В.Л. Кирпичёв - Беседы о механике (1950) (1124000), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Эти уравнения получатся, если рассматривать отдельно каждое из указанных шести перемещений. Возьмем, например, поступательное перемещение, параллельное осп х, при котором все точки тела передвцгак~тся на величину Вх. Любая внешняя сила, приложенная к телу, даст при таком перемещении работу, равнук> Хох, где через Х обозначена проекция этой силы на ось л. Складывая работы всех внешних снл и обозначая сумму знаком ~, иолу'шм сумму работ всех сил Х' лля набранного возможного перемещения: ~ !Хьх), или, выделяя об|ций множитель ах: Зх~Х, По началу возможных перемещений эта сумма работ должна быть иулелц а для иного необходимо, чтобы было: ~ Х.=-- О, т, е.

сумма проекций всех внешних сил на ось л должна равняться нулю. !!олобные же уравнения получим и для осей у и г. Итак, суммы проекций всех внешних сил на'три координатные оси необходимо должны быть равны нулю. Рассмотрии теперь вращательное перемещение около некоторой оси О (паи.. 21), Любая точка тела А получает ири этом перемещение Ла, расположенное в плоскости, перпендикулярной к оси О, перпендикулярное к радиусу г и пропор- сколько юлвнвний глвноввсия длхт нлчлло 37 циоиальное величине этого радиуса. Коэ.р рициент пропорциональности, т, е.

бесконечна малый угол поворота тела около оси О, обозначим через ки тогда переме цеиие будет равно юг. Кали в точке А ири.ложена некоторая сила Р, то работу ее для перемещения Аа полу ям следуюншм образом. Разложим силу Р на две составляющие, из которых одна идет параллельно оси О, а другая О расположена в плоскости, перпендикулярной к оси, и представляет собою проекцшо силы Р на эту плоскость. Работа первой слагающей будет равна нулю, так как она перпендикулярна к перемещению Аа. Работа же слагающей О будет произведением трех сомножителей: самой силы Я, перемещения Аа =юг и косинуса угла а между направлением слагшощей О п перемещением, т. е. эта работа будет равна Омгсоап.

Но, опустив перпендикуляр ОВ нз О на линию действия силы О, имеем; в ОВ=г соз а; следовательно, предыдущая работа представляется в форме: юО ОВ. Здесь входит произведсипс (~. ОВ следующих двух сомножителей: проекции внешней силы Р на плоскосзь, перпендикулярную к осп О, и отрезка ОВ, равного кратчайшему расстоянию между силой Р и осью О. Как известно, такое произведение называется м о и е н т о и силы Р относитсльно оси О; мы его обозна шм буквой;И. Итак, работа силы Р равна произведению углового перемещения ю на моменг силы Р. Составим такие работы для всех внешних сил, приложенных к телу, И сложим эти рабогы; получим сумму работ ~а (га .И), иди после вынесения за знак суммы об.цего множителя га, ю ~~'„, М. 38 начало возможных пегвмептеивй По началу возможных перемещений эта сумма должна быть равна нулю; следовательно, получаем ус.човие равновесия: '~,'М= О, т.

е. сумма моментов всех внешних сил для осн О долхгна быть равна нул1о, Это условие мы можем применить к каждому из трех вращений около координатных осси н получим, что для каждой из этих осой сумма моментов внешних спл должна быть равна нулю. Окончательно, для своболного твердого тела, имеющего шесть степеней снободы, получаем шесть условий, необходимых и достаточных для равновесия, а именно: сумма п роскцпй всех внешних снл на три координатные осн должна быть равна нулю, сумма моментов тех же спл относительно трех коорлппатных осей тоже должна равнятьси нулю.

Так получаются из начала возможных перемещений этп известные условия равновесия. 13. Несвободное (связанное) твердое тело. Теперь свяжем, стесним свободу перемещений твердого тела, уменьшим число степеней свободы его. Соответственно этому уменьшится и число условий, необходимых п достаточных для равновесия. Их будет всегда сточько же, сколько сохранилось различных возможных перемещений тела. Мы получим э|и условия, выразив, что сумма работ внешних сил равна нулю для кажтого нз р а з л и ч н ы х возможных псрсмшценпй. Для первого примера возьмем следующий случай связанного твердого тела: одна точка его сделана н е п о л в и ж н о й, Эта связь уни ~го кает вснкукз возможность поступательного движения; ио тело может вращагься около любой из осей, проходящчх через неподвижную точку его.

Так как вращение около любой оси может быть разложено па трп вращения около трех коорлинагных осей с началом в неподвижной точке, то здесь имеем случай трех степеней свободы. Три вра ценпя около трех координатных осей представляют три различные неприводимые возможные перемещения, к которым приводятся все остальные, Для каждого из этих~трех перемещений сумма работ внешних сил должна быть равна нулю, А мы уже впделп, что это дает следукнцпе три системы с одной стенанью сзоводы 39 условия: сумма мочснтоп внешних сил для каждой из координатных осей должна равнятьси нулю. Таковы необходимыс н достаточные условия равновесия для случая твердого тела, имеющего нсподвижну1о точку.

Возьмем случай, когда перемещение тела еще болыпе стеснено связями, чем в предыдущем примере' пусть тело имеет две нсполвпжныс точки, н елннственное дозволяемое связями перемещение ес~ь вращение около оси, соединяющей эти точки. Тут имеется ~олько одна степень свободы, одно возможное перемещение †вращен около определенной оси, следовательно, полушпся о д и о уравнение равновесия. Оно состоит в том, что сумма моментов внешних сил относительно указанной осп должна равняться нулю. Таким же путем получим условия равновесия и для других случаев связанного твердого тела, например для тела, опирающегося одной точкой о исподвижную плоскость, пли для тела, опирающ тося на нсподвшкную плоскость двумя точками, илп для тета, опирающегося па несколько различных Влоскостей.

Нужно определить в каждом случае, каковы перемещения, дозволяемые связямв, и сколько таких различных перемещений. Применяя начало возмо кных перемещений к каждому из различных перемещений, получим необходимые и достаточные условии равновесия.

14. Общий случай систем с одной степенью свободы. рассмотрим отдельно случай снстся, имшощпх только о д н у степень свободы Этп системы, прежде называвшиеся системамн с полнычп связями, удовлетворяют следующим двум услониям: а1 перемещение каждой точки системы может провсходить золько по совершенно определенной траектории; б) перемещение одной точки системы вполне определяет переме:ценна всех оста.иных ее точек. Такие системы прздстзвляют особый интерес, потому что часто встречаются в прнло кениях.

Достаточно указать, что почти все напш мзшпны представляют системы с одной степенью свободы. Мы встречаем в машинах системы с двумя и более степенямп свободы только в исключительных случаях. НаприМер, паровая машина с регулятором Уатта представляет систему С двумя стспснямн свободы; здесь перемещения муфты рсгуЛятора не имеют опрелелснной кинематической связи с перемещениями крнвошипного механизма машины.

Вообразим себе 40 начало Возможных нееемещьний еще паровую машину компаунд; пусть, как для малого цилиндра машины (для первого расшнрания пара), так и для болыного цилиндра (для вторичного расширения пара) поставлено по регулятору Уатта, Это будет система с тремя степенями свободы. Таким образом, чтобы привести пример такой системы из области машин, прихолптся обращаться к исключительным случаям. В огромном же большинстве случаев мы в машинах встречаемся с системами, имеющими только одну степень свободы з). Для таких систем получается одно условие, необходимое и достаточное для равновесия.

Оно выражается одним уравнением, которое по началу возможных перемещений будет иметь следующую форму. Пусть Р, Я, тс, ... будут активные силы, приложенные к системе, а р, д, г,... — перемещения точек приложения этих снл, проектированные на направления сил. Тогда условием равновесия будет: РР+Цд-~-йг+... =О.

1Б. Случай, когда в системе с одной степенью свободы приложены только две силы. Золотое правило механики. Пусть этн силы будут Р н О, тогда уравнением равновесия будет: Отсюда заключаем, что работы РРН ф) этих двух снл должны различаться знаками. Если одна из этих работ, например Рр, положительная, то работа Од должна быть отрицательной.

Та из двух снл, которая ласт положительную работу, называется д в и ж у щ е й силой, а другая сила, даюнцая отрицательную работу, называется силой сопротивления. Далее, из того же >равнения получаем отношение величин движущей силы Р и сопротивления О: Р ч ~3 р' т) Говори этв, мы предполагаем, что части машины представляют абсолютно жесткие, неизменяемые тела, т. е. пренебрегаем упругими изменениями этих частей.

Если же принять во внимание упругость частей машины и рассматривать их изменения формы (сжатия, растижения, изгибы и т. д.), происходящие от действии сиз во время движения, то машина окажется нме~ощей не одну, а значительное число степеней сеоболы, волосков пилвило лшхлпики 41 т. е. отношение численных величин этих сил обратно отношению проскиий то«си пх приложения. Эгог закон равновесия, применимый к громадному числу случаев длч многих маишн и механизмов, представляет всем пзиестно золотое правило, которое обыкновенно высказывают и такой форме: сколько выигрываем в силе, столько же теряем в скорости. В элементарных курсах излагают это правило в применении только к так назьшаемыш простым машинам.

Характеристики

Список файлов учебной работы