В.Л. Кирпичёв - Беседы о механике (1950) (1124000), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Перенося построенные таким способом.скоас а рости в одну точку О, называеа' а мую полюсом, получим план скоростей точек механизма. Пусть к точкам А, В„С ме- ханизма приложены силы Р, сс', сс. Построим иа плане ско- О 6 ростей скорости этих точек в виде отрезков Оа, ОСс, Ос В (фиг.
42). Приложим силы Р, с Я, Я в точках а, Сс, с. Обо- у значнв углы этих сил с напраВг Я влениями Оа, ОЬ, Ос через а, получим для проекций Фяг. 42. Р, д, г перечещеннй точек А, В, С иа направления сил величины, пропорциональные Ол соз а, ОВ соз р, О соэ у. Следовательно, по началу возможных перемещений уравнение равновесии механизма иапишегся в виде; РВ1 соз и+ ~чпэ сОБ Р+Й7УО сОБУ вЂ” О. Если силы Р, О, Р повернем вокруг точек а, Ь, с в Одном и том же направлении нэ прямой угол, не меняя нх величин, то для повернутых сил Р', т„г, К произведения Ртл соз а = Р' Оа Б! и а', ЯОВ соз ~ = <7 Об яп ~', стас сОБ ~ = сс Ос Б!п '~' представят моменты сил относительно центра О.
Следовательно, условие равновесия выражает равенство нулю суммы моментов сил Р', О', Г относительно центра О Если будем рассматривать план скоростей Опас как жесткий рычаг, вращающийся вокруг полюса О, то условием его равновесия под и евшие головин гхвновисия и требуется определить силу 1,1, приложенную к ползуну В, направленную вдоль рейки, по которой он скользит, и удержи- 'В а вающую механизм в ра- Фиг. 43.
вновесни. Так как скорость пл пальца А направлена перпендикулярно" к криво- шипу, з скорость ползуна  — вдоль рейки хх, то центр вращения К шатуна В найдется на пересечении продолжения крввошипа ОА и перпендикуляра к рейке в точке В. Так как скорости пл и пв пропорциональны КА и КВ, то на плане скоростей (фиг. 44) треугольник Оаб будет подобен треугольнику КАВ и с~прона а)У будет перпендикулярна АВ. Следовательно, задавшись произвольной величиной отрезка Оа, легко построим отрезок ОУ, изображающий скорость точки В.
Построив повернутые силы Р' и Д', видим, что для рзв- ') См. Лой панский Л. Г. я Лурье А. И., Курс теоретической механики, ч. 11, стр. 255. Гостехизхат, 1948, (/Урим. рад.] действием сил Р', О', Я' и будет равенство нулю суммы их моментов около центра О. Отсюда и получается вывод: Условия равновесия механизма, находящегося под действием некоторой системы спл, эквивалентны, условиям равновесия плана скоростей точек приложения спл, рассматриваемого как жесткий рычаг, вращающийся вокруг полюса и находящийся под действием системы спл, повернутых по отношению к данным на прямой угол с сохранением их величины и приложенных к точкам плана, соот- /1 ветствующнм точкам / приложения сил на ме- / ханпзме '). / Пусть, например, дзн кривошипно-шатунный механизм (фиг.
~х ФЗ), к пальну А криво- шипа которого приложена данная сила Р, ГАВНОВЕСИЕ ПЛОСКИХ МЕХАНИЗМОВ новесия рычага Оаб резкция Р' Опоры О должна проходить через точку пересечения линий действия сил Р' и Я'. Сле- довательно, по данной силе Р' и лир~ нпям действия сил Я' и Я' без труда можем построить замкнутый силовой й' треугольник (фнг, 45), из которого и находится сила О', равная по величине искомой силе О. :я Читатель видит, что в этой беседе а' для плоских механизмов выведены пра- вила перенесения спл, правила сложеФиг. 44. ння и разложения нх, условия равновесия, н все этп вопросы решены в том же духе и в,той же ролноте, как 0' это давно было сделано для твердого ч тела.
Предлагаем читателю в качестве Фиг. 45. упражнения решить следу|ощие задачи: 1. Найти условия равновесня сил Р, Я (фиг. 46), дейсгвующпх нз звенья а, с шарнирного четырехугольника. Фнг. 47. Фиг. 46. 2. Найти условия равновесия сил Р, ь> (фиг. 47) ва ннверсоре Липкина. ТРЕТЬЯ БЕСЕДА ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛ СВЯЗИ ЗЕ Применение начала возможных перемещений.
В первой беседе мы видели, что если для составления условий раннонесия применять начало возможных перемещений, то нсе силы связи исключаются, и мы можем совершенно игнорировать их; для условий равновесия они не нужны. Но иногда бывает необходимо знать силы связи для других целей. В техническом деле, при построении машин н мостов, силы связи часто определяют дзвления на опоры, и их нужно знать для расчета прочности и устойчивости опор.
В машинах силы связи, проявляющиеся в форме давлений на валы и другие подвижные части, вызывают трение, величина которого иногда зависит от величины давления. Поэтому нужно знать силы связи, чтобы вычислить величину трения н определить степень полезного действия машины. Но и в тех случаях, когда нужно знать силы связи, нельзя сказать, что исключение сил связи, произведенное с помощью начала возможных перемещений, было бесполезно. Напротив того, оно и здесь приносит большую пользу, а именно тем, что рааделяет сложный вопрос на два вопроса, решаемые отдельно: а) на определение условий равновесия, т. е.
нахожление таких активных сил, которые уравновешиваются в системе, б) на определение сил связи. Если бы мы решалн оба эти вопроса сразу без разделения, то имели бы задачу с большим числом связанных между собою неизвестных. А известно, что математические трудности сильно возрастают с увеличением числа неизвестных, связанных межлу собою. Всякое разделение неизвестных на две или большее число независимых групп влечет за собою значительное облегчение вопроса.
Начало возможны» перемещений н производит именно такое разделение. 74 опгеделенне сил связи Кроме того, и для решения занимающего нас теперь вопроса — определения сил связи — наилучшим приемом послужит применение начала возможных перемещений. В первой беседе мы применяли наше начало к перемещениям, дозволяемым всеми связями системы, т. е.
н таким перемещениям, которым связи нисколько не препятствуют; поэтому все связи нсключалпсь, Если теперь желаем найти силы связи, то необходимо рассматривать перемещения, которым препятствуют некоторые связи, например хотя бы одна ич связей. Уничтожим мысленно эту связь и заменим ее силой, которая и будет силой связн. Эту силу причислим к активным салам. Затем вообразим такое перемещение, которому эта связь препятствовала и которое теперь, с уничтожением связи, сделалось возможным. Ос~ается применить начало возможных перемещений, и мы получим уравнение, в которое входит искомая сила связи. Этот пряем очень удобен, потому что позволяет определять не все неизвестные сразу, в совокупности, а разделять их на группы с небольшим числом неизвестных в каждой группе.
Часто даже возможно достигнуть полного разделения неизвестных, т. е. так подобрать перемещения, что в каждую группу будет входить только одна неизвестная сила связв. 32. Примеры. 1. Возьмем случай связанного твердого тела. Пусть оно имеет одну неподвижную точку. Здесь связь, т. е. действие опорной точки на тело, выражается одной силой, проходящей через неподвижную точку; величина и направление этой силы неизвестны.
Мы будем знать эту силу вполне, если определим три ее проекдпи на коордпватные оси х, у, я. Уничтожим связь нашего тела н заменим ее тремя силами Х, У, к., которые причислим к внешним силам. Пока существовала связь, она не дозволяла телу дввгаться поступательно; теперь такое движение сделалось возможным. Вообразим, что тело получило поступательное перемещение по осн х, и напишем, что сумма работ всех внешних снл равна нулю для этого перемещения; получим уравнение, в которое будет входвть одна неизвестная Х, которую и найдем.
Тем же приемом определим отдельно силы У и Л. 2. Предположим, что имеем твердое тело, у которого имеются две опоры, т. е. две неподвижные точки А и В, ПРИМЕРЫ 75 определяющие ось вращения АВ. Опишем несколько подробнее эти опоры. Пусть опора А такова, что не препятствует движению вдоль оси АВ, а уничтожает только перемещения, перпендикулярные к АВ. Следовательно, здесь сила связи, проходящая через точку А, не имеет слагающей Х„параллельной оси АВ; остаются только две слагающие 'г'и Е„ перпендикулярные к АВ. Что касается опоры В, то пусть она препятствует не только перемещениям, перпендикулярным к оси АВ, но и перемещению вдоль этой оси. (При практическом выполнении этой опоры здесь придется поставить какой-нибудь опорный подшипник.) Итак, сила связи в точке В имеет три слагающие по направленвю координатных осей х, у и я, из которых первая совпадает с АВ, а последние перпендикулярны к АВ.
Эти слагающие назовем через Х„ 'г„х.а. Следовательно, всего имеем пять неизвестных сил связи: Уп Хп Х;, т'а, Ят. Уничтожим опоры А, В и вместо них введем эти силы связи. Теперь наше тело свободно и может иметь любое поступательное и вращательное перемещение; все они для него дозволены.
Мы можем подобрать перемещения так, что неизвестные вполне разделятся, и в каждое уравнение будет входить только одно неизвестное. Прая<де всего вообразим поступательное перемещение вдоль оси х. Применяя к нему начало возможных перемещений, получим уравнение, в которое входит одна сила Хт. Далее рассмотрим вращение около оси, проведенной через В параллельно оси у.
Применяя начало к этому перемещению, исключим все неизвестные кроме Еп Загсы берем вращение около оси, пронедениой через В параллельно оси г. Это перемещение даст нам уравнение, содержащее одну неизвестную силу связи г',. Рассматривая вращения около осей, проведенных через точку А параллельно осям у и г, получим еще два уравнения, и первое из ннх содержит неизвестную Л„а второе— неизвестную Иа. 3. При устройстве мостов, стропил и тому подобных конструкций часто применяются фермы, т. е. раскосные системы, связанные нз нескольких боусков; пример приведен на фиг.
48. Отдельные бруски фермы представляют связи этой системы. При действии внешних нагрузок на ферму в этих 76 опгеделение сил сВязи брусках появятся внутренние усилия, растягивающие или сжимающие; это будут силы связи. Их нужно знать для того, чтобы возможно было рассчитать прочные размеры брусков. Если мы будем рассматривать равновесие в с е й фермы как одного целого, то все силы связи исключаются, и ни в одно из уравненей равновесия не попадет ни одна из сил связи; в уравнениях будут фигурировать только внешние нагрузки.
Поэтому такие уравнения непригодны для определения усилий в брусках, из которых составлена ферма. Чтобы найти эти усилия, нужно уничтожить одну или несколько Фнг. 48. связей, мысленно разрезать их н этим самым вместо связи ввести силу, представляющую усилие в бруске. Эта сила должна быть причислена к внешним силам, При разрезании связей мы получаем некоторые новые перемещения, которые прежде не дозволялись, а теперь становятся возможными. К этим новым перемещениям и нужно применить начало возможных перемещений; получим уравнения, в которые входят силы связи; следовательно, этн силы могут быть найдены, В этом заключаются приемы для нахождения внутренних усилий в фермах, Возьмем ферму, не содержащую лишних брусков, т. е. такую, что все бруски ее необходимы для придания ферме жесткости (фиг. 48), Как только разрезан один брусок, ферма сейчас же теряет свою жесткость и получает возможность изменять свою фигуру без изменения длины всех остальных брусков, п гни агы Предположим, что мы разрезаем брусок а и вводим вместо этой связи две силы Х, идущие по длине бруска, Ферма теряет свою жесткость; в ией теперь имеется шарнирный четырехугольник ВСЕЙ'), который может изменять свою фигуру, а при этом изменении получшот перемещения и другис части фермы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
