В.Л. Кирпичёв - Беседы о механике (1950) (1124000), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Но, рассиатрпвая приводимые этими авторами доказательства, мы вндпч, что они только повторяют тот ход рассуждений, путем которого мы пришла к теореме Карно. С л е д с т в и е. Представим себе, что мы с помощью внешнего приложенного удара приводим в движение твердое тело, находящееся в покое. Если это тело свободно, то нся работа удара пойдет на сообщение телу живой силы. Если же тело связано, то произойдет удар между телок н связью, следовательно, будет потерч живой силы; поэтому прн той же величине удара сообщенная живая сила будет меньше„чем в случае свободного теча. Итак, при данной величине удара наибольшая живая сила получится для того случая, когда тело совершенно своболно. Но свобочное тело вследствие удара К (фиг.
177) получит вращение около оси О, положение которой определяется правпламп, которые мн излагали в $ 133, говоря о центре удара. Эту ось мы назвали свобо дной осью для случая удара К; все прочие осн булут н а с и л ь с т в е и н ы е, и для получения вращения около иих требуется поддержка опор, связь. Мы видим, что свободная ось обладает следующим свойством: при вращении около нее получается наибольшая живая сила.
142. Взрывы. йуы определили изрыв как внезапное уничтожение связи в системе. Результатом его получается увеличение свободы движения. Некоторые перемещения, которые не дозволялись связью, после уничтожения ее оказываются возчожннмм. Всле)яствие взрыва вгегда получается увеличение ВЗРЫВЫ 81Т живой силы системы, и значение этого увеличения определяется те немой, вполне сходной с предыдущей теоремой Карно, а нм.ь»о. Живая сила, приобретенная при взрыве, получится, если вычислить живую силу системы, отвечающую приобретенным скоростям. Под названием сприобретенная скорость» нужно подразумевать разность между скоростью после взрыва и скоростью до взрыва, т. е. при прежних наших обозначениях разности: и' — и, и' — и, ш' — тп; здесь и, и, тл — скорости до взрыва, а', и', ш' — скорости после взрывз.
Теорема эта доказывается совершенно аналогично прелыдущей теореме Карно, так что придется повторять все прежние рассуждения. Начинаем с видоизмененного начала Даламбера, которое относятся ко всем случаям мгновенных снл, а следовательно, и к взрывам. Нужно написать условие равновесия количеств движения, потерянных при действия мгновенных свл, т. е. величин ш(и — и'), т(п — и'), ьч(ьа — ш'). Но в случае взрыва возможные перемещения будут другие, чем ври ударе, Здесь нужно взять те перемещения, которые были возможны до взрыва, т. е.
до уничтожения связи. В этом можно убедиться следующим рассуждением: мы применяем начало возможных перемещений с той це,чью, чтобы исключить из уравнения неизвестные мгновенные силы, развивающиеся при взрыве; но для этого нужно взять непременно те перемещения, которые были дозволены до рззрушения связи, когда точки приложения двух взаимных мгновенных снл имели одинаковые перемещения, После нзрыва эти перемещения могут быть неодинаковы для двух взаимных сил, и такие перемещения не годятся для исключений неизвестных мгновенных сил. Для примера рассмотрим раз- б рыв какого-нибудь стержня в Фвг.
188. машине; по сечению аб он разделяется на две части 1 и 2 (фиг. 186). В месте разрыва появляютсв две равные и прямо противоположные силы Р, 1»'. До разрыва точки приложения их имеют одинаковые перемещения, и сумма работ сил для этвх перемещений равна нулю. Но этого не будет после разрыва. 318 гдлг и мгноввнныя силы Итак, составляя условие равновесия потерянных количеств движения, мы должны взять те перемещения, которые были возможны до взрыва, т. е.
иЖ, юлг, твпг; тогда вместо прежнего уравнения равновесия (103) получим следующее: ~~~~я~(и — и') и <И+(и — и') и Ю+(тв — ш') ш Я)=0. (105) Живой силой, приобретенной при взрыве, будет разность окончательной и начальной живой силы, т. е, Прибавим к правой части последнего равенства выражение (105), сокращенное на Ф", получим: Т= — ~т(и'а+о'+тва)+ — я~ т (их+ па+хна)— — ~~.', и (ии'+ пп'+ таю'), а это простым преобразованием приводится к виду; Т= — ~~> и ((а' — и)а+(и' — о)з+(ш' — ш)'), (106) в котором и заключается указанная общая теорема о взрывах. Действительно, формула (106) указывает, что Т всегда положительно, т, е. всегда есть выигрыш живой силы: величина этого выигрыша определяется вычислен~)ем живой силы для скоростей, приобретенных при взрыве.
143. Примеры. Кроме взрыва гранат и, вообще, действия взрывчатых веществ, укажем еше на следующие явления, входящие в категорию в з р ы в а по данному нами определению: а) На подъемной машине, стоящей колесами на рельсах, поднят цепью тяжелый груз, Влруг цепь разрывается по недостатку прочности, или мы нарочно особым приспособлением быстро уничтожаем соединение груза с цепью (это делается при опускании в море тяжелых бетонных массивов, из которых строят набережные, молы, брекватеры и другие приморские сооружения).
При таком быстром разрыве или разъединении цсцн подъемная машина подпрыгивает над ре льсаь и пгн меты З)9 Затем, падая вниз, может поломать своп колеса. Для устранения этого колеса нужно делать стальными и очень прочными. б) Мы имеем машину для пробы прочности металлов и производим на ней растяжение и разрыв брусков. Если испытываемый материал не пластичен (чугун, инструментальная сталь), то разрыв бруска происходят мгновенно, что представляет явление взрыва. При этом иногда расстраиваются соединения частей машины, соскакивают болты, муфты, кольца и т.
д. СЕМНАДЦАТАЯ БЕСЕДА ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 144. Модели, или образцы. Часто случается, что вопросы динамики или математической физики, различающиеся между собою по существу, приводят к уравнениям, совершенно одинаковым по виду. Авалитическая форма уравнений оказывается одинаковой для двух и более вопросов, хотя буквы, входящие в члены уравнений, изображают в зтих вопросах совершенно различные, часто неоднородные величины. Такое формальное сходство позволяет применять одинаковые математические приемы для интегрирования и разрешения уравнений; мы пользуемся решением, получснным для одного вопроса, и применяем его для других, нзображающихся такпьш же уравнениями.
Один вопрос служит моделью, или образцом, для нескольких других; мы можем прямо списать готовое уже решение, находя совершенно излишним вновь повторять все прежние выкладки и выводы. Такие случал сходства довольно часты, и на зто не всегда обращают должное внимание в курсах по пр1шладной механике.
Вместо того чтобы ограни иться ссылкой на давно известный образец и взять готовое решение, разбирают вопрос вновь и совершенно самостоятельно, без всякой связи с другими. Мы укажем на некоторые типы, встречающиеся чаще других. 145. Первый тип: равноускоренное движение. Равноускоренное движение встречается в массе вопросов. Оно может быть прямолинейным пли криволинейным; можно говорить о движении точки пли о движении тела; прп поступательном движении мы говорим о линейной скорости, а при вращательном †угловой скорости, но и те и другие движения плдвниа тяжвлого талл, снхвзгсиного плглшютом 321 могут быть равноускоренными; в з 1!9 мы имели пример равноускоренного движения по винту. Но во всех зтпх случаях формулы получаются одинаковые, — зто известные формулы падения тяжелых тел, 146.
Второй тип: вертикальное падение тяжелого теча, снабженного параиаютом. На это тело действуют вес и сопротивление воздуха; последнее будем считать пропорциональным квадрату скорости. Ускорение силы тяжести назовем и, а для ускорения, производимого сопротивлением воздуха, примем обозначение: и «а' где и — скорость, Й вЂ” козффпциснт, определенный опытом. Так как зги два ускорения прогивоиоложны одно друголау, то полное ускорение, направленное вниз, будет равно ца а А'аа ° Но, с другой стороны, полное ускорение в прямолинейном движении, по самому определению понятия об ускорении, есть производная скорости по времени, следовательно, имеем; по Оа а=а А' ° йг аа' —,= —, ус. Последнее уравнение легко интегрируется, так как переменные о и 1 в нем разделены; ирптоаа в левой части равенства приходится интегрировать очень простую дробную функцию, а интеграл правой части будет: А' 1+ Произведем интегрирование, а произвольную постоянную определим по условиям, относяацимся к началу движения, принимая начальную скорость равной нулю, т.
е. имеем условие: при 1=0 о=О. Результатом интегрирования будет уравнение а+ о 2ет 1п — = —, А — ц л 21 В. л, кнрпичаа 822 динампчГскна молили а переходя от логарифмов к степенным функциям, найдем: гх~ 2~ф (108) е +1 Если путь, пройденный за время г' от начала движения, назовеи а, то скорость и будет равна: О= —. В' Подставляя это выражение в уравнение (108), получаем зависимость между гй и гтт; полученное уравнение в виде лг у~ па е — е а Ф вЂ” =/г иг г~ ат еа+е легко интегрируется, и мы получаем: Ф аз е" -г- а л= — !п 2 Таким образом, вопрос вполне решен, Полагая в уравнении (108)г = — оо, получаем о = й, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
