В.Л. Кирпичёв - Беседы о механике (1950) (1124000), страница 61
Текст из файла (страница 61)
342 диньмпчвскив модзли В вопросах о трении постоинное тренис )-у часто заме<тх няют трением, пропорциональным скорости, т. е. )<к —, подбирая величину Ь так„чтобзы это трение, в среднем, как можно меньше осли шлось от 7, Такая замена в рсгучнторах и друп<к машинах доиус има, в особенности ири тщательной, обильной смаз«с, когорая не только умеиьииег велншину трениЯ, но, сверк того, приближает характер этой силы к трению жидких тел, т.
е. к закону пропорциональности первой степени скорое~и. Все эти аамечания о введении трения в уравнения движенвя имеюг общее значение и о<носятся не только к регуляторам, но и ко многим друп<м механизмам и физическим приборам, в которых ири коле,ю гсдьцом двизкении действует трение. В первых работах относительно колебания регуляторов паровых машин не было обращено внимание на то, что в случае и о с т о я н н о г о т р е н и я мы писем разрывнуЮ величину, откуда следуе~ необходимость рассматривать казкдий размах колебания отде.чьио и пользоваться двумя различными уравнениями (1!7) и (118). Оба эти уравнения соединяли в одно и писали их в форме: хл — „—,—,' г+Фх+Я=О').
(119) Затем по ходу вывода требовалось найти третью произНт водную „—., длз подставив«и се в другое уравнение вопроса шз (в уравнение живых спл главного вала вышины с маховиком). Для нахождения этой величины диф(зсрснцпровази< уравнение (! 19), причем ошибочно прелполагали, что производная члена как производная постоянной величины, будег равна нулю. Э~им путем трение совершенно исключалось и ие попадало в окончательное уравнение. Один из важных выводов этой теории состоял в том, что регуляторы, в ко< орых действует только п о с т о я н н о е трение, неустойчивы, т.
е. ири изменениях движущей силы получают зна пиельные размахи, пос<еиснно увеличивающиеся. ') аз<есь мы буквой а обозначили дополнительные члены, входяшие то<да, когда рассматрнва<отея годсе сложные случаи действия регзлятора, чем разобранный нами. пгинуждениыв (нлспльстввниые) колгвхи З43 Между тем, для правильного дейстепя Регулятора ьеобхо меч чтобы начавшиеся колебания быстро потухали Т о „ ка что такое по1уханис происходит если трен1 „ „орционально скорости, т. е.
имеет характер трецця „, дк с,п, Отсюда выводилось заключение: для устойчивоств регулятора необходим катаракт. Это заключение вызвало возражения со стороны инженеров практиков; они указывали на существующие црцмеры регуляторов, которые оказывалцсь устойчивыми, хотя це имело катаоакта, Некоторые на этом основании совсем отрицали правильность указанной теории регуляторов. Теперь мы знаем, что эта геория была вполне верна в своих основаниях и сохраняет свое зна ~ение и в настоян,ее время.
Единственный нелосмотр ее состоял в исключении глена -+-У ири дифференцировании уравнения ((19); при этом трение вовсе как бы не существует, и без сомнения, регулятор без трепи получается неустойчивым, так как нет силы, которая туггпт колебания, Конечно, такое исключение члена +-г с помо|цью дифферспцпровзния матема1ически неправильно; этот член не есть постоянная величина, а разрывная функция. При супгес~еоваццп такого трения вопрос не может бысть разрешен так же, как в случае непрерывных функций; мы уже показали, что в случае постоянного трения необходимо рассматривать отлсльго каждый размах колебания. 152.
Пятый тии: прлиуждеичые (наеитьетвеичые) котебаиия. Опять будем рзссматривать прячолццсиное колебательное движение материальной точки, но вветем еще лальнсчшее усложнение. Кроме а) силы — (гх, с1ремяпсйся веет~а вернуть точку ш в ее центральное полозксгие, а б) силы соил противления — й —, пропорциональной скорости, введем сп г и'т ' одну внешнгою силу, идущую, так же как и прочие силы, цо линие двшксния массы ги. Пусть эта новая сила будет переменная, гармонического типа, т. е.
значение ее определяется тригонометрической ~1ормулой Е соз р(, где Е, р — постоянные вели ппы. Такая сила изменяется в пределах -+ Е, и период ее полного колебании определяется динлчпчгскпз подели перполом косинуса угла Р>. Обозначая этот перпол через Т„ по. учим: 2к рТ,=2п, Т,= — '. Р Посмотрим, каково булет движение точки ш под действием такой иернодической силы.
Сила инерции материальной точки еох будет как прежле — ш — Т . Склачывзя все силы, в тои \ нтэ числе и силу инерции, и приравнивая сумму нулю, получим 1рзвнение движения: пах йх — гл — — йх — Ь вЂ” + Есоэр1 =О. аы лг Деля на гл и вводя обозначения и е т ' ж ы з — = и', И получим уравнение: Фх лх — +Т вЂ” + лзх = Е соэ рг.
л лс (120) Опять имеем линейное дифференциальное уравнение второ~о порядка, но теперь вто уравнение содержит в правой чзсги своей вместо нуля величину Е, соэр1. Такие уравнения ищегрируюгся при помощи давно нзвестг ыт общих при.мов. Если мы найдем одно какое-нибудь частное решение х, это-о уравнения, т. е.
такую функцию вречени, которая удовлс ворисг уравнению (120), то общий инге~рад получи ся, е~, и к х, прибавить выражение общего пи~страда следующего ур«аиения: лзх Мх 4и' йг —.+у' — +пах=0, (121) ко-орое огличается от заланного (120) только тем, что в правой части его вместе периодической силы стоит нуль. Мы знакомы с этим уравнением (121); знаеи, что оно представляез своболные затухающие колебания точки ш; выше мы уже получили общий интегрзл этого уравнения.
Теперь для реше- пгннуждзнныв (нъспльствинны!) кочевхнпя 345 ния нашего нового вопроса нужно прежний общий интеграл прибавить к х,. На этот результат нужно смотреть следу1онп1м образом:х 1 означает движение, зависящее от периодической силы Е совр(, а кроме того, к этому движению присоелиняются свободные колебания, которые происходили бы в случае отсутствия периодической силы; эти последние колебания понемногу затухают. Так как мы вполне изучили свободные колебания, то остается найти функцию, названную нами х„ т. е. частный интеграл, удовлетворяющий урзвнению (1 20).
Значение х, легко находится; попробуем для этой функции тригонометрическую форму х = а соз (рг — а) (а и е — постоянные.) Подстановка в (120) дает результат: а (ла — р') соз (р1 — а) — „гр а з1п (рФ вЂ” а) = Е, соз рй (122) Но мы можем сделать следующую замену: соз р1= соз (Л вЂ” а+ а) = соз е соз (р1 — з) — з1п в'зш'(р1 — е). Вставим такое преобразование созр1 во вторую часть уравнения (122). Тогда все члены его могут быть разделены на две группы: члены первой группы имеют общий множитель соз(р1 — а), а члены второй группы имеют общий множитель жп(рй — а).
Первая группа будет: (а (аа — рв) — Е, соз е) соз (рг — а), а вторая группа; (Ет з1п а — )ра) з)п (р( — а). Для того чтобы уравнение (122) удовлетворялось прп всяком Г, первая н вторая группы должны, каждая отдельно, обращаться в нуль. Это условие влечет за собою следующие два равенства: а(л' — р ) — Е, созе=О, плп а(ла — р')=Е, сова, ,тра — Е,а(па=О, или ура= Е,ила. Из ннх получаем величины неизвестных а и е, входящих в выражение х,. Для этого делим второе уравнение на первое; получим: .Ф 1я а = —,~ — . (123) 23 в.
д. кирпиивв 346 динлмичвскив модели Затем, найдя а, получаем нз второго уравнения: Е5 51в5 а= —. И Следовательно, х, будет равно Е5 51в 5 х~ = — соз (рг — 5). РУ (124) Ко мы замечаем, что в выражении для х, косинус берется от угла рг а, между тем как сила Р содержит косинус от рг. Итак, здесь имеем разность фаз, измеряемую углом з; колебания х, отстают на в от колебаний силы Р. Величина в положительная, если и ~р, т. е. когда время одного колебания силы Р, равное 25 Т,= —, Р больше, чем величина Т= —, которая представляет время колебания нашей точки лг, когда она колеблется свободно, без принуждения.
В атом случае колебания хз действительно отстают от колебаний силы Р. Если же имеем случай пс, р, т. е. Т,с Т, то а отрицательное, т. е, происходит не запаздывание, а опережение. Колебание хт опережает изменения силы Р. 1бб. Накопление колебаний (резонанс). Особый, замечательный случай получается, когда имеем р=л, т. е. если период силы Р одинаков с периодом свободных колебаний нашей точки и. Это — периодическая функция; следовательно, х, представляет колебательное периодическое движение, оно называется п р инужденным, или насильственным колебанием, производимым силой Р=Е созр1. Период принужденного колебания определяется величиною р, следовательно, он одинаков с периодом силы Р, н время полного (двойного) колебания будет равно 25 Т,= —. Р слтчлй, когдл действует несколько пегиолических снл 34у Тогда имеем из (123]: 1яе= со, т.
е. разность фаз е равна —. При этом получаем: 2 ' 51п з= 1, а из общей формулы (124) Ег з1а е а=— = ру находим, что в этом случае амплитуда а получит свою н аи. большую величину Ез '=Й' Это случай резонанса, когда даже небольшая периодическая сила может сообщить колебания со значительной амплитудой. Резонанс получается, когда период силы, производящей насильственные колебания, одинаков с периодом свободных колебаний.
Следует обратить внимание на то, что при резонансе разность фаз между движением точки лг и изменением силы Р всегда равна —, т. е. представляет ч е т в е р т ь полного (двойного) колебания. 154. Случай, когда действует несколько периодических сил. Пусть этих снл несколько и все они имеют гармонический характер, т. е. переменные их величины изображаются формулами вида: Р = Е соз (рг — а) при различных значениях Е, р, а для разных сил. Тогда уравнение двиясения массы ле будет отличаться от (120) только тем, что во вторую часть его будет входить не одна сила, а сумма всех сил, Обозначая суммирование знаком,~Я, пол чим: аех Их агт лх — +у — +пах='~~ Е, соз(р1 — а), где Н Е1 = — . Это уравнение интегрируется подобным же образом, как н прежнее (120).
348 дивлмичсскив модвля 155. Примеры принужденных колебаний. Случаи пх довольно часты в акустике; сюда относятся колебания подставок и опор музыкальных инструментов, грортсвианной деки, резонаторных ящиков и т. д, Под тот же тпп подходят многие из явлений действия переменных токов. Возь«гем, например, цепь (фггг. 205), в которую введены последовательно значительное сопротивление гт, прибор с большой самопндукцией Л Фиг. 205. и конденсатор емкости С. Пусгь в части цепи АВ действует переменная электродвпжущая сила, вызывающая между А и В разность потенциалов, которая изменяется по закону «=Ее!пр1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
