Главная » Просмотр файлов » Цепи Маркова

Цепи Маркова (1121219), страница 47

Файл №1121219 Цепи Маркова (Лекции в различных форматах) 47 страницаЦепи Маркова (1121219) страница 472019-05-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 47)

Такимобразом,P (JnY (2 ∗ 4) > x, XHnY (2∗4) = 2) == P (XHnY (2∗4) = 2) P (JnY (2 ∗ 4) > x | XHnY (2∗4) = 2) = P (XHnY (2∗4) = 2) ×× P (Xt не прыгает в интервале (HnY (2 ∗ 4), HnY (2 ∗ 4) + x) | XHnY (2∗4) = 2) == P (XHnY (2∗4) = 2)e−3x .Аналогичным образом,§ 2.6. Инвариантные распределения счетных цепей Маркова. Цепь скачковИз этих вычислений видно, что этот факт справедлив потому, что цепь (X t)имеет такую же интенсивность скачков из состояния 2 в состояние 1 и 3,как и из состояния 4 в те же состояния 1 и 3 (скачок из 4 в 2 игнорируетсяпри переходе от (Xt) к (Yt)).В отличие от этого (Zt) не является цепью Маркова, поскольку приведенное выше свойство не выполняется для состояния 1 и 4.

Действительно,зададим s, t > 0 и выпустим оба процесса (Zt) и (Xt) из состояния 2. ТогдаP (Zt+s = 3, Zs = 1 ∗ 4 | Z0 = 2)=P (Zs = 1 ∗ 4 | Z0 = 2)P (Xt+s = 3, Xs = 1 | X0 = 2) + P (Xt+s = 3, Xs = 4 | X0 = 2)==P (Xs = 1 | X0 = 2) + P (Xs = 4 | X0 = 2)P (Xs = 1 | X0 = 2) P (Xt = 3 | X0 = 1)P (Xs = 4 | X0 = 2) P (Xt = 3 | X0 = 4)=+=P (Xs = 1 | X0 = 2) + P (Xs = 4 | X0 = 2)P (Xs = 1 | X0 = 2) + P (Xs = 4 | X0 = 2)P (Xt = 3 | X0 = 1)P (Xt = 3 | X0 = 4)=+.1+q1 + q−1P (Zt+s = 3 | Zs = 1 ∗ 4, Z0 = 2) =Здесь q обозначает отношениеq=P (JnY (2 ∗ 4) > x, XHnY (2∗4) = 4) = P (XHnY (2∗4) = 4) ×× [P (Xt не прыгает в интервале (HnY (2 ∗ 4), HnY (2 ∗ 4) + x) | XHnY (2∗4) = 4) ++ P (Xt имеет единственный скачок 4 → 2 в интервале(HnY (2 ∗ 4), HnY (2 ∗ 4) + x) | XHnY (2∗4) = 4)] .Сумма в квадратных скобках равнаe−8x+Zx8e−8s 5 −3(x−s)8e=eгде+ 5e−3xZxeds = e−8x+e−3x(1 − e−5x) =e−3x> x) = e[P (XHnY (2∗4) = 2) + P (XHnY (2∗4) = 4)] = e−3x,поскольку сумма в квадратных скобках равна 1.

Это означает, что (Y t)является цепью Маркова с Q-матрицей вида!QY =P (Xs = 4 | X0 = 3)(esQ)= sQ 34 .P (Xs = 1 | X0 = 3)(e ) 31.Таким образом,−3xP (Zt+s = 3, Zs = 1 ∗ 4 | Z0 = 3)=P (Zs = 1 ∗ 4 | Z0 = 3)P (Xt = 3 | X0 = 1)P (Xt = 3 | X0 = 4)=+,1+r1 + r−1Но отношения q и r не равны тождественно:−5s0P (JnY (2 ∗ 4)P (Zt+s = 3 | Zs = 1 ∗ 4, Z0 = 3) =ds =−8xP (Xs = 4 | X0 = 2)(esQ)= sQ 24 .P (Xs = 1 | X0 = 2)(e ) 21Аналогично, выпуская процессы (Xt) и (Zt) из состояния 3, получаемr=0297−2 2 01 −3 20 2 −212 ∗ 4.3(esQ) 24(esQ)6≡ sQ 34 ,sQ(e ) 21(e ) 31т. е. условная вероятность P (Zt+s = 3 | Zs = 1 ∗ 4, Z0 = i) зависит от i иусловие Z0 = i не может быть отброшено.Проверим, что q 6≡ r, рассматривая случай малого s : s → 0+.

Полезновычислить матрицы6104−202 ,0 −5 −51 −10 66−5 13 −10Q =2 −10 82−22 −122 −28172 25 −49 50 −26 Q =−14 46 −364 32546350−538298Глава 2. Цепи Маркова с непрерывным временем(нам нужны только элементы Q21 , (Q2) 31 , (Q2) 24 и (Q3) 34). Отметим, что(esQ) ij =X skk>0k!(Qk) ij →ij ,s→0+.Более точно, элементы (esQ) 34 , (esQ) 31 , (esQ) 24 и (esQ) 21 допускают следующее разложениеs3 3s3(Q ) 34 + O(s4) = × 4 + O(s4),3!3!s2 2s2sQ3(e ) 31 = (Q ) 31 + O(s ) = × 2 + O(s3),2!2!s2 2s2sQ3(e ) 24 = (Q ) 24 + O(s ) = × 2 + O(s3),2!2!ss(esQ) 21 = (Q) 21 + O(s2) = × 1 + O(s2).1!1!(esQ) 34 =Из этих формул вытекает, чтоq ≈ s,23r ≈ s.б) Уравнения детального баланса для цепи (Yt) имеют вид:21=2∗4 ,2∗4=3.Единственное нормированное решение = (1/5, 2/5, 2/5) задает стационарное распределение для (Yt). Стационарное распределение для (Xt)удовлетворяет условиям: 1 = 1 , 3 = 3 и 2 + 4 = 2∗4 .

Легко видеть,что1 7 2 1 = , , ,.5 20 5 20Заметим, что P (Xt = 1 | X0 = 1) = P 1 (Yt = 1 | Y0 = 1), поскольку состояние 1в обоих цепях (Xt) и (Yt) совпадает. Собственные значения QY -матрицыдля цепи (Yt) находятся из уравнения!det−2 −102−3 −202−2 −=0и равны 0, −2 и −5. С помощью стандартной диагонализации находимэлемент pY11 (t) переходной матрицы PY (t) = exp(tQY ) в видеpY11 (t) = A + Be−2t + Ce−5t , t > 0.§ 2.6. Инвариантные распределения счетных цепей Маркова. Цепь скачков299Константы A, B и C удовлетворяют соотношениям:A + B + C = pY11 (0) = 1,−2B − 5C =d Yp (0) = −2,dt 11т.

е. B = 2/3, C = 2/15. Окончательный ответ:P (Xt = 1 | X0 = 1) = P (Yt = 1 | Y0 = 1) =15A = pY11 (∞) = ,1 2 −2t2+ e + e−5t .5 315300Глава 2. Цепи Маркова с непрерывным временем§ 2.7. Времена и вероятности достижения. Возвратностьи невозвратность. Положительная и нулеваявозвратностьРабочим нечего терять [в этой революции], кроме своих цепей.K. Маркс (1818–1883), немецкий философМы начнем этот параграф со следующего определения.Определение 2.7.1. Пусть (Xt) — ( , Q)-ц.м.н.в.

(возможно, взрывная). Пусть A ⊂ I — это некоторое подмножество состояний. Момент(первого) достижения HA (для ц.м.н.в. (Xt)) определяют следующимобразом:(inf [t > 0 : Xt ∈ A] , если Xt ∈ A для некоторого t > 0,A(2.7.1)H =∞,если Xt ∈/ A ∀ t > 0.Для того чтобы подчеркнуть связь с (Xt) или (Yn), будем использоватьобозначения HXA и HYA .Повторим определение времен скачков.Определение 2.7.2. Времена последовательных скачков процесса (X t)определяются какJ0 = 0,J1 = inf [t > 0 : Xt 6= X0 ] ,J2 = inf [t > J1 : Xt 6= XJ1 +0 ] , . . . (2.7.2)Чтобы подчеркнуть, какой процесс их порождает, мы часто будем писатьJ1X , J2X , .

. .Если процесс (Xt) невзрывной, то, очевидно,HXA < ∞, если и только если HYA < ∞;Xдействительно, HXA = JHA . (2.7.3)YВероятности достижения определяются так же, как и в случаедискретного времени:hAi = P i (HXA < ∞) = P (HXA < ∞ | X0 = i) = P (HYA < ∞ | Y0 = i).(2.7.4)Как и в предыдущих параграфах, P i обозначает распределение вероятностей ц.м.н.в. с начальным распределением i , т. е. цепи, выходящей изсостояния i. Аналогично E i означает математическое ожидание относительно вероятностной меры P i .Рассмотрим вектор-столбец hA = (hAi), компоненты которого — это вероятности достижения при различных начальных состояниях.§ 2.7.

Времена и вероятности достижения. Возвратность и невозвратность301Теорема 2.7.3. Пусть (Xt) — это ( , Q)-ц.м.н.в. (возможно, взрывная). Предположим, что qi > 0 для любых состояний i. Вектор hAзадает минимальное неотрицательное решение следующей системыуравнений:hAi = 1,i ∈ A,P(2.7.5)AT Aqh=(Qh)=0,i∈/ A.ij jij∈IД о к а з а т е л ь с т в о. Случай i ∈ A очевиден: hAi = P i (попасть в A) =bскачков (Yn) условно, по= 1. Поэтому пусть i 6∈ A.

Тогда для ( i , P)-цепипервому скачку, можно записатьX qijXhAi =hAj , т. е. − qii hAi =qij hAj , или (QhA) i = 0.j : j6=iqij6=iТаким образом, h всегда является неотрицательным решением. Минимальность доказывается точно так же, как и в случае дискретного времени.Замечание 2.7.4. Заметим, что hi ≡ 1, т. е. вектор h = 1 всегда являетсянеотрицательным решением, посколькуXqij = 0 ∀ i,(Q1) i =Aj(сумма элементов i-й строки матрицы Q). Но это решение не всегда минимально.Определение 2.7.5. Далее определим средние времена достижения:kAi = E i HXA = E (HXA | X0 = i).(2.7.6)могут быть бесконечными.Заметим, чтоТеорема 2.7.6.

Пусть (Xt) — это ( , Q)-ц.м.н.в. (возможно, взрывная). Предположим, что qi > 0 для всех состояний i. Вектор-столбецkA представляет собой минимальное неотрицательное решение(возможно, с некоторыми бесконечными элементами kAi = +∞) системыi ∈ A,kAi = 0,1 P qij A1(2.7.7)AAbk = + (Pk ) i , i 6∈ A. ki = q +q jqkAiij6=iiiЕсли kAi < +∞ ∀ i, то kA = (kAi) является решением системыkAi = 0,i ∈ A,PAA qij kj = (Qk ) i = −1, i 6∈ A.j(2.7.8)302Глава 2.

Цепи Маркова с непрерывным временемД о к а з а т е л ь с т в о. Равенство kAi = 0 для i ∈ A тривиально. ЕслиX0 = i ∈/ A, то HXA > J1X , где J1X — время первого скачка цепи (Xt), и условно,по первому скачку, можно записатьkAi = E [E i (HXA | состояние цепи после момента J1X)] == E [E i (J1X + (HXA − J1X) | состояние цепи после момента J1X)] =1 X qij1 X qij A= +E j HXA = +kjqij6=iqiqij6=iqiв силу строго марковского свойства. Отсюда следует соотношение (2.7.7).Если известно, что все компоненты kAi конечны, то можно переноситьслагаемые из левой части в правую и наоборот.

Умножение на q i приводитк соотношению (2.7.8).Докажем минимальность. Пусть g = (gi) — произвольное решение. Тогда gi = kAi = 0 для i ∈ A. Если i ∈/ A, положим J0 = 0, и пусть J1 , J2 , . . . —это моменты последовательных скачков. (Индекс X, указывающий на связьс (Xt), будем опускать.) Разделив на qi , перегруппируем слагаемые и получим, путем итераций уравнения, что gi равноXX X−1−1bij gj = E i (J1 − J0) +bbppij qj +pjk gk =qi +j∈/Aj∈/A= E i [(J1 − J0)1(HYAk∈/A> 1)] + E i [(J2 − J1)1(HYA > 2)] +Xj,k∈/Abij pbjk gk =p= . .

. = E i [(J1 − J0)1(HYA > 1)] + E i [(J2 − J1)1(HYA > 2) +YXbij1b j l j l+ 1 g j n .pp+ . . . + E i [(Jn − Jn−1)1(HYA > n)] +j1 ,...,jn ∈/A16l<nЕсли g > 0, то последняя сумма неотрицательна для любого n. Тогда дляHYA ∧ n = min [n, HYA ] находимgi >nXk=1E i [(Jk − Jk−1)1(HYA > k)] = E i" HA ∧nYXk=1#(Jk − Jk−1 == E i JHA ∧n % E i JHA = E i HXA = kAi , при n → ∞.YYЗамечание 2.7.7. Существуют примеры, в которых средние времена(0,i ∈ A,A(2.7.9)ki =+∞, i ∈/ A;§ 2.7.

Времена и вероятности достижения. Возвратность и невозвратность303см. пример 1.3.5. Ясно, что kAi из уравнений (2.7.9) задают неотрицательноерешение уравнения (2.7.7). Обратно, если любое неотрицательное решение(2.7.7) имеет вид (2.7.9), то E i HXA ≡ +∞, i ∈/ A.Определение 2.7.8. Пусть (Xt) — ( , Q)-ц.м.н.в.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
4,15 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6485
Авторов
на СтудИзбе
303
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее