А.Н. Матвеев - Атомная физика (1121290), страница 104
Текст из файла (страница 104)
Значит, трудность с отрицательной энергией, свойственная уравнению Клейн а-Г о р д о н а, преодолена.Ч тобы выяснить, чему равен спинчастиц, описываемых уравнением Дирака, рассмотрим частицу, движущуюся в центрально-симметричномполе. В этом случае потенциальнаяэнергия частицы зависит только отрасстояния г до центра, т. е. имеет видЕп(г). Уравнение Дирака при наличии центрально-симметричного поляЕп(г) получается из (71.36) с добавлением члена, представляющего потенциальную энергию:[ £ —с(сгр) —т0 сг р3 - Яп] 4х = 0. (71.43)Гамильтониан частицы, движущейсяв центрально-симметричном поле,записывается следующим образом:Я = с(сгр) + т0 с7 р3 + Еп(г).(71.44)Н екоторая величина является интегралом движения в том случае, еслипредставляющий ее оператор ком мутирует с гамильтонианом.
Рассмотрим орбитальный момент импульса частицыL, = г х р(71.45)при движении с гамильтонианом(71.44). Вычислим ком мутатор Ц, с Я:Н 4 - 4 Н = (с Я/г) (dj ру - а 2 рх) ф 0.(71.46)Таким образом, ком м утатор орбитального м омента L, с гамильтонианом не равен нулю. Это означает, чтоорбитальныймоментчастицы,описываемой уравнением Дирака, несохраняется.
Следовательно, частицаимеет внутренний момент, или спин.В центрально-симметричном поле сохраняется полный момент частицы,т.е. сумма ее орбитального моментаи спина. Нетрудно проверить, что сгамильтонианом (71.44) коммутируетоператорL, = L, + (П/2) о,(71.47)где о = (ох, а у, стг)-в ек то р н ая четырехрядная матрица, компонентыкоторой3 9 0 14Релятивистские эф ф екты в атом ной ф и зи к ест =0100100000010 \01 *0/(71.48)СТ„ =0ii 00 00 0ст, =1 0 0 01 0 000 0 1 00 0 0 -1000i00—i0В компонентах это условие записывается следующим образом:—ОператорLs = (Й/2) оJfF*! 'P i + ¥*2 Ч»2 + У'з 4*3 + Ч»; 'P4)d K = 1,(71.53)(71.49)является оператором спина.
Собственные значения Z -й составляющейоператора спина равны ± й/2:0 0( 100 -1 0 00 0100 00 -1квантовой теории, сохраняю т своюсилу и для волновых функций Дирака,имеющих четыре компоненты. М атематически наличие четырех компонент у волновой функции проявляетсяв том , что в вычислениях возникаютдополнительные суммирования поиндексам этих компонент. Например,условие нормировки волновой функции имеет видJ ¥ + ¥ d K = 1.(71 52)(71.50)Отсюда замечаем, что спин частиц,описываемых уравнением Дирака, равен 1/ 2. К вадрат полного спинаЦ = (£2/4) (ст* + ст? + о 2) = s(s + 1) П2 == ЗП2/4, *= 1/2.(71.51)П оэтому уравнение Дирака применимо для электрона. К ром е того, этоуравнение применимо для нейтрона ипротона, спин которых также равен1/ 2 .Все правила вычислении, которыебыли изложены в нерелятивистскойт.
е. добавляется суммирование по индексам компонент волновой функции.Вычислим среднее значение Z -йпроекции спина. П о определениюсреднего,<LM> = J 'P + 4 'P d K = (^ /2) xх J Ч>+ стг V d V = (И/2) J (ч»; Ч»! - Ч»*2 Ч»2 + 4^*3 4*3 - у ; Ч»4) d к(71.54)где использовано выражение ctz п о(71.48). В вычисление снова вошлосуммирование по компонентам волновой функции.И з (71.50) и (71.54) можно заклю чить, что компоненты 'Pj и *Р3 описываю т состояние электрона, в которомего спин имеет составляющ ую в направлении положительных значенийоси Z, а компоненты *Р2 и *Р4 описываю т состояние электрона со спиномв направлении отрицательных значений оси Z.
Вообще говоря, обычноэлектрон находится в суперпозициисостояний и все четыре компонентыволновой функции отличны от нуля.Так как уравнение Д ирака получено из релятивистски инвариантногосоотношения (71.22), то представляется вероятным, что оно релятивистски инвариантно. Э то утверждение§ 71. Релятивистские волновые уравнения 391может быть строго доказано. Из требования инвариантности уравненияДирака относительно преобразований Лоренца могут быть полученыправила преобразования волновойфункции при преобразованиях Лоренца. Оказывается, что компонентыволновой функции преобразую тсяпри этом друг через друга.
Однакосоответствующих вычислений мыздесь приводить не будем.Волноваяфункциясвободногоэлектрона. В качестве примера четырехкомпонентной волновой функциирассмотрим волновую функцию свободного электрона/ 'М Мu\; S; о\ ^(Г, t) J■(7L55)Не ограничивая общности, можносчитать, что электрон движется вдольоси Z, и положить:(71.56)П о аналогии с формулой (25.24а) длянерелятивистского случая будем искать решение для каждой компоненты в виде плоских волн:Ч'Дг, t) = A bie - iiE,' pzz)l\(71.57)P x=Py=Q>Pz ^Q-где А -о б щ а я для всех компонентнормировочная постоянная.
В случаенормировки на длину периодичностиL имеем A = L ~ 3/2. Коэффициенты Ь{определяются из условия, чтобы волновая функция удовлетворяла уравнению Дирака. РавенствоЧ>+ Ч» = А* А(Ъ\ 6, + Ъ\ Ь2 + Ь\ Ъ3 ++ Ъ\ ЬА)(71.58)показывает, что коэффициенты btдолжны удовлетворять следующемуусловию нормировки:b \ b l + b \ b 2 + b \ b 3 + b \ b l, = \.(71.59)П одставляя (71.57) в (71.34) исокращая обе части всех уравнений наобщий множитель А ехр [ —/(£ ? —— pzz)fi], находим для определениякоэффициентов Ь{ следующую систему уравнений:( £ - m0 c2) b 1 - c p z b 3 = О,(Е - т0 с2)Ь2 + с р г ЬА = 0,(Е + т0 с ) b3 - c p z b 1 = 0,(71.60)(Е + m0 c2) bA + c p z b 2 = 0.Однородная система линейныхуравнений будет иметь нетривиальное решение, если ее детерминант равен нулю:Ё 2 - т20 сА - с2р ] = 0,(71.61)что является выражением релятивистской связи между полной энергией иимпульсом частицы [см.
(71.11)]. Из(71.61) следует, чтоЕ = ± с у / р 2 + ШдС2,(71.62)т. е. уравнение Д ирака допускает дляэлектрона как положительные полныеэнергии, так и отрицательные.В случае Е > 0Е = с у / р 2 + т20 с2(71.63)и получаем следующие два линейнонезависимых решения:*1 = ( 1 /V 2) л/ l + т0 с2/Е,Ь2 = 0,___________Ъ3 = И/ у / 2) у/ l - т0 с 2/ Е ,Ъу = 0 ,(71.64а)/>4 = 0,b 2 = (I/у/ 2) у / \ + т0 с2/Е,(71.646)Ь3= 0,ЬА = ~ ( \ / у / 2 ) у / \ — т0 с2/Е .М ножитель X/yJl появляется из условия нормировки (71.59).В случае Е < 0Е = —с у / р 2 + т о с2(71.65)и также получается два линейно независимых решения:3 92 14Релятивистские эф ф екты в атом ной ф и зи к еb i = ( 1 / \ / 2) У 1 - т0 с2!\ Е\ ,___________Ъ3 = —(1/^/2) V l + т0 с 2/ \ Е \ ,й1 = 0, Ь2 = (1/^/2)Ь2 = 0,(71.66а)Ьа = О,- т0 с2/\Е\,(71.666)й3 = 0, ^ = (1/ч /2)У Т + т о С 2/ 1ПЧ тобывыяснитьфизическийсмысл состояний а) и б), воспользуемся формулой (71.50) для собственных значений проекций спина наось Z.
Учитывая, что в состоянииа) компоненты *F2 и *Р4 обращ аю тся внуль, а в состоянии б) нулю равныкомпоненты 'P j и *Р3, заключаем, чтоволновые функции а) описывают состояние, когда спин электрона ориентирован вдоль положительного направления оси Z, а состояние б) соответствует ориентировке спина электрона вдоль отрицательного направления оси Z. Таким образом , четырелинейно независимых решения (71.64)и (71.66) соответствую т четырем возможным комбинациям двух знаковполной энергии электрона и двум возможным направлениям ориентировкиспина.Отрицательные значения полнойэнергии электрона с первого взглядапредставляются не имеющими физического смысла. Однако более глубокий анализ показал физическуюсодержательность этого понятия ипривел к открытию античастицы дляэлектрона, названной позитроном.В нерелятивистском случае, когдаv / c « 1,т0 с2/Е = y /l - v2 /c2 х 1 - v2/(2 сг), (71.67)и поэтому волновые функции (71.64) и(71.66) принимаю т с точностью довеличин v/c вид для ё > 0 и $ < 0:Ь1 х 1,Ь2 = 0,b3 x v / ( 2 c ) ,64 = 0,(71.68а)Ь1 = 0, Ь2 х 1, Ь3 = 0, b4 x -v/ ( 2 c),(71.686)Ь1 х v/(2 с), Ъ2 = 0, Ъ3 = - 1, 64 = 0,(71.69а)*1 = 0, b 2 x v / ( 2 c), ft3 = 0, bAx l ,(71.696)т.е.
в каждом из состояний существенно отличной от нуля являетсялишь одна компонента. Это, однако,не означает, что в нерелятивистскомслучае волновая функция из четырехкомпонентной превращается в однокомпонентную волновую функцию и,следовательно, спиновые эффектыпропадаю т. Дело в том , что отличнойот нуля является в каждом из состояний различная компонента. П оэтомупри определении, например, среднегозначения спина вдоль оси Z принимается во внимание лишь одна ком понента волновой функции, но этакомпонента различна для различныхсостояний и приводит к различномурезультату вычислений. Переход к нерелятивистскому случаю не означаетперехода к однокомпонентной волновой функции, а позволяет выяснитьотносительную роль различных ком понент волновой функции в нерелятивистском случае.Второе замечание, связанное спереходом к нерелятивистскому случаю, заключается в следующем.
Из(71.68а) видно, что коэффициенты Ь3 и64 в нерелятивистском случае имеютотносительно коэффициентов 6, и Ь2порядок v/c по сравнению с единицей.Это означает, что функции *Р3 и *Р4 внерелятивистском случае малы посравнению с функциямии 'Р 2. Этозаключение имеет общий характер,как это непосредственно видно из системы уравнений (71.34): в нерелятивистском случае Е ^ т 0 с 2 и, следовательно, *Р3 и Ч/4 малы по сравнению с^ и Ч>2.§ 7272. Релятивистские эффектыв атомной физикеИзлагается количественная теория тонкой структуры уровней энергии атома водорода и обсуждаются состояния с отрицательной энергиейУровни энергии бесспиновой частицы вкулоиовском поле.
Зависимость массыот скорости приводит к изменениюуровней энергии частицы, движущейся в кулоновском поле. Чтобы проанализировать этот релятивистскийэффект, рассмотримбесспиновуючастицу, движущуюся в кулоновскомполе ядра. Допустим, что масса ядра,вокруг которого движется бесспиновая частица, много больше массыэтой частицы. Б лагодаря этому ядроможно считать неподвижным. С оотношение между полной энергией,импульсом и потенциальной энергиейв кулоновском поле имеет видЕ = с ^ / р 2 + гпдС2 — Z e 2/(4ne0r ) ,(72.1)где Z e - заряд ядра, е -з а р я д частицы,т 0- е е масса покоя. О тсю да получаемоператорное равенство[ £ + Z e2/(4Ji£0r)]2 = с2р 2 + m l с4 ,(72.2)котороеприводитк уравнениюКлейна - Гордона для частицы в кулоновском поле ядра:й8i dtZe2 V4ке0г )+ с2й2У2 —mlc4¥=0.(72.3)Полагая¥(r, t) = Ч '(г)е- '(£ + т °‘'2>'/л ,(72.4)получаем релятивистское уравнениестационарных состояний:1У2¥ +г г( Е + т0с2 +Ze24ке 0г- т \ с 4 14х = 0.1(72.5)Релятивистские эф ф екты в атом ной ф и зи к е 393Здесь Е - энергия электрона без энергии, соответствующей массе покоя.Решение этого уравнения проводитсяаналогично решению нерелятивистского уравнения Ш редингера (28.1).П олагаяу = д(г)УГ(е,ф),(72.6)находим для радиальной волновойфункции R [см.
(30.1)]1 ± ( г 2^ ) +r2 d r \d r/2В■Ал-----г+1(1 + 1) - a 2Z 2] д = о,(72.7а)гдеА =т\с22В =1-2 m0Z e 24л е0Н21+1+(72.76)т0сЕ(72.7в)a = e 2 l ( 4 m 0 ch) - постояннаятонкойструктуры. Чтобы перейти к нерелятивистскому случаю, надо учесть, чтоЕ « т 0 с2. П оэтому вместо формул(72.76) и (72.7в) получаемА = — 2т0Е/Н2 , 2В = 2m0 Ze 2 /(4ne0fi2) ,(72.8)что совпадает с выражениями этихвеличин в нерелятивистской теории[см. (30.2)].Очевидно, что переход к нерелятивистскому случаю эквивалентенустремлению скорости света к бесконечности (с -> оо). Следовательно, приэтом переходе необходимо считать,что постоянная тонкой структуры aстремится к нулю, поскольку в еевыражении скорость света входит взнаменатель.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
