Дж.В. Стретт - Теория звука (1124008), страница 100
Текст из файла (страница 100)
В приведенном здесь обзоре состояния вопроса о гласных можно было коснуться лишь нескольких наиболее общих его сторон. Читателю, который желает составить себе суждение о противоположнйх точках зрения и проследить в деталях этот вопрос, следует обратиться к оригинальным трудам новейших авторов, среди которых можно особо упомянуть Германна, Пиппинга (Р1рр1пя) и Ллойда. Область эта привлекательна; но те, кто будет работать в этой области, должны быть хорошо вооружены знаниями как в области физики, так и в области фонетики.
') Ргеесе а. $поь, Ргос. Аоу. Бог., том ХХЧ1!1, стр. 358, 1879. ПРИМЕЧАНИЕ К $ 86 ') Можно заметить, что движение любой точки, принадлежащей к системе с и степенями свободы, совершающей гармоническое движение, вообще прямолинейно. В самом деле, если х, у,г — пространственные координаты этой точки, то мы имеем Х=Хсозпй у= Усозпд З=лсозлг, где Х, У, л — определенные постоянные; таким образом, в каждый данный момент х:у:г=Х:У:Л. Если имеется более одной частоты в рассматриваемом случае, то координаты не будут находиться обязательно в одинаковой фазе. Тогда наиболее общие значения х, у, я, подчиненных данной периодичности, суть х=Х сов и!+Ха з!и пА у= ); соз а!+Уз гйп пА я=2, сова!+Е,з!пи!; зти уравнения указыва!от на эллиптическое движение в плоскости х(У Ля — Л„Ув)+у(ЛХв — Хаааа)+я(ХУз — У Хз) = О.
ДОБАВЛЕНИЕ К ГЛАВЕ я'в) О КОЛЕБАНИЯХ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ В СЛУЧАЕ, КОГДА АМПЛИТУДЫ НЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫ В 88 67, 68 мы нашли второе приближение для колебаний систем с одной степенью свободы, как в случае, когда колебания свободны, так и в случае, когда онн создаются данными приложенными силами, действующими извне, Теперь мы предполагаем распространить наше исследование на случаи, когда имеется более, чем одна степень свободы. При отсутствии диссипативных и приложенных сил можно все движение выразить ($80) госредством функций Т и ьл. В случае бес- а) Это примечание впервые появилось во П издании.
в) Это добавление впервые появилось во !! издании. 461 колвялння втоРого поРялкл 1 '2 1 '2 Т= 2 Аааа9а+ 2 Ааааа+... +А!я!саара+А!ар!!92+..., (1) гле Аао А... — функции от а9а, лез, ..., включающие постоянные члены а,, а,„..., межлУ тем как Анн Аш,... — фУнкции техжепеременных, но без лослаояииых членов; ~'= 2 с!'9,'+2 са'9',+...+1'а+)се+..., (2) тле через 1сз, 1ла, ... обозначены части )с, имеющие степени 3, 4, ... ПО !97, 99, ... В качестве первого приближения, применимого к бесконечно малым колебаниям, имеем А„=а,, Аяя — — а, ..., Аш — О. А, =0 Ъ'2=0, )7,=0,..., так что уравнения Лагранжа (6 87) имеют вид: а!у!+с!я!7=О, очоя+сзр2=0 и т.
д,, (3) где координаты разделены. Решение относительно ар можно принять в виде ар! = 77! СОз пга аея — — О, лез= 0 н т. Л., (4) где с — пяа = О. ! !— Аналогичные решения существуют и для других координат. Второе приближение, к которому мы теперь переходим, должно быть основано на (4) и (6); таким образом, следует рассматривать оз, уе, ...
как малые величины сРавнительно с а9!. Коэффициенты в уравнении (1) мы пишем в вйде! А„= а, +аарл+а, аея+..., 472 = авар!+ А22 = аале!+ а в уравнении (2) "а ТР +ТР '~ + (6) (7) 31 Зал. !779, Раааа, П конечно малого колебания около положения равновесия Т и )/ приво дятся к квадратичным функциям скоростей и перемещений с постоянными коэффициентами и соответствующим выбором координат можно заставить исчезнуть ($87) члены, содержа7цие лроизведениякоординат. Даже несмотря на то, что мы намерены включить члены высшего порядка, мы можем все же уловлетвориться зтим упрощением, выбирая в качестве координат такие, которые обладают свойством приведения членов второго порялка к суммам квадратов.
Таким образом, можем написать 462 довлвлвнив к глава т так что для дальнейшего приближения дТ вЂ”.=(а +авврв) (рв+аврврв+ав'рв'рв+" дев и!дТ; 'в д 1 — ) = (ив + авв'Рв) Рв + авРв + ~ ~д~~) + аэро + а ерв+ азрвйв+ азад рв+.... дТ 1 дт 2 авР(+авРРв+ ав%в9в+ Таким образом, сохраняя члены порядка ф получаем в качестве уравнения для рв (9 80) (а,+а,„р,) р„+-2-а„рв+свр„+37,<р,'=О. (8) При этом порядке приближения координата р, выделяется из других координат, и решение получается, как в случае только одной степени свободы (ф 67).
Из (4) имеем: иве = — и Н1 соз и1 = — — и Н(в(1+ соз 2и1), в в в 1 2 в и'Нв з1п ир=.в и Н, (1 — соз 2иг), р„'Н~ соз ~1= — Н,'(1+сов 2ит), 2 так что уравнение (8) принимает внд аврв+ св~р +( — 4 и и„+ 2 Тв) Н, + +( — 4 и ам + 2 7,) Н, соз 2иг= О. (9) Решение уравнения (9) можно выразить в виде р,= Н +Н,соя ив'+Н. соя 2иг'+..., (10) н сравнение дает С1Н014ииы271)ь (с, — ива,) Н, = О, (с — 4и а,) Нв = ~ — и аы — — Тв) Нв ) Таким образом, во втором приближении 4 2 ) в 'рв = 3 — и вм — — 'й) Н +Н,соз иР+ 1 (- д) 3 в 3 1 в 4 и ап — 2.1~)Нв + — 4 в соз 2п1, (11) вд — 4ивав КОЛВБАНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 468 причем значение п такое же, как и в первом приближении, т.
е. у' с,~а,. Теперь нам нужно выразить соответствующие значения 'тэ 'та Из соотношений (6) имеем дТ дт' 1 — = иээ,р,+ а ~ээ+..., —. = — а„эу,'+..., дта ддтэ 2 и уравнение Лагранжа при сохранении членов порядка ~ээ, принимает вид: 1 патэ+сэта+аэ9А9, +(аэ 2 ага) тг+ (э9А —— О, или, если подставить в малые члены значения (4), / 1 э 1 ! э "э9э ! сэ'Гэ+! 4 " "гэ+ 2 Тэ) Нг + +( — и аэ+ 4 и эш+ — Т~) Н, соа 2иг = О. (12) 1 э 1 ! э Следовательно, если ээ= Кз+К,соз п1+Кэсоз 2М+..., (1З) то путем сравнения с (12) находим; /1 э 1 Х э сэКВ ! 4 и эш 2 Тэ)Н~ (14) (с — пваэ) К, = О, (16) (с,— 4а аэ)Кэ — — ~пасся — — и а,э — — та~Н,. (16) Таким образом, К, =О и, подставляя значения Ка и Кэ иа (14) и (16) в выражение (13), мы получаем полное значейие Оэ во втором приближении.
Значения эз, ~у и т. д. получаются аналогичным путем, и, таким образом, мы находим во втором приближении полное выражение для таких колебаний системы с любым числом степеней свободы, ко- торые в первом приближении выражались уравнением (4). Главные результаты, вытекающие иа второго приближения, сле- дующие: 1) движение остается периодическим с не измененной часто- той; 2) к значению координаты, остающейся конечной в первом при- ближении, а также к тем координатам, которые в первом прибли- жении равны нулю, прибавляются постоянные члены и члены, про- порциональныв соа 2пд Теперь мы переходим к третьему приближению; однако, ради краткости, мы ограничимся случаями: а) когда имеются только два степени свободы и р) когда кинетическая энергия полностью выра- жается в виде суммы квадратов скоростей с постоянными коэффициен- тами.
Этот случай включает колебания частицы, движущейся в двух измерениях вблиаи точки равновесия. Имеем Т= — а ~э+ — а, еэ, 1 ' 1 2 г г 2 31 464 довавлвння к глава т где 1'з = Т11рь~+ ТььрР1+ Т 1р1'ре+ Т'.=З,р,'+Звр',р,+"" так что уравнения Лагранжа имеют вид: а,"Р, + с, 1Р, + ЗТ о,'+ 271 Р, 1Ря + 43, 1Р1, = О, лама+'аРа+ Тар1+ 2Т''рьяна+ Зар,' = О. (17) (18) (19) (20) Как и прежде, в качестве первого приближения мы должн принять 1рь =Н, сов лв, 1рв=О. (21) В качестве решения уравнений (19) и (20) мы можем написать 1рь = Н +Н,сов пс+Нясов2пь+Н сов Зп1+..., (22) ьрв=Ке+К, сов пс+Квсов 2пЕ+Кз совЗп1+...
(23) В выражениях (22) и (23) Не, Н„Ке, Кь — величины второго по- рядка по Н„значения которых уже были даны, а К, Нз, Кт— величины третьего порядка. Сохраняя члены третьего порядка, имеем: р', = — Н, '+ (2Н Н~+ Н,Н.,) сов пЕ+ — Н", сов 2иг+ Н,Нь сов Зп1, ррэ — — (Н1К + — Н,К„сов И+ — Н,Кв сов Зпг, 1 1 3 в 1 з 1рз = — Н, соя пе+ — Н, сов Зп1. 1 4 4 Подставляя эти значения в малые члены уравнений (19) и (20), а значения из (22) и (23) — в первые два члена, получаем следуюшие 8 уравнений, справедливых до третьего порядка: с,Нз + — Т,Н', = О, (24) с, — и а1+ ЗТ1 (2Но+ Н~+ 2Тв (Ко+ 2 Кя) + ЗЗ,Нь = О, (25) (с, — 4п'а,) Ня+ — Т,Н', = О, (26) (с — 9л а1) Н, + ЗТ1Н1Ня+ Т, Н,Кэ+ь,Н, = О, (27) свКо+ 2 ТяН1 = О, (28) 1 (св — лвав) К1+ Т Нь (2Нс+ Ня)+Т'Н1 (2Ко+Кв)+ + 4 З,Н'=О, (29) 3 (сэ — 4п'ае) Кв+ 2 ТьН1 — — О, (30) (св — 9п'аз)Кз+ТвН1Нв+Т Н1Кв+ 4 ЗяН1=0.
(31) КОЛЕБАНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 465 Из этих уравнений (24), (26), (28), (30) дают непосредственно значения Ны Н„ Кы Кз, которые совпадают с их значениями во втором приближении, а подстановка этих значений в уравнения (27), (29), (31) определяет Н,, К„ Кз как величины третьего порядка. Остающееся уравнение (25) служит лля определения и. Мы находим соотношение, справедливое до этого порядка: 1 2 72~(с + с — 4 2 )+331' (32) При 71 — — О мы обнаружим, что этот результат согласуется с (9) 9 67, если сделать изменения в обозначениях и подставить первое приближение и в малые члены. Колебание, определенное выше, есть колебание, выражаемое в первом приближении уравнениями (21). Другую форму, для кото- рой приближенно 121 = О, можно исследовать аналогичным образом.
Если У в четная функция как от еы так и от ээ, то исчезают Ты 72, 7', 3,, и третье приближение выражается формулами з,н'", Н,=О, НЯ=О, На=в с, — 9лза, к=о, к,=о, к=о, к=о; па — с =33 Н,. 2 2 1 1 1 В самом деле, при этом условии уэ исчезает при любом порядке приближения. Этих примеров достаточно для освещения процесса приближения. Исследование природы его в общем случае показывает, что, как бы далеко нн шло приближение, следующие заключения сохраняют полную силу: а) Решение, получаемое при таком процессе, периодично, а частота является четной функцией амплитуды главного члена (Н,).
Ь) Разложение в ряд Фурье для каждой координаты содержит только косинусы аргументов, кратных а1, но не содержит синусов. Таким образом, вся система приходит в состояние покоя в один и тот же момент времени, например ~ = О, а затем повторяет свое движение. с) Коэффициент при созга в этом ряде для любой координаты имеет г-й порядок (по меньшей мере) относительно амплитуды Н, главного члена.
Так, например, для третьего приближения, в котором пренебрегают высшими, чем Нь степенями Н„ ряд обрывается 2 на соз Злй 6) Имеется столько же типов решений, сколько степеней свободы; но едва ли нужно говорить о том, что различные решения неналагаемы. 466 ДОВАВЛВНИВ К ГЛАВВ Ч Остается сделать еще одну важную оговорку. Мы предполагали, что все множители, подобные (ся — 4лва:„) в (30), конечны, т. е. что совпадение какой-нибудь гармоники действительной частоты с собственной частотой какой-нибудь другой формы бесконечно малого колебания не имеет места. В противном случае некоторые коэффициенты, первоначально предполагавшиеся второстепенными, например цв в (30), становятся бесконечными, и приближение нарушается. Таким образом, мы лишены возможности получить решение в некоторых случаях, когда нам больше всего хотелось бы его получить.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
