 1 др ду 1 др р д- ду д д д — — ' = — (уи) + — (рг) + — (рю), дГ дх ду ' дг если в них положить и= к=О, у=э(у) и считать и и р не зависящими ляются бесконечно мзлыми.
"Рочно так же, по прошествии конечного промежутка времени, место, где нарушено равновесие, расплывается двумя волнами по взаимно противоположным направлениям. При этом скорость, измеряемая по направлению распространения волны, есть опре. деленная функция от плотности, именно ] 'уг э«(р) И ]а'р (постоянная интегрирования в двух волнах может быть различная); в каждой волне, таким образом, данной плотности всегда соответствует одна и та же скорость и, кроме того, с увеличением плотности увеличивается ~алгебраическиу, и скорость. Оба значения распространяются с постоянной скоростью.
Скорость распространения относительно газа равна )l э'(у) а относительно неподвижного пространства она больше на скорость газа, измеряемую и направления распространения. При соответствующем реальней действительности предположении, что х'(р) с возрастанием у не убывает — отсюда следует, что при большей плотности и скорость больше, так что волны разрежения (т. е. те части волны, в которых плотность растут в направлении распространения( увеличиваются пропорционально времени по своей протяженности, тогда как волны сгущения аналогичным обрезом уменьшаются — и наконец должны перейти в «ударные» волны (разрывы). Мы не приводим здесь, вследствие ихгромоздкости, формул, посредством которых выражаются законы, относящиеся к разделению двух волн и их дальней1пему распространению; не касаемся также и случая, когда равновесие нарушается сразу во всем пространстве.
Для акустики это исследование дает тот результат, что, если только изменения давления не могут быть пренебрегаемы, то при распространении звуковой волны должна изменяться форма волны, а следовательно, и характер звука. Несмотря на большие успехи, достигнутые в анализе звука в последнее время, в частности, Гельмгольцем, опытная проверка этого результата представляется очень затруднительной; действительно, при малых расстояниях изменение звука не может быть околько-нибудь заметным, а при больших — слишком трудно устранить разнообразные причины, которые видоизменяют характер звука.
О применении к метеорологии также не приходится думать, так как изучаемые нами движения частиц воздуха распространяются со скоростью звука, тогда кзк атмосферные потоки, по всей видимости, облачают гораздо меньшей скоростью«. ХХТ. О РАСПРОСТРАНЕНИИ ПЛОСКИХ ВОЛН НОИЕЧНОИ АМПЛИТУДЫ от р и .. (ействпте»»ь»»о, ири этих покушениях мы имеем: до ди о' (р) др — +а — = —— д! дх р дх др др да — — =к — +р д! дх дх .что Равносильно уравнениям Римана. Случай, когда «изменения давления бесконечно ме.ты по сравнению с самим давлением», включается оюда оледующим образом. Пусть ро и ро — — »р(ро) — значения плотности и давления, которые могут изменяться лишь весьма незначительно; тогда приближенно о (о) можно заменить »инейной функцией: 9(Р)=Ро+»Р (Ро)(Р Ро). Если, кроме того, будем считать бесконечно малыми величину и и частные производные от к и р, то, отбрасывая члены высших порядков, получим: д»»»Р'!Ро) др д7» дх' до ди о ш 'дх' откуда следует, что к и 1И р удовлетворяют обыкновенному волновому уравнению: де9 д«3 — — ( -~", ,(Р.)).
[е! к стр. 384. .«Волны сгушения» = Чегй!сЬ!ппбе»чеПеп, «волны рвврежения» = «егЛйппппИвиеПеп, «ударная волна> (разрыв) = ! егй(сЬивбвв4овв (РйоввнеПе = опйе Ле сЬос = Ьоге). (е[ к стр. 388. Это — так называемое «условие совместности> (Нойон!о!). [«) к стр. 389. В И 8 применительно и частному примеру уравнения двю / 'де дм'» — — »»»~ — + — ) =О д» де ~д» де) . изложен «метод интегрирования Римана», получивший в дальнейшем широкое развитие (см., например, Оопгва1, «Сопев й'апа1уве», т.3, гл, 26, или В агЬ оп х, «ТЬеог!е йев епг)асее», т. 2). (е) к стр. 302, По поводу следуюшего пасоажа в немецком издании «В!ешаппв Жег!«е» имеется обширное разъяснительное примечание Вебера, которое здесь не воспроизводится.
.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
