О научных работах Римана (1124050), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Итак, за исключением спепиальных случаев, всегда положение будет таково, что из двух значений г, различающихся иа конечную величину, большее будет непосредственно следовать за меньшим; следовательно, благодаря обращению в бесконечность произдг водной — дифференциальные уравнения теряют смысл и образуются дз сз бегущие вперед ударные волны. 'Рочяо так же почти всегда, если -'-' «кс обратится в бесконечность, появятся такие же волны, бегущие назад. дг дз Для определения моментов и точек, в которых — или — — ' обращаютдк ок ся в бесконечность, и возникают внезапные сгущения, мы из уравнений [1) и (2) 2 2 получаем, вводя функцию ю, следующие соотношения: е Принимая во внимание, что внезапные сгущения возникают почти всегда, даже в том случае, если плотность и скорость в начальный момент изменяются повсюду непрерывно без разрывов, мы постараемся теперь установить законы распространения ударных воля.
ХХ1, О РАСПРОСТ!»АНБН1П1 ПЛОСКИХ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ Допустим, что в момент ! в точке .с='. имеется внезапный скачок к и Р, и будем отмечать значения этих величин и величин, от них зависящих, индексом 1 при х = $ — О и индексом 2 при;г =1+ О; скорости д( д:" движения газа относительно точки разрыва, равные и — — и —— '! й' Я обозначим через еи еэ.
Масса, проходящая в положительном направлении через элемент с! в плоскости т=". эа промежуток времени а1, тогда = с Р!кй = етРэ»!!(1; действУющаЯ на этУ массУ сила Равна (!Р(Р,)— — с (Р )) вЮ, а обусловленное е!о приращение скорости есть ! т — с!; поэтому получается: (р(Р!) Т(Р»))»!с! =-(гз — ',) г, Р!»»!!! и с!Р! = зт»ю откуда следует / Р Р (Р,) — э (Рт) ! ! — —,— !»» так что !1! / Р» ", (Р,) — с (ье) / р й (р,) — э (Рт) В точке, где находится ударная волна, разность Р— с, должна иметь тот же знак, что с! и ст; знак этот — отрицательный или положительный, смотря по тому, двигается ли волна вперэд или нааад. В первом случае надлежит брать верхние знаки в предыдущих формулах, и тогда р, больше чем рэ; принимая во внимание допущение, сделанное в начале предыдущего параграфа по поводу функции с(Р), мы будем иметь: э, -1- )/Р (Р!) .
) кэ»+ )! э/(Р ) (2) так что на!па точка разрыва движется вперед медленнее, чем следующие са нею, и быстрее, чем предшествующие ей значения г; г! и гт в каждый момент определяются дифференциз.чьными уравнениями, не теряющими смысла по обе стороны от точки разрыва. То же самое справедливо, поскольку значения з движутся назад со скоростщо )/э' (Р) — э, также относительно зэ, а следовательно, и Р, и зю но нс дла зп Зпачей' нпя г! я — определяются огшозначно из г„сэ и эт посредством соотно- Ф !~ ~Я шений (1).
В самом деле, уравнению 2(г г ) — /(р!) /(Р )+ Р! Рт ( ° (Р! Р(Рэ)) (3) Р!Рэ у;!овлетворяет только одно значение р„тзк ьак !'(р!) и оба множителя Р! » / Рт Г Т (Р!) !Р(Рв) — и Р— 1. Ч. 1Ь РАБОТЫ ПО ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ФИЗИКЕ на которые раелагается последний член, постоянно воерастают (впрочем, второй может оставаться и постоянным), когда р, растет от р2 до бесконечности, и следовательно, правая часть (3) принимает каждое положительное аначеште только один раз. Если же р1 определено, то ие урав- Ж наний (1) получаются вполне определенные значения и и —. Е1 ' Аналогичные соображения справедливы н по поводу волны сгущения, идущей иааад. Мы установили, что аначение и и р по обе стороны движу1цейся ударной волны свяеены всегда соотношением (Р1 — Р2) (\~ (Р1) — Ф (Р2)) (к1 22) — Р1 Р1 Р2 (Р Р1) (Т(Р ) Р(Р1)) Р Р1 (Р' — Р2) (Т(р') — Т(Р2)) .
Р Рт к — к Р 1 (Р Р1) (Т(Р ) Т(Р1)) Г(р Р21 (Т(Р ) — Ф(Р2)) "1 "2= 1 2 11Р Р/ РР Так иак оба слагаемых в правой части (2) возрастают вместе с р', то и1 — кт должно быть положительным, и притом 2 (21 Рт) (Т (Р1) — Т (Рт)) . (к — к )2) Р1Р2 и, обратно, если ети условия выполнены, то всегда имеется одна н только одна пара чисел к' и р', удовлетворяю1цая уравнениям (1).
Чтобы наступил последний случай, и движение совершалось бы согласно дифференциальному уравнению, необходимы и достаточны условия г1 (22 и 21 ) 22, так что к1 — кт отрицательно и (и1 — и2)2)~ (1'(Р1)— — Р(рт))2. Эначения г и г2, г, и 22 в етом случае разделяютоя (так как идущее впереди движется с большей скоростью), и раерыв исчееает. — 886— Воаникает вопрос: что же получается, если в данный момент в данной точке имеются совершенно проиавольные разрывы? Окаеывается, что тогда, смотря по еначениям к1> р„кт, рт, или расходятся в обе стороны две равных ударных волны, или же идет вперед только один, или ндбт наеад только одна, или не будет вовсе раерывов, так что дифференциальное уравнение нигде не будет терять смысла.
Обоеначим еначения к и р поаади или между разрывами в первый момент их распространения черве к' и р', тогда в первом случае р') Р, и )рт, и тогда ХХ1, О РАСПРОСТРАНЕНИИ ПЛОСКИХ ВОЛН КОНЕ'1НОЙ АМПЛИТУДЫ Если не выполнены ни те ни другие условия, то начальным условиям удовлетворяет один разрыв, именно, идущий вперил или назад— смотря по тому, будет ли р1 больше или меньше чем рз, В самом деле, если р, ~ рз, то выражение 2(г~ — гз) или 1(Р1) 7(Рз)+и~ — из положительно, так как (и, — из)з ( (((Р,) — 1'(Рз))', и следовательно, это выражение .
Я,),) /(р,)+у Г(р~ — рз) (Р(р ) — е(р 1) о рз так как , ( (р — рз) (й (р ) — . (р )) . (и) из) ( 1 о,ре поэтому для плотности р' позади разрыва можно найти значение, удовлетворяющее условию (2) предыдущего параграфа, и это значение (р,. Следовательно, так как з'=1'(Р') — г„з, =1(Р,) — г, то з' (аи так что движение позади разрыва может совершаться согласно дифференциальному уравнению. Другой случай, когда р, (рз, исследуется подобным же образом. Чтобы иллюстрировать предыдущее изложение простым примером, в котором движение может быть определено с помощью указанных выпье прибмов, допустим, что давление и плотность связаны законом Бойля, и в начальный момент имеют разрыв в точке я= О, а по ту и другую сторону от этой точки — постоянны. По предыдущему, надлежит различать четыре случая.
1. Если и,— из) О, так что две массы газа (в их относительном дви- жении) идут одна другой навстречу, и притом ~ — ) ) /и, — из)з (р, — рз)е а ребре то образуются две ударные волны,. бегущие в противоположных на- пРавлениях. Обозначая У вЂ” через а и вводя положительный корень 6 .
'Гр, У р уравнения и,— из 1 =б — —, а а+— мы убеждаемся, на основании $6 (1), что плотность мелсду разрывами дается равенством р'=ббу'р рж и вследствие Й Ь (1) получаем скорость '1. П. РАИОТЫ ИО ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ Н МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ФИЗИКЕ разрыва, бегущего вперил, »Й р а »1» а0 ' — '= и +аа0;= »'+ — -, и бегущего назад И! О, а — '=и,— а — =и — а —; Ж ' а 0 ' по истечении времени 1, ес:ш .г удовлетворяет неравенству ( †.) 01 »»! — а — ]1,»т ( (и + аа0) т, то значения скорости и плотности будут !»' и р', дття меньших значений я будут и, н з„для ббльшпх и и»»з, Н. Еоли и, — и О, так что две массы газа расходятся в разные стороны, и вместе с тем то в обе стороны от разделяющей их точки удаляются лве постепенно суживающиеся волны разрежения.
На основании 0 4 между ними г = и„ з = з, и = ». — зз. В волне, идущей вперйд, ь- = з, и а — (и+ а) 1 есть функдия», значение которой определяется из начальных уоловий при 1= 0, к= О, п оказывается равным нулю; в волне, идущей назад, г=».! и к — (и — а) 1= О. Таким образом, если л удовлетворяет неравенству (, — хе +- а) 1 ( х ч, (»те + а) 1, первое уравнение д.зя определения и и о есть и= — а+ —;для меньпшх х оно будет» =ем для бблыпнх» = »з. Другое уравнение при выполнении неравенства (и,— а) У ч.,» ч (», — зз — а)1 будет»л = а+ —; д»тя меныних,» и для ббльших .» будет соотзетстт»евно » и = и! т! 3 = 82. Ш.
Если не имеет места ни тот ни другой случай, и притом р, ) рз, то возникает бегу!два назад волна разрежения и бегущий вперйд разрыв сгущения. Вводя корень 0 уравнения ! 3:=-2!ОИ О+0 — --„ 2 (и — тч) 1 и 0 ! находим для разрыва, сот,!асио Й б (3), р'== 00рз и, согласно й 5 (1), »И и »По истечении времени 1 перед разрывом, т. е. прп .; Тл(из+об) 1, — 388— ХХ1. О РЛСПРОСТРАНЕННИ ПЛОСКИХ ВОЛН КОНЕЧНОЙ ЛЪ1ПЛИТУДЫ будет а=.ю.„р =рг, а позади пего г=г, н, кроме того, прп (ттт — а)1< х ((з' — а)1 х т будет тт=а+-, для меньптих,г тт=в„для ббльших а=а. 1Ъ'. Если два первых случая не имеют места, п рт( р, то всв протекает, как в случае 1П, но меняется направление. т1тобы на~тта задача была полностью рззрентеяа, нужно (3 3) подобрать функцию ю, удовлетворягнцую дифференциальному уравнению дгю !дм дх1 — — и11 — + — )=О дгдг ~ дг дг ~ и начальным условиям. Исключая заранее случай возможных разрывов, мы можем сказать, что согласно 81 место н время, т, е, значения х и 1, прн которых г н г принимают некоторые значения т' и г, определяются полностью, если задаются начальные значения г и г на отрезке между значением г' величины и значением г' величины г, и если дифференциальные уравнения(3) 3 1 выполнены всюду в области (Я), которая при любом значении 1 охватывает все значения х, заключенные между теми двумя значениями, для которых г = г' иг=г'.
Ъ'акттмобразом,изначениетг прн г=г', г=г' вполне определено, если везде в области (8) удовлетворено уравнение (1) н для начальных значедх дм нийг иззздапызначенпя —, н —,, а следовательно, с точностью до адлидт. дг тинной константы, также и значения ю, причем константа — произвольная. Действительно, ети условия равносильны предыдущим. Из 3 3 также дз следует, что производная — по обе стороны от значения г=г" (предподт латая, что такое значение достигается в конечном промежутке) принимает различные значения, однако, изменяется всюду непрерывно при изменении дттт г; и точно так же — относительно г; сама же функпия ю всюду иепредг рывна как относительно т., так и относительно г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
