Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 5. Атомная и ядерная физика (1121281), страница 126
Текст из файла (страница 126)
В этом приближении самосогласованные поля для протонов и нейтронов одинаковы. Это проявляется в том, что, как показывает опыт, магические числа протонов совпадают с магическими числами нейтронов. Поэтому в дальнейшем говорится о ну лонном еомосогласооанном поле, причем под нуклоном с равным основанием можно подразумевать как протон, так и нейтрон. 8. Замена реальных сил самосогласованным полем, одинаковым для всех нуклонов ядра, сводит задачу многих тел к задаче об одной частице, движущейся в этом самосогласованном поле.
Соответствующий этому полю нуклонный потенциал, как уже сказано выше, подбирается эмпирически. Прежде всего для сферических ядер самосогласованный нуклонный потенциал 1г(г) должен быть сферически-симметричным. А из-за малости радиуса действия ядерных снл Ъ'(г) приближенно должен меняться в зависимости от расстояния г до центра ядра аналогично плотности ядерного ве- О~ щсства (см. еэ 65). Для средних и тяжелых ядер принимается, что Ъ'Я приблизительно постоянен внутри ядра, а в окрестности границы последнего очень круто (но все же плавно) спадае г ирак"тически до нуля. Для легких ядер самосогласованный потенциал — га по форме напоминает потенциал трехмерного осцнллятора, т.е. внутри ядра 1г(г) представляется приближенной формулой Рис. 141 МЯ = (1/2)ага с постоянным 1е. Разумеется, вне ядра г"1г) = О. Приближенный вид обычно применяемого эмпирического самосогласованного нуклонного потенциала представлен кривой на рис.141.
(Гл. Х Кроткие сведения о ядерных моделях 504 После выбора самосогласованного нуклонного потенциала задача сводится к решению одночастичного уравнения 1Предингера. Посмотрим сначала, к каким магическим числам приводит предположение, что Ъ'(г) представляется потенциалом трехмерного гармонического осциллятора, т.с. внутри ядра г' = (1/2)йгх, а вне ядра \Г = О. Представляя $' в форме г' = (1/2)й(х~ + у + е~), видим, что в уравнении Шредингера переменные х, у, х разделяются, так что надо решить три одинаковых уравнения Шредингера для одномерного гармонического осциллятора, отличающиеся одно от другого только обозначениями независимых переменных.
Энергия одномерного гармонического осциллятора в стационарном состоянии равна дб, = (п, + 1/2)йы, и аналогично для у и х. Полная энергия трехмерного осциллятора представится в виде й = 11, + 1„+ й, = (п+ 3/2) Йео, где и = и, + и„+ + и„причем все квантовые числа п„пю и, могут принимать только целые положительные значения и нуль (и = 0). Самое существенное для нашей задачи состоит в том, что уровни энергии трехмерного осциллятора вырождены. Кратность вырождения (без спина) равна (1/2)(п + 1)(п + 2).
В час гности, при и = 1 вырождение трехкратное. Одному и тому же значению п соответствуют различные состояния, отличающиеся одно от другого значениями квантовых чисел и, и„, п, (а также проекцией спина, которая может быть равна либо +1/2, либо — 1/2). Возможные состояния (без учета спина) приведены в табл. 11 для п, равных О, 1, 2. Таблицу легко продолжить и для больп|их значений и. Таблица 11 Естественно принять, что каждому значению и соответствует определенная оболочка ядра.
Если учесть спин,то число состояний надо удвоить. Поэтому в модели трехмерного гармонического осциллятора числа нуклонов в последовательных оболочках должны были бы иметь значения 2, 6, 12, 20, 30, 42. Соответствующие магические числа получаются прибавлением каждого из этих чисел к сумме предыдущих. Таким образом, при рассматриваемой форме потенциала магические з 78) Оболочечнал модель одра 505 числа должны были бы иметь значения 2, 8, 20, 40, 70, 112. Первые три числа совпадают с экспериментально установленными.
Но остальные числа отличаются от экспериментально найденных значений магических чисел 50, 82, 126. 9. Указанное расхождение естественно отнести за счет неправильного выбора формы самосогласованного нуклонного потенциала и неучета 1в-связи. При другом выборе этого потенциала разделение переменных в декартовых координатах при решении уравнения Шредингера уже не получится. Но разделение переменных останется в сферической системе координат, независимо от формы самосогласованного нуклонного потенциала, лишь бы только последний был сферическисимметричным.
Возможные стационарныс состояния нуклона в этом случае можно характеризовать совершенно так же, как это делается в случае одноэлектронных атомов, а именно четырьмя квантовыми числами: главным квантовым числом и, орбитальным квантовым числом 1, квантовым числом е полного момента, слагающегося из орбитального н спинового, и квантовым числом пе, которое определяет проекцию полного момента на избранное направление. Возможность такого описания состояния нуклона в ядре обеспечиваегся именно сферически-симметричной формой самосогласованного нуклонного потенциала, в силу которой для каждого нуклона имеет место сохранение орбитального и полного моментов импульса.
Главное квантовое число п может принимать целочисленные значения 1, 2, 3,... Оно на единицу больше числа узлов радиальной волновой функции ядра. В частности, при и = 1 радиальная волновая функция совсем не имеет узлов. Следовательно, в случае ядра главное квантовое число имеет иной смысл, чем в атомной физике. (В случае атома квантовое число, определяющее число узлов радиальной волновой функции, называется радиальным и обозначается через пг, а главное квантовое число определяется выражением и = пе + 1 + 1.) Как и в атомной спектроскопии, состояния с 1 = О, 1, 2,... обозначаются соответственно через о, р, е1, 1 и далее по алфавиту.
Число д при заданном 1 ф 0 может принимать два значения, 1+ 1/2 и 1 — 1/2, в зависимости от ориентации спина нуклона: по орбитальному моменту или против него. При 1 = = 0 возможно только единственное значение д = 1/2. При заданном д квантовое число тд может принимать все значения: — 1, — (~ — 1),... ..., +(1 — 1), +д, т. е. всего 21 + 1 значений. Для обозначения стационарных состояний нуклона применяется символика, аналогичная той, какая употребляется в атомной физике. На первом месте в качестве коэффициента ставится главное квантовое число по затем (для определения 1) идет одна из букв о, р, с~,...
с индексом внизу., который обозначает квантовое число ~. Например, символ 2дь~з означает состояние, у которого и = 2., 1 = 2, д = 5/2. Заметим, что ввиду сферической симметрии самосогласованного нуклонного потенциала энергия нуклона от квантового числа гп не зависит. 10. В невозмущенном состоянии ядра с числом протонов Я и числом нейтронов Ж, согласно принципу Паули, должны быть заполнены все Я ~Гл. Х Краткие сведения о ядерных моделях 506 ж = И~г) + и( )в1, (78.1) где в вектор спина нуклона, 1 его орбитальный момент. Как уже указывалось выше. векторы э и 1 могут быть либо параллельны, либо антипараллельны.
Потенциал г'(г) схематически представлен на рис. 141. Он имеет вид ямы с практически плоским дном, круто поднимается вблизи ее границы, а затем быстро и плавно обращается в нуль; У(г) — центрально-симметричный потенциал, более слабый, чем У(г).
По аналогии с атомом обычно полагают 1 ду' 17( ) = Ь- —., г дг' (78.2) где постоянная Ь называется постоянной спин-орбитального взаимо- действия. На основе нуклонного самосогласованного потенциала вида (78.2) и была разработана оболочечная модель ядра. энергетически самых низких протонных состояний и все % также энергетически самых низких нейтронных состояний. Поскольку энергия не зависит от т, каждый энергетический уровень характеризуется квантовыми числами п, 1 и ~. Энергетические уровни нуклона, как требует опыт, надо сгруппировать в оболочки.
Оболочками называются совокупности близких по энергии уровней, разделенных энергетическими интервалами, значительно превышающими расстояния между энергетическими уровнями внутри самих оболочек. Ядра с полностью застроенными протонной или нейтронной оболочками являюгся магическими. Действительно, на ядрах с полностью застроенными нуклонными оболочками должно происходить резкое увеличение энергии отделения нуклона от ядра. А это как раз то свойство, которое выделяет магические ядра среди остальных.
Несовпадение ядерных магических чисел с порядковыми номерами атомов благородных газов, у которых также застроены электронные оболочки, связано с отличием самосогласованного поля ядра от соответствующе~о поля электронной оболочки атома. Нуклонный самосогласованный потенциал надо подобрать так, чтобы получилась оболочечная структура, соответствующая опытным данным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
