А.Н. Матвеев - Атомная физика (1121290), страница 103
Текст из файла (страница 103)
Выражение же (71.16) несовпадает с соответствующим вы ражением (16.206) нерелятивистскойтеории. Однако в нерелятивистскомслучае, когда v « с, такое совпадениеимеет место. Чтобы в этом убедиться, заметим, что при малыхскоростяхЕ=~2= тп сt1 у21 Н----- “ +...2 с2и поэтому с точностью до величинывторого порядка относительно (v/c)5^8о*Е— = — е /л ЧМг = - J - ¥ =dt8th§ 71. Релятивистские волновы е уравнения 385тп с(71.19)благодаря чему (71.16) принимает видр * q Ч»* Ч»,(71.20)что совпадает с нерелятивистскойформулой (16.206). Таким образом,как и нужно было ожидать, релятивистские формулы в случае v « с переходят в нерелятивистские формулы.Однако релятивистская формула(71.16) для плотности заряда приводит к следующей трудности. Из смысла плотности заряда следует, что отношение плотности заряда к единичному заряду q должно дать концентрацию частицрih ( , д Ч*аЧ'ЛN = q 2 т0 с \dtd t J (7L21)По физическому смыслу концентрации частиц ясно, что она должна бытьнеотрицательной величиной.
Междутем уравнение К лей н а-Г орд он а является уравнением второго порядкапо времени и, следовательно, Ч* и8 * ¥ / 8 1 в некоторой точке могут бытьзаданы независимо. Это значит, чтоN может быть и отрицательной.Следовательно, выражение (71.21)Дирак Поль АдриенМорис(1902-1984)Английский физик, одиниз создателей квантовойтеории. Разработалрелятивистскую теориюэлектрона, внес большойвклад в развитиеквантовой теории поля,квантовой статистики,квантовой теорииизлучения25219нельзя рассматривать как концентрацию частиц.
Поэтому в течение рядалет уравнение К лейна-Г ордона неполучало признания в качестве уравнения для описания поведения частиц.В дальнейшем стало ясно, что егоможно рассматривать как уравнениеквантовой теории поля и избежатьтрудности с отрицательной плотностью.Волновая функция в уравненииК л ей н а-Г орд он а имеет лишь однукомпоненту, т. е. является скаляром.Если у волновой функции несколькокомпонент, то у частицы, к которойотносится эта волновая функция, кроме степеней свободы, связанных сперемещениями частицы, имеютсявнутренние степени свободы.
Этивнутренние степени свободы представляю т ее спин. То, что волноваяфункция в уравнении К л ей н а-Г о р д о на имеет лишь одну компоненту, означает отсутствие у частицы внутренних степеней свободы, т. е. спина.Или, иначе, спин частицы, описываемой уравнением К лейна-Г ордона,равен нулю. Такие частицы часто называю т скалярными. Поскольку спинэлектрона равен 1/2, уравнение Клейн а-Г о р д о н а неприменимо для электрона. По-видимому, оно пригоднодля тг-мезонов, спин которых равеннулю.
Трудность с отрицательнойплотностью частиц при этом преодолевается методами квантовой теорииполя.Уравнение Дирака. Трудность сотрицательной концентрацией частици неприменимость уравнения Клейн а-Г о р д о н а к частицам со спином 1/2заставляет искать другое уравнение,которое было бы пригодно для электрона. Такое уравнение было получено Дираком.Для того чтобы избежать трудностей с отрицательной концентрацией3 8 6 1 4.
Релятивистские эф ф екты в атом ной ф и зи к ечастиц, необходимо избежать наличия производных по времени в вы ражении для плотности заряда. Но этовозможно лиш ь в том случае, когдасамо волновое уравнение содержиттолько первую производную по времени. Пользуясь требованием релятивистской инвариантности, заключаем,что и производные по координатамдолжны также входить в уравнениетолько в виде первых производных.Принцип суперпозиции состоянийтребует, чтобы уравнение было линейным. В результате получается, чтоискомое волновое уравнение должнобыть линейным дифференциальнымуравнением первого порядка как повремени, так и по пространственнымкоординатам.Ч тобы его получить, естественновоспользоваться приемом, с пом ощ ью которого было полученоуравнение К лейна-Г ордона, но приэтом учесть только что изложенныевыводы. Исходим из релятивистскогосоотношения между полной энергиейи импульсом (71.11), которое удобнозаписать в видеЕ = с у/р 2 + ml с2.(71.22)Если от этого уравнения перейти коператорному равенству по формулам (71.9), то получающееся уравнение будет уравнением первого порядка относительно времени, но не относительно производных по координатам , поскольку оператор производных входит под знак корня.
Чтобыосвободиться от этой трудности, необходимо произвести «линеаризацию» правой части уравнения (71.22)посредством«извлечения» корня.Введем обозначенияРо =т 0С,P i = Р х,Р 2 = Ру ,Рз =P z(71.23)и напишем формальноЕ = с{.% Р „д= о(71-24)где су пока не определены. Эти величины должны быть выбраны так, чтобы после возведения обеих частей равенства (71.24) в квадрат получилосьрелятивистское соотношение междуэнергией и импульсом в виде (71.11).Требование перехода соотношения(71.24) после его квадрирования в соотношение (71.11) дает условия, которы м должны удовлетворять су.Возводя обе части равенства (71.24) вквадрат, находиме2 = с1 1 1 % «V Р» Рщ- =д' Д= (с2/2) X К су + су а„) рп /у .(71.25)Д'Чтобы правая часть (71.25) совпала с правой частью уравнения (71.11),которое удобно записать в виде— с 2 (ро + р 2 + р 2 + р 2\(71.26)необходимо, чтобы су удовлетворялиследующим соотношениям:а„ су + су а„ = 2 5„„,,(71.27)Е2т.
е. су, су должны антикоммутировать друг с другом при разных значениях индексов ц и ц':ад ад = - « д ' ад(71.28а)К вадрат каждой из величин су должен быть равен единице:а 2 = 1.(71.286)Вообще говоря, для того чтобыоперировать с соотношением (71.24),не обязательно иметь явный вид величин а Достаточно знать соотношения (71.28), которым эти величиныудовлетворяю т. Однако явный видвеличин су часто бывает полезен длярешения конкретных задач. Диракпредложил в качестве су взять следу§ 71ющие четырехрядные матрицы:10 00 100 0 - 1ОООап=Действительно,ai = 1 ,оогде/-е д и н и ч н а яматрица:0-10 0 0 1/ =0 0 100 10 010 0 0а, =а , =0010а, =00—г0000-10/001000—i00010 0 00 10 00 0 100 0100 00 -1а 1=10 0 00 10 00 0 10+0 00 010100 -10 00 - 1 0 00 00 0О -// о0 -г О 00100+0 0 0 1+10 0 00 10 00 0 100 0 0 110 0 00 10 00 0 100 0 0 125*+100 00 - 1 0 0/0+(71.30)Аналогично, для а 2 и а 3 соотношение(71.27) принимает вид0 0 0 -/0 0 /0а , а, + а , а , =0 -i 0 0/О 0 00-100Непосредственным перемножением исложением матриц (71.29) нетрудноубедиться, что они удовлетворяю т соотношениям (71.28), понимая, что вих правой части стоит единичная м атрица.
Например, для dj имеема 1четырехрядная0 0 0 1(71.29)000iРелятивистские волновы е уравнения 387100000010010\\+/1 0— 1000000 - 100+0 00000—000000000000\)/00-10388 1 4 Релятивистские эф ф екты в атом ной ф и зи к ет. е. действительноа 2 а 3 + а 3 а 2 = О,(.Ё - т 0 с2) Ч \ - с(Рх - ipy) Ч*4 -где под 0 понимается нулевая м атрица:О=0000000000000000(71.31)Нетрудно проверить, что матрицы а дявляю тся эрмитовы ми матрицами,для которых ад = а д, где операцияэрмитова сопряжения означает перестановку элементов матрицы вдругие места, симметричные относительно главной диагонали, и взятиекомплексного сопряжения к этим элементам.
Например,а ЬУс d)_ ( а* с*\6* c f )С учетом (71.24) уравнение Диракадля свободной частицы может бытьзаписано следующим образом:¥ = 0.(71.32)Поскольку а м- четырехрядные м атрицы, волновая функция 'Р в (71.32)должна иметь четыре компоненты,которые удобно записать в видестолбца:Ч* =Ч\*2Ч*зЧ\(71.33)П оэтому уравнение Д ирака (71.32)является системой четырех линейныхуравненийотносительночетырехкомпонент волновой функции 'Р.Произведя перемножения на матрицыа д, указанные в (71.32), можно этусистему уравнений записать в виде- CPZ 4*3 = °.(.Ё - т 0 с2) 'V2 - с(рх + ipy) ¥3 ++ cpz Ч \ = 0,(71.34){Ё + т0 с1) Ч'з - с ( Р х - ipу) Ч>2 - ср 2 Ч», = 0,(Ё + т0 с2) Ч>4 - с(рх + ipy) Ч \ ++ cpz Ч*2 = 0.Уравнение Д ирака (71.32) удобнотакже переписать по-другому.
Введемвекторную матрицу а , компонентамикоторой по осям координат являю тся*3’ т. е.а = (а,, а2, а3).(71.35)Тогда [см. (71.32)][ £ - с ( а р) —т 0£-2 р3] Ч» = 0,(71.36)где матрица а 0 обозначена через р3,как это принято (р3 = а 0). Выписываяв явном виде операторы Ё и р, имеемЯ 5ей.,----Ч '---------- (а •V) Ч' —т0 с р3 Ч' = 0.i сti(71.37)Э рм итова сопряженная волноваяфункцияЧ'* = (Ч'*1, Ч»;, 4*5, ЧЧ).(71.38)Сопряженная волновая функцияставится слева от четырехрядныхматриц, чтобы соблюсти правилаумножения матриц.
К роме того, необходимо везде перейти к комплексно-сопряженным величинам. П оэтому уравнение (71.37) относительносопряженной функции имеет видfi дсИ+ - — Ч>+ + - ( У Г ' а ) - т 0 с 2 Ч' + = 0 .i dti '’(71.39)Расписав это уравнение по компонентам , получим систему уравнений, которая совпадает с системой (71.34),если в последней перейти к комплексно-сопряженным величинам.§ 71. Релятивистские волновы е уравнения 389Для того чтобы получить выражения для плотности заряда и плотности тока, умножим уравнение(71.39) справа на (iq/H) *F, а уравнение(71.37)-слева на ( /q/k) Ч/+ и из первого уравнения вычтем второе уравнение. В результате получаем уравнение— {q ¥ + ¥) + div(<7с Ч*+ a f ) = О(д=-е),(71.40)которое имеет вид уравнения непрерывности в классической электродинамике. О тсю да заключаем, что выражения для плотности заряда и токазаписываются следующим образом:р = q Ч>+ Ч>,(71.41а)j = qc Ч*+ а Ч*.(71.416)Эти выражения для плотности зарядаи тока сохраняют свой вид и приналичии внешнего поля, поскольку вэтом случае в левую часть уравнений(71.37) и (71.39) добавляется соответствующий член, который послеумножения уравнений на сопряженную функцию и вычитания сокращается.Из выражения (71.41а) находимконцентрацию частиц:JV = p/q =Ч» = (Ч»*,,Ч'*, ч»;) х(71.42)= ч » ; ч \ + ч»2ч>2 + %ч 'з + ч » ; ч»4 .Это неотрицательная величина.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
