В.А. Алекшевич - Оптика (1120564), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Íàëè÷èå ïðîèçâîäíûõ ïî íîðìàëè îòðàæàåò çàâèñèìîñòüîò óãëà íàêëîíà àìïëèòóäû âòîðè÷íîé âîëíû, èñïóñêàåìîé ýëåìåíòîì ds ïîâåðõíîñòè S.Äèôðàêöèîííàÿ ôîðìóëà Ôðåíåëÿ Êèðõãîôà. Ïðèìåíèì (12.7) äëÿ ðåøåíèÿäèôðàêöèîííîé çàäà÷è. Ïóñòü ñôåðè÷åñêàÿ âîëíà îò èñòî÷íèêà â òî÷êå P0 ïàäàåòíà ïëîñêèé ýêðàí Ý ñ îòâåðñòèåì ïëîùàäüþ S. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ âîçìóùåíèÿçà ýêðàíîì â òî÷êå P îêðóæèì ïîñëåäíþþ çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòüþ, ñîñòîÿùåéèç ïëîñêîãî (ïëîùàäü S + S¢) è ñôåðè÷åñêîãî (ïëîùàäü S²) ó÷àñòêîâ (ðèñ. 12.2).Åñëè ðàäèóñ R ñôåðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè óñòðåìèòü ê áåñêîíå÷íîñòè, òîèíòåãðàë ïî ýòîé ïîâåðõíîñòè äîëæåí äàâàòü ìàëûé âêëàä.
Âû÷èñëèì ýòîò âêëàä.Íà ïîâåðõíîñòè S² âåëè÷èíà r = R, ïîýòîìó1 ö e -ikRe -ikR¶ æ e -ik r ö¶ æ e -ik r öæ,== ç ik + ÷» ikç÷ç÷èøRRR¶n è r ø r= R¶r è r ø r= R(12.8)ïîñêîëüêó k = 2p/l ? R. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ds = R 2dW (dW ýëåìåíò òåëåñíîãî¶U¶Uóãëà) è, è ïîäñòàâëÿÿ (12.8) â (12.7), ïîëó÷èì=¶n¶Ré ¶ æ e -ik r ö æ e -ik r ö ¶U ù11æ ¶Uö e -ikR 2UdikUR d W . (12.9)s=+çêúè ¶Rø÷ R4p åòò¢¢ ë ¶n èç r ø÷ èç r ø÷ ¶n û4p òò4p×òîáû ïðè R ® ∞ èíòåãðàë ñòðåìèëñÿ ê íóëþ, íåîáõîäèìî âûïîëèòü óñëîâèåæ ¶Uölim R ç+ ikU ÷ = 0,è ¶RøR ®¥(12.10)íàçûâàåìîå óñëîâèåì èçëó÷åíèÿ Çîììåðôåëüäà.
Åìó óäîâëåòâîðÿåò ñôåðè÷åñêàÿe -ikR, èäóùàÿ â òî÷êó P ñ ëþáîãî ýëåìåíòà çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòè,âîëíà U =Râ òîì ÷èñëå è îò îòâåðñòèÿ ïëîùàäüþ S.¶UÄëÿ îïðåäåëåíèÿ çíà÷åíèé U èíà ïëîñêîé ïîâåðõíîñòè Êèðõãîôîì¶náûëè ñôîðìóëèðîâàíû ïðèáëèæåííûå ãðàíè÷íûåóñëîâèÿ:¶U íà íåïðîçðà÷íîé ÷àñòè ýêðàíà U = 0 è= 0;¶n¶UU èâíóòðè äèôðàêöèîííîãî îòâåðñòèÿ¶nòàêèå æå, êàê è â îòñóòñòâèå ýêðàíà. Ïîñëåäíååóòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî, åñëè ðàçìåð îòâåðñòèÿ çàìåòíî ïðåâîñõîäèò äëèíó âîëíû.×òîáû èçáåæàòü îäíîâðåìåííîãî çàäàíèÿ íà¶U, À.
Çîììåðôåëüäîòâåðñòèè âåëè÷èí U èÐèñ. 12.2¶n131ïðåäëîæèë âûáðàòü èíóþ ôóíêöèþ Ãðèíà, ÷åì (12.6). Åå ìîæíî âûáðàòü òàêîé, ÷òîáû íà îòâåðñòèè G1å= 0. Òîãäà â (12.4) èñ÷åçàåò ñëàãàåìîå, ñîäåðæà-¶U¶G 2. Åñëè æå G = G2, äëÿ êîòîðîé= 0, òî â (12.4) îñòàíåòñÿ ñëàãà¶n¶n S¶Uåìîå, ñîäåðæàùåå. Ôóíêöèÿ G1 áóäåò èñïîëüçîâàíà â äàëüíåéøåì ïðè àíàëè¶nçå äèôðàêöèè ñâåòîâûõ èìïóëüñîâ.Âîçìóùåíèå íà ýêðàíå îò òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà, ðàñïîëîæåííîãî â òî÷êåCe -ik r1P0, ðàâíî U =.
Âû÷èñëèì â (12.4) ïðîèçâîäíûå ïî íîðìàëè:r1ùåå¶G¶ æ e -ik r ö¶ æ e -ik r ö1 ö e -ik ræik==j=+coscos j;çè¶n ¶n çè r ÷ø¶r çè r ÷ør ÷ø r¶U¶ æ e -ik r1 ö¶C==¶n ¶n çèr1 ÷ø ¶r1æ e -ik r1 ö1 ö e -ik ræçèC r ÷ø cos j1 = -C çè ik + r ÷ø r cos j 1,111(12.11)ãäå j, j1 óãëû ìåæäó âåêòîðàìè H è n è H1 è n ñîîòâåòñòâåííî.Êàê è â (12.8), k ? 1/r, 1/r1, ïîýòîìó âåëè÷èíàìè 1/r è 1/r1 â ïðàâûõ÷àñòÿõ (12.11) ìîæíî ïðåíåáðå÷ü.  ðåçóëüòàòå (12.7) ïðèîáðåòàåò âèäU (P ) =òòåCe -ik (r1 +r) i[cos j1 + cos j] d s.r1r2l(12.12)Ýòî âûðàæåíèå íàçûâàåòñÿ äèôðàêöèîííîé ôîðìóëîé Ôðåíåëÿ Êèðõãîôà.
Îíàñîâïàäàåò ñ äèôðàêöèîííûì èíòåãðàëîì Ôðåíåëÿ (11.3), åñëè â íåì êîýôôèöèåíò íàêëîíà ïîëîæèòü ðàâíûìi[1 + cos j],(12.13)2lïîñêîëüêó äëÿ ñôåðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè óãîë j1 = 0.Ç à ì å ÷ à í è å 1. Ôîðìóëà (12.12) ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî òî÷åê P0 è P :åñëè èñòî÷íèê è ïðèåìíèê ïîìåíÿòü ìåñòàìè, òî âåëè÷èíà U îñòàíåòñÿ ïðåæíåé.Ç à ì å ÷ à í è å 2.
Åñëè ñäåëàòü ýêðàí ïîëíîñòüþ ïðîçðà÷íûì, òîK (j) =U 0 (P ) =òå+ò= U (P ) + U 1 (P ),(12.14)å¢ãäå U0(P ) âîçìóùåíèå â îòñóòñòâèå ýêðàíà; U1(P ) âîçìóùåíèå â ïðèñóòñòâèè íåïðîçðà÷íîãî ïðåïÿòñòâèÿ, çàìåíÿþùåãî îòâåðñòèå. Òàêîå ïðåïÿòñòâèåÿâëÿåòñÿ äîïîëíèòåëüíûì ýêðàíîì ïî îòíîøåíèþ ê ýêðàíó ñ îòâåðñòèåì,ôîðìèðóþùåìó âîçìóùåíèå U(P ).
Ôîðìóëà (12.14) ìàòåìàòè÷åñêîå âûðàæåíèå ïðèíöèïà Áàáèíå, êîòîðûé áóäåò èñïîëüçîâàí â äàëüíåéøåì.Ïðèáëèæåíèÿ Ôðåíåëÿ è Ôðàóíãîôåðà. Ïðè ðåøåíèè çàäà÷è äèôðàêöèèíà îñíîâå äèôðàêöèîííîé ôîðìóëû Ôðåíåëÿ Êèðõãîôà ìîæíî âûäåëèòü äâàïðåäåëüíûõ ñëó÷àÿ. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì äèôðàêöèþ âîëíû òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà íà ýêðàíå ñ êðóãëûì îòâåðñòèåì ðàäèóñà r0. Òî÷êè P0 è P ëåæàò íà îñèîòâåðñòèÿ íà ðàññòîÿíèÿõ a > r0 è b > r0 (ðèñ. 12.3). Ïðè èíòåãðèðîâàíèè r1 è râ (12.12) èçìåíÿþòñÿ â ñëåäóþùèõ ïðåäåëàõ:132a £ r1 £ r10 = a +b £ r £ r0 = b +r02;2ar02,2br(12.15)r10Mr0r1rr2r2ãäå 0 è 0 ìàëûå çàçîðû ìåæäó ñôåðàìè P0Pab2a2bðàäèóñàìè a è b è ïëîñêîñòüþ ýêðàíà (ñì.(9.16)), êîãäà òî÷êà èíòåãðèðîâàíèÿ M íàõîäèòñÿ íà êðàþ îòâåðñòèÿ (ñì.
ðèñ. 12.3).Çíàìåíàòåëü ïîäûíòåãðàëüíîãî âûðàæåíèÿâ (12.12) èçìåíÿåòñÿ íåçíà÷èòåëüíî, ïîýòîìóÐèñ. 12.3â íåì ìîæíî ïîëîæèòü r1 = a, r = b. Îäíàêî â÷èñëèòåëå (èç-çà áîëüøîãî çíà÷åíèÿ k) ýêñïîíåíöèàëüíûå ôóíêöèèe - ik r1 è e - ik r ìîãóò èçìåíÿòüñÿ âåñüìà çíà÷èòåëüíî. Åñëèr02r02? l;? l,(12.16)2a2bòî ïðè èíòåãðèðîâàíèè ýêñïîíåíöèàëüíûå ôóíêöèè áóäóò ìíîãîêðàòíî îñöèëëèðîâàòü. Óñëîâèÿ (12.16) ðåàëèçóþòñÿ, åñëèr02r2= L0 ; b = 0 = L0 ,(12.17)llãäå L0 äèôðàêöèîííàÿ äëèíà, ââåäåííàÿ ðàíåå ïðè ðàññìîòðåíèè äèôðàêöèè ïëîñêîé âîëíû íà êðóãëîì îòâåðñòèè.Ñîãëàñíî (11.15), íà îòâåðñòèè â ýòîì ñëó÷àå ïîìåùàåòñÿ áîëüøîå ÷èñëîçîí Ôðåíåëÿ.
Òàêîå ïðèáëèæåíèå íàçûâàåòñÿ ïðèáëèæåíèåì Ôðåíåëÿ, èëè äèôðàêöèåé Ôðåíåëÿ. Òàêèì îáðàçîì, ýòî ïðèáëèæåíèå ðåàëèçóåòñÿ, åñëè P0 è Píàõîäÿòñÿ â áëèæíåé çîíå.Ïðè óâåëè÷åíèè ðàññòîÿíèé a è b çàçîðû óìåíüøàþòñÿ. Ïðèa=a ? L 0;b ? L0(12.18)ñôåðû äîñòàòî÷íî õîðîøî ìîãóò àïïðîêñèìèðîâàòüñÿ ïëîñêîñòÿìè, ïîñêîëüêó çàçîðû ñòàíîâÿòñÿ ìíîãî ìåíüøå äëèíû âîëíû. Ðàäèóñ ïåðâîé çîíû çíà÷èòåëüíî ïðåâûøàåò ðàäèóñ îòâåðñòèÿ.Ýòî ïðèáëèæåíèå íàçûâàåòñÿ ïðèáëèæåíèåì Ôðàóíãîôåðà, èëè äèôðàêöèåéÔðàóíãîôåðà. Èíîãäà îíî íàçûâàåòñÿ äèôðàêöèåé â ïàðàëëåëüíûõ ëó÷àõ, ÷òî îòðàæàåò îäèíàêîâóþ óäàëåííîñòü ýëåìåíòîâ ds îòâåðñòèÿ îò òî÷åê P0 è P, ðàñïîëîæåííûõ íà åãî îñè. Òàêèì îáðàçîì, ýòî ïðèáëèæåíèå èñïîëüçóåòñÿ, åñëè P0 è Píàõîäÿòñÿ â äàëüíåé çîíå.
Îòìåòèì, ÷òî âî ìíîãèõ îïòè÷åñêèõ ïðèáîðàõ è óñòðîéñòâàõ ðåàëèçóåòñÿ ñèòóàöèÿ, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïðèáëèæåíèþ Ôðàóíãîôåðà.Äèôðàêöèÿ íà êðóãëîì îòâåðñòèè. Èñïîëüçóÿ äèôðàêöèîííóþ ôîðìóëó Ôðåíåëÿ Êèðõãîôà, ðàññ÷èòàåì èíòåíñèâíîñòü â äèôðàêöèîííîé êàðòèíå ïðèïàäåíèè ñôåðè÷åñêîé è ïëîñêîé âîëí íà ýêðàí ñ êðóãëûì îòâåðñòèåì.Ñôåðè÷åñêàÿ âîëíà. Ïðåäïîëîæèì âíà÷àëå, ÷òî òî÷êè P0 è P íàõîäÿòñÿ íà îñèîòâåðñòèÿ, êàê ýòî èçîáðàæåíî íà ðèñ. 12.3, ïðè ýòîì a è b ìîãóò èìåòü ïðîèçâîëüíûå çíà÷åíèÿ. Äëÿ óäîáñòâà èíòåãðèðîâàíèÿ (12.12) ââåäåì íîâóþ ïåðåìåííóþy = k [(r1 + r) - (a + b)] ,(12.19)133ïðåäñòàâëÿþùóþ ñîáîé ðàçíîñòü ôàç ìåæäó ëó÷àìè, ïðîõîäÿùèìè ÷åðåç öåíòðîòâåðñòèÿ O è òî÷êó èíòåãðèðîâàíèÿ M.
Òîãäàæ 1 1öd y = k (d r1 + d r) = k ç + ÷ rdr ,è r1 r ø(12.20)ïîñêîëüêó r1dr1 = rdr = rdr. Ïðè èíòåãðèðîâàíèè ïî ðàäèàëüíîé êîîðäèíàòå rýëåìåíò ïëîùàäè ds = 2prdr, ïîýòîìóU (P ) = iCe -ik (a +b )a +by0ò0a + b é cos j1 + cos j ù -i ye d y,2r1 + r ëêûú(12.21)ãäåy 0 = k [(r10 + r0 ) - (a + b)](12.22) ìàêñèìàëüíàÿ ðàçíîñòü ôàç, êîãäà òî÷êà M íàõîäèòñÿ íà êðàþ îòâåðñòèÿ.Ìíîæèòåëü ïîä çíàêîì èíòåãðàëàF (y ) =a + b cos j1 + cos jr1 + r2(12.23)ÿâëÿåòñÿ ìåäëåííî ìåíÿþùåéñÿ, ïî ñðàâíåíèþ ñ e-iy, íåÿâíîé ôóíêöèåé y.Åå êà÷åñòâåííûé âèä ïîêàçàí íà ðèñ.
12.4.Ïðè y = 0 F = 1, à ïðè y ® ∞ F ® Fmin < 1.Èíòåãðàë â (12.21) âû÷èñëèì ïî ÷àñòÿì:iy0òF (y )e -i yd y = -F (y )e -i y0y00+y0ò0dF (y ) -i ye d y.dy ñèëó ìàëîñòè dF/dy âòîðûì ñëàãàåìûì ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Òîãäàce -ik (a +b ) éë1 - F (y 0 )e -i y 0 ùû .a +bÏåðåõîäÿ ê èíòåíñèâíîñòè, ïîëó÷àåìI (P ) =U (P ) =(12.24)y ù122éU (P ) = I 0 ê(1 - F (y 0 )) + 4F (y 0 ) sin 2 0 ú ,ë22 û(12.25)C2 èíòåíñèâíîñòü â îòñóòñòâèå ýêðàíà.2(a + b ) 2Ïðîàíàëèçèðóåì ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò. Ïóñòü ïîëîæåíèå èñòî÷íèêà ôèêñèðîâàíî, à èçìåíÿåòñÿ ëèøü ðàññòîÿíèå b. Åñëè b < r0, òî y0 ? 1. Òîãäà F » 0 èI » I0. Ýêðàí ñ îòâåðñòèåì íå îêàçûâàåò íèêàêîãî âëèÿíèÿ íà îòâåðñòèè íàõîäèòñÿ áîëüøîå ÷èñëî îòêðûòûõ çîí Ôðåíåëÿ (m ? 1).
Åñëè r0 < b < L0 = r02/l, òîãäå I 0 =y0 =Ðèñ. 12.41342p æ r02 r02 öæ 1 1ö+ ÷ = pL0 ç + ÷ . (12.26)çèa bøl è 2a 2b øÍà òåõ ðàññòîÿíèÿõ b, ãäå y0 = pm (m = 2,pm4, 6, ¾), sin 2= 0. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî F » 1,2ïîëó÷àåì I = 0. Íà äðóãèõ ðàññòîÿíèÿõ b, ãäåpmy0 = pm (m = 1, 3, 5, ¾), sin 2= 1, I »2» 4F (y0)I0 = 4I0.  ïåðâîì ñëó÷àå íà îòâåðñòèè ïîìåùàåòñÿ ÷åòíîå ÷èñëî çîíÔðåíåëÿ, à âî âòîðîì íå÷åòíîå.Åñëè b > L0, òî, ñîãëàñíî (12.26), y0 = ya + e, ãäå ya = pL0 /a, e = pL0 /b < 1.y +e e» sin y a .
Ñëåäîâàòåëüíî,Òîãäà sin 2 a22pL2éù(12.27)I (P ) = I 0 ê (1 - F (y a )) + 4F (y a ) 0 sin 2 y a ú .ëû2bÏðè óäàëåíèè îò ýêðàíà èíòåíñèâíîñòü ìîíîòîííî óìåíüøàåòñÿ: I ® 0.Ïëîñêàÿ âîëíà.  ñëó÷àå ïëîñêîé âîëíû â ïîëó÷åííûõ âûðàæåíèÿõ ìîæíîñäåëàòü ïðåäåëüíûé ïåðåõîä ïðè a ® ∞. Òîãäà I0 = c 2/2a2 è íå çàâèñèò îò b,y0 = pL0/b. Ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè íà îñè îòâåðñòèÿ ïîëó÷àåòñÿ èç (12.24)ðàâíûì2éææ pL0 ö öæ pL öæ pL ö ù+ 4F ç 0 ÷ sin 2 ç 0 ÷ ú .I (P ) = I 0 ê ç 1 - F ç÷÷è b øøè b øè b øûëè(12.28)Ãðàôèê ýòîé ôóíêöèè óæå áûë ïîñòðîåí íà îñíîâå çîííîé òåîðèè Ôðåíåëÿ(ñì. ðèñ. 11.14).  äàëüíåì ïîëå ïðè b ® ∞ F ® 1, à I(P ) ~ 1/b 2 ® 0. Äëÿ ïàäàþùåéïëîñêîé âîëíû ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïîïåðå÷íûé ðàçìåð äèôðàêöèîííîé êàðòèíûâîçðàñòàåò ïðîïîðöèîíàëüíî ðàññòîÿíèþ b.Äëÿ òî÷êè P, íå ëåæàùåé íà îñè îòâåðñòèÿ, èíòåãðàë ìîæåò áûòü âû÷èñëåííà ÝÂÌ.
Íà ðèñ. 12.5 ïîêàçàíû ðàñïðåäåëåíèÿ èíòåíñèâíîñòè â ïëîñêîñòè,ïåðïåíäèêóëÿðíîé îñè îòâåðñòèÿ ïðè ðàçëè÷íûõ ðàññòîÿíèÿõ b. Çäåñü m = L0/b.Ôàêòè÷åñêè ðå÷ü èäåò î äèôðàêöèîííîì ðàñïðîñòðàíåíèè êðóãëîãî ïó÷êàñ ïðÿìîóãîëüíûì ïðîôèëåì èíòåíñèâíîñòè. ïðîæåêòîðíîé çîíå (m ? 1) ïðîôèëü èíòåíñèâíîñòè ïó÷êà îñòàåòñÿ ïðÿìîóãîëüíûì, à ôàçîâûé ôðîíò (íà ðèñóíêå íå ïîêàçàí) ïëîñêèì.  áëèæíåéI/I0I/I024m = 10m®?1201I/I01 r/r0I/I04m=42011r/r00I/I0I/I044m=32m=512r/r0m=22m=1012r/r0012 r/r0012r/r0Ðèñ. 12.5135çîíå (m > 1) ïðîôèëü íà÷èíàåò «èçðåçàòüñÿ», ïðè ÷åòíîì m íà îñè ïó÷êà I » 0.Ïîÿâëÿþòñÿ äèôðàêöèîííûå êîëüöà, êîòîðûå ïëîòíî «óïàêîâàíû» ïðàêòè÷åñêè â ïðåäåëàõ êðóãà ðàäèóñà r0.
Ïðè m £ 1 ïðîôèëü ïó÷êà íà÷èíàåò çàìåòíîðàñïîëçàòüñÿ. Âìåñòå ñ íèì ðàñïîëçàþòñÿ è äèôðàêöèîííûå êîëüöà. Èíòåíñèâíîñòü íà îñè ïó÷êà ïî ìåðå åãî ðàñïðîñòðàíåíèÿ óìåíüøàåòñÿ.  äàëüíåé çîíå(m = 1) ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè íåñëîæíî ðàññ÷èòàòü è àíàëèòè÷åñêè.Ýòî è áóäåò ñäåëàíî äàëåå.Äèôðàêöèÿ íà êðóãëîì äèñêå. Åñëè âîëíà ïàäàåò íà êðóãëûé äèñê ðàäèóñàr0, òî ìîæíî, íå ïðîâîäÿ èíòåãðèðîâàíèÿ â ïðåäåëàõ y0 £ y < ∞, âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðèíöèïîì Áàáèíå. Òîãäà èç (12.24) ïîëó÷àåìCCe -ik (a +b ) - U (P ) =e -ik (a +b )F (y 0 )e -i y 0 .a +ba +bÈíòåíñèâíîñòü íà îñè äèñêàU 1 (P ) =I 1 (P ) = I 0 F 2 (y 0 ).(12.29)(12.30)Ïî ìåðå óäàëåíèÿ îò äèñêà èíòåíñèâíîñòü I1 ìîíîòîííî óâåëè÷èâàåòñÿ (ñì.ðèñ. 11.15).  ñëó÷àå ïëîñêîé âîëíû y0 = pL0/b. Ïðè b = L0 ôóíêöèÿ F (p) » 1è I » I0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
