В.Л. Кирпичёв - Беседы о механике (1950) (1124000), страница 60
Текст из файла (страница 60)
(115) Оно, так же как и прежнее (109), относится к разряду линейных дифференциальных уравнений и интегрируется прн помощи давно известных приемов. Мы прямо приведем интеграл этого уравнения: п р а в ил ьн ост ь его желающве могут проверить подстановкой в (115); о б щ н о с т ь же решения указывается тем, что интеграл содержит д в е произвольные постоянные, Найдем величину лг — — у', 1 4 которую обозначим через л'.
Обыкновенно сила сопротивления невелика, и величина '/,уэ значительно меньше, чем л'. Тогда радикал, обозначенный буквою л', вещественный 338 динамические модели Рассмотрим этот случай; для него мы имееь1 решение; 1 п х = ае 2 сое (л'1 — а). Это решение отличается от (109а), полученного при отсутствии трения, только тем, что вместо постоянной амплитуды а появился множитель 1 — -У1 2 постепенно убывающий с течением времени. Следовательно, это движение можно рассматривать как периодическое коле- бание с постепенно уменьшающейся амплитудой; колебания понемногу затухают вследствие трении. Период колебаний попрежнему определяется периодом косинуса, следовательно, время двойного колебания получится из (111а) заменой буквы л величиной а".
Итак, период будет равен'): 2е Т'= —. и' ' В большинстве случаев, с которыми приходится иметь дело, сопротивление невелико, и значение л', которое равно 1' па — 1(11"2, очень мало отличается от л. Тогда мы можем 2е принять, что период Т' равен —, т. е. малое сопротивле- ние не изменяет периода колебаний. Случай, когда сопротивление настолько велико, что п' делается мнимым, мы не будем разбирать. Рассмотренный тип представляет явления многих колеба- тельных движений, 1.
Сюда относятся колебания маятника„ который встре- чает при своем движении сопротивление воздуха. 2. Сюда относятся различные упругие и другие колеба- ния, упомянутые в 2 148; там мы предполагали отсутствие сопротивлений, ио в действительности такие сопротивления всегда будут, а потому колебания постепенно затухают, 3. Те же уравнения представляюг колебания магнитной стрелки в обыкновенном гальваномегре нли колебания по- движной рамки с обмоткой в гальванометре Депре-Дарсонваля и тому подобные колебания в приборах для электрических 1 ') Величина — т Т' называется лог зрифмическем декрементом. 2 КОЛЕБАНИЯ РЕГУЛЯТОРОВ ПАРОВЫХ, МАШИН ййу измерений, Здесь появлаются сопротивление воздуха и сопротивление, представляемое тушителем колебаний (демпфером); обе эти силы пропорциональны скорости. Возьмем, например, гальванометр )1епре-Дарсонваля.
Рамка при колебаниях поворачивается около вертикальной оси; угол поворота от полол'х жения равновесия назовем х; тогда угловая скорость будет -„ — , лгх а угловое ускорение †„,. На рамку действует сила, стремящаяся установить ее в равновесном половсении; эта сила пропорциональна углу х; ее момент обозначвм лх. Сопротивление воздуха и сопротивление вследствие токов, индуцирующнхся при колебании в магнитном поле прибора, оба пропорциональны угловой скорости; величины моментов этих лх лл сил назовегг у'-- и гг — . Наконец, момент сил инерции, получающихся при вращении, равен произведению из углового ускорения на момент лгх инерции вращающегося тела т. е. у †.
Принимая во внилгг мание направление этих моментов, получим уравнение движения: у -. — + (у + ~) лс + йл = О, т. е. прежний тип, 151. Колебании регуляторов паровых машин. Если мы рассмотрим с о б с т в е н н ы е колебания такого регулятора '), то придем к тому же типу з а т у х а ю щ и х колебаний. Чтобы не усложнять вопрос обстоятельствами, происходящими вследствие большей или меньшей сложности конструкции регулятора, мы возьмем самый простой регулятор, а именно, регулятор г))гранда. Это одна нз более новых конструкций; суля по имеющимся в литературе данным, регулятор этот действует хорошо.
Он относится к разряду махов ичн ых регуляторов, т. е. вращается рядом с маховиком на главном валу машины. Схема (фиг. 201) изображает этот вал А н заклиненное на г) То-есть колебания регулятора, отцепленного От регулируемого прибора. динамические моделя нем колесо В. На последнем расположен регулятор П, который вращается вместе с колесом и может, кроме того, скользить по диаметру колеса, направляясь особыми выступами С, С, отлитыми за одно целое с колесом В, Регулирующим прибором служит эксцентрик В; регулирование состоит в том, что увеличивается или уменьшается эксцентрнситет этого эксцентрика относительно оси вала А; при изменении эксцентрнситета изменяется ход золотника, распределяющего пар, и тем усиливается нли ослабляется действие пара в машине. Действие регулятора заключается в следующем: центробежная сила скользящего регулятора отбрасывает его по Фиг.
202. Фиг. 20К диаметру колеса В; этому сопротивляется пружина Е, которая стремится вернуть скользящую часть в ее среднее, центральное положение: давление пружины пропорционально отклонению регулятора от его центрального положения. Для быстрого тушения колебаний введен катаракт Г; этот небольшой прибор, изображенный с ббльшнми подробностями отдельно на фиг. 202, предназначен для произведения трения, пропорционального скорости движения; для этого нужно ввести трение зкидкости. Катаракт состоит из цилиндра наполненного маслом, с поршнем а; сообщение полостей, приходянтихся с двух сторон поршня, производится трубочкой П с краном гл.
Масло, проходя со стороны Ь иа стоРону л, испытывает трение в трубке И и в кране т, который можно прикрывать более или менее длн изменения трения; это сопротивление можно считать пропорциональным скорости, КОЛЕВАИНЯ РЕГУЛЯТОРОВ ПАРОВЫХ МАШИН 339 Рассмотрим о т н о с и т е л ь н о е движение скользящего регулятора по диаметру колеса для случая равномерного вращения яапа А. ЭТО будет прямолинейное поступательное движение некоторой массы ш. На нее действуют следующие силы: а) центробежная сила п упругость пружины Е; обе они пропорциональны величине отклонения х центра тяжести регулятора от центра вала л; совокупность их может бьжь изображена одной силой, пропорциональной отклонешпо х п стремящейся вернуть регулятор в его центральное положение, предполагая, что сила упругости пружины больше центробежной; б) трение, вызываемое катарактом; Оно пропорционально скорости скользящего движения, т.
е. производной отклонения Аз Итак, здесь имеются все черты того типа затухающих колебаний, который мы рассматриваем, н мы получаем прежнее уравнение; (116) Сделаем замечание по поводу трения регуляторов. В приведенной нами конструкцни регулятора имеется катаракт, вызывающий трение жидкости, которое пропорционально скорости движения. Мы уже видели, что дейсувпе этого трения лх изображается членом — л — „, который представляет силу, всегда направленную в сторону, противоположную скорости лл — т. е. силу, всегда противоположную движению, лг ' Катаракт своим трением быстро тушит колебания, и потому часто настоятельно рекомендуют применение его в регулирующих приборах. Но присутствие его не абсолютно необходимо; и без катаракта имеется трение частей регулирующего прибора, которое тоже способствует тушению колебаний; поэтому нередки регуляторы без катарактов, С динамической точки зрения они отличаются от предыдущего тем, что в них трение не будет пропорционально скорости; при плохой смазке частей регулятора это будет трение твердых тел, которое от скорости почти не зависит и может считаться постоянным.
340 динамическив модели Это постоянное трение нужно ввести в уравнение (116) вместо <<х члена 7< —, <та ' Но здесь необходимо озаботиться, чтобы вводимая в уравнение сила трения всегда шла противо<юлоз<но яви>кению. Когда происходит та часть колебания, при которой х увеличивается, то трение доля<но итти в сторону уменьшения, т. е. трение идет в ту же сторону, как и сила 7<х, стремящаяся вернуть колеблющееся тело в его центральное положение.
Называя величину трения буквою 7; получим уравнение движения: гл —, +У+ 7<х = О. (117) Но рассмотрим теперь ту часть колебания, когда масса ш приближается к своему центральному положению, т. е. когда х уменьшается; тогда трение, как протнвополоя<иое движению, идет в сторону увеличениях,т.с.
оно противоположно силе Йх, стремящейся вернуть массу в се центральное положение. Поэтому уравнение движения будет: «>х гл —, — 7'+ lгх = О. а<гз (118) Оно отличается от (117) знаком члена у. Оказывается, что в случае постоянной величины трения мы имеем дело с разрывной величиной, которая прн перемене направления двшкения сразу меняет свою величину с +/на — у. Вследствиеьтакого разрыва нельзя составить одно уравнение, ко~орое непрерывно предстзвляет все явления колебаний. Приходится иметь дело с двумя различными уравнениями (117) и (1!8), из которых одно относится к части колебания, когда движение идет в сторону увеличениях, а другое нужно применять для той части колебания, когда движение направлено в сторону уменьшения х. Инея два разных уравнения, получаем два разлнчныа интеграла, кзждый с двумя произвольными постоянными.
Это значвтельно усложняет вопрос; теперь нельзя получить общее аналитическое решение, дающее величину перемещения х для всего времени движения, до полного затухания колебаннй. Приходится рассматривать последовательно п особо каждое отдельное одиночное колебание и для каждого из них особо определять произвольные постоянные. колезлиия РеГулятОРОВ паговых ИАшин 841 Пусть О (фиг. 203) означает среднее, центральное, положение колеблющейся точки.
Начинаем с крайнего положения А и рассматриваем часть колебания АВ; к ией применимо ) равнение (1!7); нужно взять интеграл его и определить произвольные постоянные пз данных, относящихся к точке А, т. е. из условий, что здесь скорость равна нулю, а величина х равна амплитуде ОА. Затем разбираем размах ВА'; здесь при двшкеипи х увеличивается, следовательно, нужно взять уравнение (118); произвольные постоянные его определятся А А'А по данным, отиосящимся к О точке В. Далее разбираем Фиг. 203.
размах А'В'; к нему применимо уравнение (117); произвольные постоиииые ш тсграла ну~лно определить вновь„по данным, о1иосчщпмся к точке А'. Потоп разбираем следуюигий размах В'А" и т. д. При этом оказывается, что велящим размахов уменьша1отся, и когда скорость обрати1ся в нуль иа таком расстоянии от центра О восстанавливающей силы 7сх, где ее величина меньше силы,Г трения, то движение прекращается. Такое усложнение, вызываемое теч, что трение ие представляется непрерывной функцией, очень загрудияег решение, а потому час~о лля облегчения прибегают к приблпзнгельноч1 Фиг. 204, рассмотрению, состояигему в том, что разрывную величину заменяют непрерывной. Такая замена представлена графически на фиг, 204: вместо фуикции, которая графически изображается разрывной лпипей АВГСОеЕР, можно ввести иепрерывну~о кривую ООНсгуеф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
