Дж.В. Стретт - Теория звука (1124008), страница 101
Текст из файла (страница 101)
В качестве примера такой невозможности мы можем кратко отметить случай наиболее низких колебаний одного измерения в газе, подчиняющемся закону Бойля и находящемся в цилиндрической трубе с закрытыми концами. Уравнение, которое должно удовлетворяться всюду [(4) й 2491, имеет вид: а процесс, вытекающий из общей теории, состоит в том, что сле- дует положить у= х+уз+у,сов л1+уя сов 2л1+ ..., где уз Н, з1пх+Ноз з1п 2х+Нзаз)ВЗх+ ..., у,=Ны з1пх+Нвз1п 2х+ Наьйп Зх+ ..., уэ= Нсч з1пх+Н з1п 2х+Н ьйп Зх+ ... и т.
д. В первом приближении у = л+ Н„В1п х соз ВС, причем в=1. Но когда мы переходим ко второму приближению, мы находим 14аз — 4) Н = — — а Ны, 1 з з 2 причем В все еще равно 1, так что метод оказывается бессильным. Член Н вз1п 2хсоз2п1 в выражении для у, первоначально предполагавшийся второстепенным, входит с бесконечным коэффициентом. Возможно, что здесь мы имеем объяснение того, почему так трудно заставить длинные узкие трубы звучать в низшем присущем им тоне.
Поведение системы, совершающей колебания под действием приложенной силы, можно рассмотреть совершенно аналогичным способом. Взяв, например, случай двух степеней свободы, уже рассмотренный в отношении свободных колебаний, предположим, что приложенные силы суть Фз = Е сов р1, Ф = О, 133) пгимачания к ф 273 467 так что решение в первом приближении есть ег — ряал ' (34) ПРИМЕЧАНИЕ К э 273 ') Метод получения пуассонова решения (8), данный Лиувиллем в) заслуживает быть отмеченным. Если г — радиус-вектор, отсчитываемый от некоторой тспчки О, и если проинтегрировать общее дифференциальное уравнение по объему, заключенному между сферическими поверхностями с радиусами г и г + г)г, то после преобразования второго интеграла по теореме Грина найдем д ( Л) дээ(гэ) — = аэ— дгл дэ (а) где Л= ~ ) ~рг(а, т.
е. пропорциональна среднему значению р, вычисленному для сферической поверхности радиуса г. Уравнение (и) можно рассматривать как обобщение уравнения (1) й 279; это можно также доказать, исходя из выражения (5) 9 241 для ччр, выраженного в обычных полярных координатах г, (), а. Общее решение уравнения (а) есть гЛ = у (ат + г) + 3 (а( — г), 6) где )( и  — произвольные функции; но. так же как в $279 если полюс не является источником, у (ат) + 3 (аг) = О, так что гЛ = у(а(+ г) — у (аг — г).
1) Это примечание было в 1 и~ ~анин, л) 1.1оитйе, том 1, стр. 1, !Збэ. При подстановке р вместо а уравнения (22), (23) все еще применимы„так же как и результирующие уравнения (24) — (31), за исключением того, что в уравнении (25) следует умножить левую часть на Н,, а в правой части — вместо нуля подставить Е . Теперь это уравнение служит для определения Н, вместо того, чтобы, как прежде, определять а, Очевидно, что таким путем всегда можно построить действительно периодическое решение. Периодом будет период силы, а фазы таковы, что вся система приходит в состояние покоя в момент, когда сила имеет максимум (положительный или отрицательный).
После этого следует итти прежним путем, как в случае свободных колебаний, причем каждый ряд, состоящий из косинусов, остается без изменения при перемене знака 1 на противоположный. 468 довлвлвнив А (з 307) Из (7) следует, что при г = О, в точке О, ) = 27'(а~), что является поэтому также значением 4зе в точке О в момент Д Далее, иа (7) следует так что или, в обозначениях й 273 2у'(г) — ~ ~ Р (г)~Ь + — ~г ~ ~ У(г)сЬ~ . (3) Записывая аг вместо г в выражении (3), получаем значение 2у'(а1) или 4зр, которое согласуется с (8) 8 273. ДОБАВЛЕНИЕ А ($307) ') О ПОПРАВКЕ ДЛЯ ОТКРЫТОГО КОШИ Задача определения поправки для открытого конца трубы представляет значительную трудность, даже когда имеется бесконечный фланец.
В тексте (3 307) доказано, что эта поправка а больше 1 8 чем — к)с и меньше чем — )ч. Последнее значение получено путем 4 Зч вычисления энергии движения в предположении, что параллельная оси скорость постоянна по всей плоскости отверстия, и сравнения этой энергии с квадратом полного потока. Действительная скорость, несомненно, возрастает от центра наружу, становясь бесконечной у острой кромки, а предположение о постоянном ее значении несколько искусственно.
Тем не менее, вычисленное таким образом значение а, как оказывается, не выходит далеко аа пределы истины. Очевидно, мы вправе ожидать очень хорошего результата, если допустим, что аксиальная скорость имеет вид: чз Нгз 1+ — +-'— 17а лч ~ где через г обозначено расстояние от рассматриваемой точки до центра отверстия, и затем определим р и р' так, чтобы полная энер.ия обращалась в минимум. Определенная таким образом энергия, хотя необходимо с избытком, но должна давать очень хорошее приближение к истине.
Выполняя этот план, мы встречаемся с двумя различными задачами: определением движения, во-первых, вне, и во-вторых, внутри цилиндра. Мы возьмемся сначала за первую задачу как более легкую. г) Это добавлензе было в 1 издании 469 о попглвкв для откгытого конца По условию ча равно нулю в бесконечности, а при х = О дрых равно нулю всюду, за исключением площади круга г = Й, где — =1+ — + — ' дч ига р.'гч дх 17з !74 (1) При этих обстоятельствах, как мы знаем (9 278), 1 !' !'дт Ло (2) 2я3 3 дх о ' где р обозначает расстояние от точки, в которой следует определять з, до элемента площади г(з. Имеем ') 2(кинетическая энергия)з = — — ! ~ у — па = 2 ),! дх если Р представляет потенциал на самом диске радиуса К у которого плотность = 1 + — + ч нгз Н гч !7а р» ' Значение Р следует определить методом, примененным в тексте (9 307) для случая однородной плотности.
На краю диска, если его обрезать до радиуса а, имеем потенциал У 4а+ — — + — '.— 20 наз 356 ГАЛФ 9 Да 225 !74 (3) и таким образом, выполняя интегрирование, получаем аз, аю Р = ~ 2каг7а У(1+р — +р' — ~ = Дз !7~= о 8а17а ! 14 5 3!4, 2!4 г 89,а! .= — ~1+ — р+ — ра+ — р + — „р,г+ — р, ~. (4) 3 ! !5 21 525 675 825 Эта величина, деленная на л, дает двойную кинетическую энергию движения, определяемую соотношением (1). Полный поток равен н гз г гз'ч / ! 1 2ягс(г(1+ р — + р' — ) = я)7а ~1 + — р.
+ — р'~. (5) 17а )ч'7 '! 2 3 о Теперь нам следует рассмотреть задачу определения движения несжимаемой жидкости внутри жесткого цилиндра при условиях, что осевая скорость равномерна при х = †, а при х = 0 она имеет вид дч га, гз — =1+!а +!а дх Ю 174 ' а) Предполагается, что плотность жидкости равна единице. 470 доэчвлвнив А (% 307) Мы внесем ясность, выделив из 7 ту часть, которая соответствует равномерному течению.
Так, если мы примем очх=1+2 +3(з+)х' то (! будет соответствовать движению, которое исчезает при больших численных значениях х. При х= О д 1!(г — 2)+Р (г 3) (6) ! Ра 1Уо(Р))Я = 2 ~ гг?гА~(ргф(г — 2)+ р'(г — 3)~. В левой части каждый член, ва исключением одного, исчезает по свойству самих функций. В правой части имеем ! ) га!гз'о(рг) = О, е $ ! 2 1 в ?4 32\ ге !?г?о(рг)= зо(Р) ! гвгзгго(рг)=( — — — !Хо(Р) рз ' ! (,Рз а? о 3 так что ар — —, ( ) )й+2р.'(1 — — )). !) Численные значения корней приближенно равны: Р! = 3,83170з, рз = 7,015, р! 10 174, р = !3,324, рз = 16,4?!, Рв = 19,616, если ради краткости положить Я = 1. Но ф можно разложить в ряд !? = Х а„е" л'о(рг), где р обозначает корень уравнения ') У;(р) = О.
(8) Каждый член этого ряда удовлетворяет тому условию, что он не дает радиальной скорости при г = 1 и не дает никакого дви- жения при х = — со. Остается определить коэффициенты а так, р чтобы удовлетворить соотношению (6) при х=О, От г 0 до г= 1 мы должны иметь ~~ЫРаг!зо(рг) = 1з Р— 2)+ р (~~ — — ), откуда, умножая на Уо(рг)гг?г и интегрируя в пределах от О до 1, получаем о попвлвкя для откгытого конца 47! Таким образом, потенциал скоростей !7 всего движения есть !-(!; —,'!от!) -!-!~'"'Я!!о — ! !,и>, оо! где суммирование распространяется на все допустимые значения р.
Теперь нам следует найти энергию движения такого количества жидкости, которое заключено между х=О и х= — 1, где 1 настолько велико, что скорость там можно считать постоянной. По теореме Грина ! 2 (кинетическая энергия) ~ !р — 2пг дг!е=о!— дт дх о ! — ~ !7 — 2пге!г1„= и. дт дх Но при х= — 1 ( +21+31 )' д +21+31 дх 1 1 !о так что второй член есть п1(1 + 2 р + 3 1!') . При вычислении первого члена мы дол!кны помнить, что если р! и ро†два различных значения р, то ! ~ 2пг!тгУо(рог) lо(рвг) = О.
о Таким образом, ! ! о — Х 2пгдг!р — =16 Чч ~ ~ ( Р ~ 2пгг1г[уо(рг))о= дхо, Ю .ЬЫ ро (.Го (р)Р о =16п ) (1о+2р'(1 — —,)~ р-о. Следовательно, восстанавливая )ч, имеем 1 2 (кинетическая энергия) = пЯЧ(1+ — р+ — р') + + 16пйа ~~~~ (1! -(- 21!'(1 )~ р-о К этому следует прибавить энергию движения по положительную сторону от х= О. В целом 2 кинетические энергии 7 + 16 (поток)о п1хо ( + 1 + 1,)о 2 3" Х,'Яр+2, (1 — у) ~'р- + 14 5 314 , 214 , 89 8 15 21 525 675 825 1+ — и+ — яд+ —,и'+ — и '+ — ого 3по1т ( 1 1,)Я 472 довхвленнв а (гз 307) Следовательно, если а есть поправка к длине, то яг=~1+ар+ба'+(6" ~~р +21)р + + ( 24 я ( ~~ ~р а — 8 ~)~ ~р ') + —. ) рр' + +(24к( ~ р ь — 16 ~ р 7+64 ~~1 р а)+ — ~р'а): '( +2!+8! )' Численное определение из значений р дает ~р ь = 0,00128266; ~р а в 8У',р-' = 0,00061255, ~ р-а — 16 ~ р-7+ 64 ~ р з = 0,00030351, и, таким образом, ~~, — — 11 + 0,9333333р+ 0,5980951р.'+ 0,2622728ря з +0,363223РР'+0,1307634Р'а(;(1 -(- ! р -( 1 р')— 0,0666667! + 0,06867!бн О,О!22728иа 1 1 (1 + — н + — и~) 0,029890нр.' — О,О!96628рм ( 2 3 ) Дробь в правой части выражения представляет собой отношение двух квадратичных функций от р и р', и нашей целью является определение ее максимального значения.
Вообще, если Б и 5' — две квадратичные функции, то максимальное и минимальное значения я = о)о' даются кубнчным уравнением — 6я-а+г)з-Я вЂ” т)'з '+а'=О, где 5 = ара+ Ьр'"+ с+ 27р'+ 29р+ 2Ьрр.', 5'=а'рв+Ь'и' +с'+27'р'+2а'р+28'рр', Ь = абс+ 2)Я вЂ” ауа — Ьаа — сда— (Ьа — аЬ) (Ле — ас) — (Ла — аУ) а (Ь = (Ьс — 7Я) а'+(са — аа) Ь'+ (аЬ вЂ” Ьв) с'+ + 2(ай — ау) 7'+ 2 (Ьу — Ьд) а'+ 2(78 — сй) й', а Й' и д' получают нз Й и а путем взаимного обмена штрихован- ных и нештрихованных букв. 473 о попгавкз для откгытого кОнцА В данном случае, поскольку 5' есть произведение линейных множителей, А'=О, а поскольку оба множителя одинаковы, й'=О, так что просто я=А/1т. Подставляя численные значения и производя вычисления, находим а = 0,0289864, что является максимальным аначением дроби, совместимым с действительными значениями )ь и р.'.
Соответствующее значение и есть 0,82422вв; истинная поправка не может превышать этого значения. Если мы положим р'= О, то наибольшее возможное тогла значение г есть 0,024363, что даетв) а = 0,828146)с. С другой стороны, если мы положим р=О, то максимальное значение г получается равным 0,027653, откуда а = 0,825353)х.
Из этого результата видно, что переменная часть нормальной скорости в отверстии лучше выражается членом, пропорциональным г4, чем членом, пропорциональным гя, Значение и =0,8242)в, вероятно, достаточно близко к истине. Если считать нормальную скорость постоянной, то'а = 0,848826)с; если считать, что она имеет вид 1 +ргэ, то и = 0,82815)с, где р определено соответствующим образом; если же в основу вычислений положен вид 1+ргэ+1в'гв, содержащий другую'произвольную постоянную, то получаем и =0,8242)с. Истинное значение а, вероятно, около 0,82)с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
