В.Л. Кирпичёв - Беседы о механике (1950) (1124000), страница 11
Текст из файла (страница 11)
34 представлена цепь, применяемая в паровых — л и с( — направмашинах: а— — кривошип Ь вЂ” шатун, с — ползу, р ено с) то лающая лине йка. Вслп сделаем неподвижным авен елая не- получим механизм о ы а и. и обыкновенной паровой машины. Д Ь фиг. 33. Фиг. 34. о в жным звено Ь получим механизм паровой машины с качающимся цилиндром. Прв неподвиясности а нли с получаем другие замечательные механизмы. Фиг. 35 представляет ннверсор Липкина.
В втой цепи е звеньев а Ь ... Ь. Обыкновенно делается неподвижным звено Ь, тогда точка А описывает прямуго (если длина д' равна Ь) пли дугу е круга (если д не равно Ь). а Ь Вместо Ь можно сделать неподвижным любое из рр остальных звеиьен; тогда е получим разлячные другие У механизмы. Все механизмы, которые фиг. 35. мы рассматриваем, представ- ляют системы с полными связями, илн, другими словами,— системы с одной степенью свободы, т. е. они обладают следующими двумя свойствами: а) каждая точка системы движется по совершенно определенной граекторин; б) когда назначено перемещение о д н ой т о ч к и системы, то этим вполне определяются перемещении остальных ее точек. 25. Мгновенный центр вращения. Теорема Шаля.
Все части наших механизмов двнжулся в одной и той же плоскости, а лвижение неизменяемого тела, параллельное неко- . -- * ..., ш-"!, *.*., ррр ° ° ° . ° °;. р- ° ° ° раньше трудов 1!!аая,а именно в мемуарах Ивана Бернулли и Эйлера. Зачатии этого учения можно найти даже у Аристотеля, в его «Ме- ханических проблемах». 59 МГНОВЕННЫЙ ЦЕНТР ЗРХЩЕННЯ будем руковолствоваться при дальнейших выводах. Как известно, теорема эта заключается в следующем. Всякое бесконечно малое движение неизменяемой плоской фигуры в ее плоскости можно рассматривать как вращение около некоторого мгновенного центра. т / / / (! / О Фиг.
36. Напомним доказательство этой основной теоремы кинематической геометрии, Докажем, что если имеем два произвольных положения /' и П какой-нибудь фигуры в ее плоскости (фиг, 36), то эта фигура может быть переведена из первого положеияя во второе с помощью вращения около некоторого центра. Очевилно, достаточно показать справедливость этого для двух каких.нибудь точек фигуры, например А и В. Бели вращением около некоторого центра л~ы эти точки из первого их положения передвинем так, что они совместятся со вторыми нх положениями А', В', то и любая точка С фигуры совместится с новым ее положением С', 60 Равновесие плоских механизмов Чтобы найти центр, вращая около которого мы переместим точки А и В так, что они совпадут с А' и В', поступим следующим образом: линии АА' и ВВ' разделим пополам и из точек деления восставим перпендикуляры, до встречи их в О.
Эта точка встречи и будет искомым центром. Действительно, треугольники ОАВ и ОА'В' равны, потому что имеют три равные стороны. Следовательно, вращая около О, мы совместим АВ с А'В'. Это справедливо при всякой величине перемещений, переводящих фигуру нз положенпя ! в положение В. Тепсрь предположим, что эти перемещении бесконечно малы. Тогда с точностью до бесконечно малых второго порядка мы можем зти перемещения заменить дугами кругов, описанных нз О, или соответсгвующимн хордамп АА', ВВ'.
Такая замена может быть сделана как в уравнении, выражающем начало возможных перемещений, так и прп вычислении скоростей движения точек фигуры. Итак, для этих операций бесконечно малое движение фигуры может быть заменено вращением около точки О, которая и представляет мгновенный центр'). В этом и состоит теорема Шаля. 26.
Нахождение мгновенного центра. Мгновенный центр легко получается, если известно направление одновременных скоростей двух точек фигуры. Мгновенный центр лежит на перпендикуляре к направлению скорости, Поэтому, если для двух точек А, В фигуры (фнг. 37) имеем направления их скоростей (илн бесконечно мзлых перемещений) АА' и ВВ', то, проводя перпендикуляры к зтнм скоростям, получим в пересечении перпендикуляров мгновенный центр О. г) На такая аамена ие может быть допущена при решении тех вопросов, при которых необходимо принимать ва внимание величины второго йарадка, например при нахождении ускорения д в и жен ия. Эта пе следует упускать из зилу.
Одновременные скорости рваных точек фигуры будут пропорциональны расстояниям этих точек ат мгновенного центра, на ускорения их не будут пропорциональны расстояниям ат этого центра. Указанный нами мгновенный центр есть центр перемешений и скоростей, па не ускорений, адя которых сушестзуег савсем артгай центр. Мы упоминаем аб зтам, чтабы предупредить ошибку, в которую легко впасть, если не обратить внимания на смысл теоремы Шали, апределяюшийся выводам ее, а прямо руководствоваться словесным ее изложением, паставзеиным нами з начале доказательства, и понимать ега безусловно и без всяких ограничений, нахождхния мгиованиого цантга На основании теоремы Шаля всякое бесконечно малое перемещение какой-нибудь части рассматриваемых нами плоских механизмов будет вращение около мгновенного центра.
Для каждой части (т. е. для каждого подвижного звена) получаем особый мгновенный центр. Если произведем 'обращение механизма, т. е. вместо прежнего неподвижного звена выберем другое и сделаем его неподвижным, то получим новый механизм, новое движение, и мгновенные центры изменятся. В В' Пусть цепь имеет л звеньев, Любое из них можно сделать неподвижным и для этого случая определить и†1 мгновенных цен~ров остальных звеньев.
Отсюда следует, что полное число возможных мгновенных центров такой цепи будет л (а в 1). Чтобы разобраться в этом оби- фиг. 37. лии мгновенных центров, установим следующее обозначение. Все мгновенные центры будем обозначать буквою 0 с подстрочными индексами. Условимся в этом подстрочном индексе всегда ставить две буквы: первая из них должна обозначать то звено, движение которого изображается мгновенным центром, а вторая †отмечать, какое звено при этои сделано неподвижным. Так, например, назвавие 0 а обозначает мгновенный центр, около которого вращается звено а, когда звено В неподвижно. Для краткости можно пропускать букву О и обозначать этот центр знаком Ы.
Подобно этому обозначение 0 , или просто 4а, обозначает для того же механизма центр, около которого вращается звено Н, когда неподвижным сделано звено а. Докажем сейчас две общие теоремы, вторая из которых даст нам возможность определять мгновенные центры многозвенных механизмов. Первая теорема. Двамгиовеиныхцентра,вподстрочные индексы которых входят одни и те же буквы, но в другом порядке, например О и О,, совпадают между собою. Другими словами, порядок букв в подстрочных индексах безразличен. РАВНОВЕСИЕ ПЛОСКИХ МЕХАНИЗМОВ Эта теорема почти очевидна.
О„ означает центр, около которого вращается звено а, когда Ь неподвн>кно; пусть зто будет точка А. Рассмотрим бесконечно малое перемещение, т. е. вращение около центра А на бесконечно малый угол »з Затем приладим всему механиаму как одному целому вращение м около того же центра Л и на тот же угол, но в противоположную сторону. Результатом сложения зтих двух перемещений будет следующее: звено а делается неподвижным, авено же Ь получает вращение около А. Следовательно, по нашему обозначени»о, теперь точка А делается центром О „ т. е. теорема доказана. Позтому далее мы нс будем обращать внимания на порядок букв в подстрочных индексах, изображающих мгновенные центры вращения.
Заметим, что на основании нашей теоремы в общей совокупности л(л — 1) мгновенных центров механизма, состоящего нз а звеньев, зги центры будут попарно совпадать один с другим. Следовательно, число ра з л и ч н ы х мгновенных центров будет равно л (и — 1) 2 Вторая теорема' ). Возьз»ем в какой-нибудь кинематической цепи три произвольных звена ее а, Ь, с н рассмотрил» три мгновенных центра О„з, Оз„О „подстрочные индексы которых аЬ, Ьг, ас представляют различные соединения по два из трех бука а, Ь, с.
Эти три мгновенных центра лежат на одной прямой, Для доказательства допустим, »то зтн трн центра А, В, С (фиг. 38) не лежат на одной прямой, и покажем, что такое предположенне приводит к нелепости. Сначала предположим, что неподвижно звено Ь, и рассмотрим точку В, т. е. мгновенный центр Ьс или сЬ (что все равно, иа основании первой теоремы).
Около В вращается звено Ь„ когда с неподвижно, и обоатно, около В вращается с, когда неподвижно Ь. Позтому точку В можно считать общей точкой тел Ь и с; ее можно рассматривать илн ') Она была найдена независимо друг от другз Аронгольдом и Кеннеди н известна под названием теоремы о трех центрах вращения.
63 нахождение мГнОВеннОГО цектга принадлежащей телу Ь, или приналдежащсй телу с'); при обоих предположсниях она находится в покое. Затем сделаем обращение механизма; пусть теперь неподвижным будет звено а Чтобы произвести такое обращение, нужно всему механизму как целому, всем сто частям, сообщиттч кроме прежних перемещений, еще такое, которое равно н прямо противоположно прежнему перемещению звена а При этом точка В, которая прежде была неподвижна, теперь получит некоторос перемещение, но оно будет одно и то же как в случае, когда В считаем прииздлежащей звену Ь, так ©Р~~Т~Ь,:) В. ВЬ, а ~~~ф~ ВаЬ ш вас В 2 ъш Фнг. 38. и в том случае, если В считаем принадлежащей телу с. Такое заключевнс основано на том, что прежде точка В в обоих случаях была всподвпжна.
Но если тело а неподннжно, то для тел Ь и с имеем мгновенными центрзми точки А я С (т. е. аЬ„ас). Считая точку В принадлежащей звену Ь, мы заключаем, что оиа должна вращаться около центра Ьа, нлн, что все равно, около центра аЬ, т. е, около точки А Б сконсчно малое перемещение м, точки В будет перпендикулярно к радиусу АВ. Затем, продолжая рассматривать то же дв1пкение нашей цепи (попрежиему неподвижно а), будем считзть точку В принадлежащей звену с. Она должна вращаться около центра з) Конечно, нет необходимости, чтобы точка В в действительности материально принадлежала звеньям механизма Ь, ц Она может находиться соверщенно вне механизма; но н д е а л ь н о онз кзк бы соединена с этими звеньями. И вообще, всякий мгновеншяй центр можно, с кинематнчес кой точки зрения, считать соединенным с соответствующим звеном, хотя бы в действительном, реальном, механизме между звеном и езо центром не имелось материальной связи.
64 гавновзсив плоских мвхзнизмов са, илн, что все равно, около центра ас, т. е. около точки С. Позтому она получит бесконечно малое перемещение мз, перпендикулярное к радиусу ВС. Итак, оказывается, что точка В получает различные перемещения м, или и„ смотря по тому, считаем лн мы ее принадлежащей звену Ь нли звену с, т. е. мы входим в противоречие с прежде полученным заключением. Такое логическое противоречие получилось вследствие неверности основного предположения, что точки А, В, С не лежат на одной прямой; неверное предположение привело нас к нелепому выводу.
Противоречие уничтожается, как только примем, что точка В лежит на прямой АС. Таким образом наша теорема, которую будем называть теоремой о трех центрах враще пня, доказана методом от противного. Эта теорема имеет первостепенное аначеиие при разыскании мгновенных центров, очень облегчает это разыскание и часто представляет единственное средство для их нахождения 27. Примеры. Шарнирный четырехугольник. Сизчзлз рассмотрим простую цепь, для которой все мгновенные центры мзгут быть легко Ы найдены и без помощи теоремы о трех центрах, а именно 1 шарнирный четырехугольник (фиг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
