В.А. Алекшевич - Оптика (1120564), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Ïî; ky =l zl zýòîìóI (Ð ) = I (k x , k y ) =I (Ð ) = I ( x, y, z ) =æ x2 + y2 öI0exp ç - 2 2 2 ÷ ,2è r0 z z 0 øz z02(12.56)ãäå z0 = pr02/l äèôðàêöèîííàÿ äëèíà ãàóññîâà ïó÷êà. Åñòåñòâåííî, ÷òî (12.56)ñïðàâåäëèâî ïðè z ? z0.Òàêèì îáðàçîì, â äàëüíåì ïîëå ãàóññîâ ïó÷îê îñòàåòñÿ ãàóññîâûì. Åãî øèðèíà r0z = r0z /z0 (ñì. ðèñ.) âîçðàñòàåò ïðîïîðöèîíàëüíî ïðîéäåííîìó âîëíîé141ðàññòîÿíèþ, à èíòåíñèâíîñòü íà îñè óáûâàåò îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíî êâàäðàòóýòîãî ðàññòîÿíèÿ.Êâàçèîïòè÷åñêîå ïðèáëèæåíèå. Äëÿ îïèñàíèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ íàïðàâëåííûõ ïó÷êîâ ñâåòà ïðèìåíÿåòñÿ êâàçèîïòè÷åñêîå ïðèáëèæåíèå. Âñëåäñòâèå ìàëîé äèôðàêöèîííîé ðàñõîäèìîñòè òàêèå ïó÷êè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé êâàçèïëîñêèå (ïî÷òè ïëîñêèå) íåîäíîðîäíûå âîëíû.Ïóñòü âäîëü îñè Oz ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêèé ïó÷îê ñâåòà:U ( x, y, z , t ) = A( x , y, z , t ) exp [i (wt - kz )] .(12.57)Àìïëèòóäà âîëíû â ïëîñêîñòè Oxy èçìåíÿåòñÿ íà ìàñøòàáå øèðèíû ïó÷êàr0, à âäîëü îñè Oz íà ìàñøòàáå äèôðàêöèîííîé äëèíû L0 ~ r02/l ? r0.
Ýòîïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü èç âîëíîâîãî óðàâíåíèÿæ ¶ 2U ¶ 2U ¶ 2U ö¶ 2U= c2 ç 2 ++2¶t¶y 2¶z 2 ÷øè ¶x(12.58)áîëåå ïðîñòîå ïðèáëèæåííîå óðàâíåíèå äëÿ êîìïëåêñíîé àìïëèòóäû A.Äëÿ ýòîãî âû÷èñëèì ïðîèçâîäíûå:¶ 2U¶ 2U¶2 A¶ 2U¶2A= (i w)U ;==exp [i (wt - kz )] ;exp [i (wt - kz )] ;2222¶t¶x¶x¶y¶y 2æ ¶2 Aö¶ 2U¶A=- k 2 A ÷ exp [i (wt - kz )] .ç 2 - 2ik2èø¶z¶z¶z(12.59)Îöåíèì çíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíûõ:¶2A¶2AA:: 2;2¶x¶y 2r0¶AA¶2AA:: 2.;¶zL0¶z 2L0¶2 A. Ïîñëå ïîäñòàíîâêè (12.59)¶z 2â (12.58) è ñîêðàùåíèÿ íà ýêñïîíåíöèàëüíûé ìíîæèòåëü ïîëó÷àåì èñêîìîåóðàâíåíèåÏîýòîìó â (12.59) ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ÷ëåíîì¶A1 æ ¶2 A ¶2 A ö=+.¶z¶ y 2 ÷ø2ik èç ¶ x 2(12.60)Ýòî óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ ïàðàáîëè÷åñêèì óðàâíåíèåì äëÿ êîìïëåêñíîé àìïëèòóäû.Ïðîöåññ äèôðàêöèè, îïèñûâàåìûé ýòèì óðàâíåíèåì, èìååò íàãëÿäíóþàíàëîãèþ ñ ðàñïðîñòðàíåíèåì òåïëà íà ïëîñêîñòè Oxy ñ òå÷åíèåì âðåìåíè t.Óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè â ýòîì ñëó÷àå èìååò âèäæ ¶ 2T ¶ 2T ö¶T= cç 2 + 2 ÷,è ¶x¶t¶y ø(12.61)ãäå T òåìïåðàòóðà; c êîýôôèöèåíò òåìïåðàòóðîïðîâîäíîñòè (äèôôóçèèòåìïåðàòóðû).
Åñëè â ìîìåíò t = 0 âáëèçè íà÷àëà êîîðäèíàò îñóùåñòâèòü ëîêàëüíûé íàãðåâ, ñîçäàâ ïðîôèëü òåìïåðàòóðû T (x, y, 0), òî ñ òå÷åíèåì âðåìåíè ýòîò ïðîôèëü T (x, y, t ) áóäåò ðàñïëûâàòüñÿ.142Àíàëîãè÷íî, íà÷àëüíîå ðàñïðåäåëåíèå A(x, y, 0) ïðè z = 0 ïî ìåðå ðàñïðîñòðàíåíèÿ áóäåò ðàñïëûâàòüñÿ âñëåäñòâèå äèôðàêöèè.
Àíàëîãîì c çäåñü ÿâëÿåòñÿ ìíèìûé êîýôôèöèåíò 1/(2ik) äèôôóçèè àìïëèòóäû. Ðàññìîòðèì äâà âàæíûõ ïðèìåðà.Äèôðàêöèÿ ãàóññîâà ïó÷êà. Äëÿ ãàóññîâà êîëëèìèðîâàííîãî ïó÷êà ñ íà÷àëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì àìïëèòóäûæ r2öA(r , 0) = A0 exp ç - 2 ÷è r0 ø(12.62)ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (12.60) èìååò âèäA(r , z ) =Çäåñü r =æ r2öA01= À exp(-i Ô).exp ç - 2è r0 1 - iz z 0 ø÷1 - iz z 0(12.63)x 2 + y 2 , z0 = pr02/l. Ïðîôèëü èíòåíñèâíîñòèI (r , z ) =æöI0r21 2À =exp,ç22222 ÷è r0 (1 + z z 0 ) ø21 + z z0(12.64)à ôàçàÔ=r 2 z z0- arctg(z z 0 ).r02 1 + z 2 z 02(12.65)Èç (12.64) ñëåäóåò, ÷òî ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè ïó÷îê ñîõðàíÿåò ñâîé ãàóññîâïðîôèëü ïðè ëþáîì z.
Èç-çà äèôðàêöèè åãî øèðèíà r0z óâåëè÷èâàåòñÿ:r0 z = r0 1 + z 2 z 02 ,(12.66)à èíòåíñèâíîñòü ïàäàåò.  äàëüíåì ïîëå (z ? z0) (12.64) ñîâïàäàåò ñ (12.56).Äèôðàêöèîííàÿ ðàñõîäèìîñòü èç (12.66) ïîëó÷àåòñÿ ðàâíîétg J 0 » J 0dr0 zdzz ? L0=l.pr0(12.67)Ñîãëàñíî (12.49) ïðè ôîêóñèðîâêå ïó÷êà ëèíçîé â åå ôîêàëüíîé ïëîñêîñòèøèðèíà ãàóññîâà ïó÷êà ðàâíàrF = J 0 f =lf.pr0(12.68)Ýòà âåëè÷èíà ñ òî÷íîñòüþ äî êîýôôèöèåíòà ñîâïàäàåò ñ ïðèáëèæåííîéîöåíêîé (12.52) è îáíàðóæèâàåò ïîëíîå ñîâïàäåíèå ñ (11.23). Èíîãäà íàèáîëååóçêóþ ÷àñòü ïó÷êà â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ëèíçû íàçûâàþò ïåðåòÿæêîé, à âåëè÷èíó rF ðàäèóñîì ïåðåòÿæêè.Ôàçîâûé ôðîíò, êàê ñëåäóåò èç (12.65), èç ïëîñêîãî ïîñòåïåííî ïðåâðàùàåòñÿ â ïàðàáîëè÷åñêèé, õîòÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðèåé äèôðàêöèè îí äîëæåíáûòü ñôåðè÷åñêèì.
 ïðèîñåâîé îáëàñòè ïó÷êà, ãäå ñêîíöåíòðèðîâàíà åãî îñíîâíàÿ ìîùíîñòü, ïàðàáîëè÷åñêèé è ñôåðè÷åñêèé ôàçîâûå ôðîíòû ñîâïàäàþò, ÷òî ñâèäåòåëüñòâóåò î ñïðàâåäëèâîñòè êâàçèîïòè÷åñêîãî îïèñàíèÿ.  äàëüíåì ïîëåÔ=r 2 z0 1 r 2=k.r02 z2 z(12.69)143Ñëåäîâàòåëüíî, ðàäèóñ êðèâèçíû ôðîíòà R = z è óâåëè÷èâàåòñÿ ñ ïðîéäåííûì âîëíîé ðàññòîÿíèåì.Äèôðàêöèÿ ÷àñòè÷íî êîãåðåíòíîãî ïó÷êà. Åñëè ëàçåð ðàáîòàåò â ðåæèìå ãåíåðàöèè áîëüøîãî ÷èñëà ïîïåðå÷íûõ ìîä (ìíîãîìîäîâîì ðåæèìå), òî ïîïåðå÷íîå ðàñïðåäåëåíèå ïîëÿ â ïó÷êå ìîæåò èçìåíÿòüñÿ ñëó÷àéíûì îáðàçîì. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà âûõîäå ëàçåðà ïðè z = 0A(r,0) = A0e - r2r02h(r),(12.70)ãäå h(r) ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ êîîðäèíàò.
Åå ñðåäíåå çíà÷åíèå h = 0, à äèñïåðñèÿ s2 = 1.Ïóñòü ñòåïåíü ïðîñòðàíñòâåííîé êîãåðåíòíîñòè (ñì. ëåêöèþ 10) èìååò âèä2g 12 (l ,0) = h(r1 )h(r1 + l) = exp(- l 2 rê0),(12.71)ãäå rê0 íà÷àëüíûé ðàäèóñ ïðîñòðàíñòâåííîé êîãåðåíòíîñòè.Ðåøàÿ óðàâíåíèå (12.66) ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì (12.70), ïîëó÷àåì ðåøåíèåA(r, z), ÿâëÿþùååñÿ ñëó÷àéíîé ôóíêöèåé êîîðäèíàò. Ñ ó÷åòîì (12.71) äëÿ ïðîñòðàíñòâåííîé êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè àìïëèòóäû A(r, z) ïîëó÷àåì âûðàæåíèåà 12 =é r 2 + r 2 (r - r ) 2 ùÀ( r1, z ) A*(r2 , z )= I 0 exp ê - 1 2 2 - 2 2 1 ú .2r0 zrêzëû(12.72)Øèðèíà ïó÷êà r0z è ðàäèóñ åãî ïðîñòðàíñòâåííîé êîãåðåíòíîñòè rêz âîçðàñòàþò ñ ïðîéäåííûì âîëíîé ðàññòîÿíèåì ïî îäèíàêîâîìó çàêîíór0 z = r0 1 + z 2 z12 ;rêz = rê0 1 + z 2 z12 .(12.73)Çäåñüz1 =1 pr0rýô2 l(12.74) äèôðàêöèîííàÿ äëèíà ÷àñòè÷íî êîãåðåíòíîãî ïó÷êà; ýôôåêòèâíàÿ øèðèíà rýôîïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì12rýô=11+ 2.2rê0 2r0(12.75)Ó ïðîñòðàíñòâåííî êîãåðåíòíîãî (îäíîìîäîâîãî) ãàóññîâà ïó÷êà rê0 ? r0.Òîãäà rýô = 2r0 è z1 = z0, êàê ýòî áûëî ïîëó÷åíî ðàíåå.
Äëÿ ìíîãîìîäîâîãî1 pr0 rê0< z 0.ïó÷êà (N ÷èñëî ïîïåðå÷íûõ ìîä) rê0 = r0 / N < r0, rýô » rê0 è z1 =2 lÐàñõîäèìîñòü ÷àñòè÷íî êîãåðåíòíîãî (ìíîãîìîäîâîãî) ïó÷êà â äàëüíåì ïîëå(z ? z0) ïðåâûøàåò ðàñõîäèìîñòü J0 êîãåðåíòíîãî ïó÷êà òîãî æå ðàäèóñà:drllr(12.76)J1 = 0z = 0 => J0 =.pr0dzz12prê0Òàêèì îáðàçîì, äèôðàêöèîííàÿ ðàñõîäèìîñòü J0 îäíîìîäîâîãî ïó÷êà ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíîé ðàñõîäèìîñòüþ. Ðåàëüíûå ïó÷êè îáëàäàþò îãðàíè÷åííîé ïðîñòðàíñòâåííîé êîãåðåíòíîñòüþ (rê0 < r0), ïîýòîìó èõ ðàñõîäèìîñòü ïðåâûøàåòäèôðàêöèîííóþ.144Ë Å Ê Ö È ß 13Äèôðàêöèÿ Ôðàóíãîôåðà íà ïåðèîäè÷åñêèõ ñòðóêòóðàõ.
Ñðåäè ìíîãî÷èñëåííûõ äèôðàêöèîííûõ ÿâëåíèé îñîáîå ìåñòî çàíèìàåò äèôðàêöèÿ íà ïåðèîäè÷åñêèõ ñòðóêòóðàõ. Ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè (îòðàæåíèè) ïëîñêîé âîëíû ÷åðåçîäíî- èëè äâóõìåðíûå ñòðóêòóðû âîçìóùåíèå â (12.33) ïðèîáðåòàåò ïåðèîäè÷åñêóþ ìîäóëÿöèþ àìïëèòóäû è ôàçû â ïëîñêîñòè Oxy.  ðåçóëüòàòå â óãëîâîìñïåêòðå |U S(kx, ky)|2 ïîÿâëÿþòñÿ ÿðêî âûðàæåííûå ïðîñòðàíñòâåííûå ÷àñòîòû.Äèôðàêöèîííûå ìàêñèìóìû, ñîîòâåòñòâóþùèå ýòèì ÷àñòîòàì, áóäóò óçêèìèè èíòåíñèâíûìè. ýòîì ëåãêî óáåäèòüñÿ, íàïðàâèâ ëó÷ ëàçåðíîé óêàçêè íàêëîííî íà ïîâåðõíîñòü CD-äèñêà.
Îò åãî ïîâåðõíîñòè áóäóò îòðàæàòüñÿ â ðàçíûõ íàïðàâëåíèÿõíåñêîëüêî ñâåòîâûõ ëó÷åé. Ýòè íàïðàâëåíèÿ áóäóò ñîâïàäàòü ñ íàïðàâëåíèÿìèíà äèôðàêöèîííûå ìàêñèìóìû.Ïîñêîëüêó ïîëîæåíèå äèôðàêöèîííûõ ìàêñèìóìîâ çàâèñèò îò äëèíû âîëíû, äèôðàêöèÿ ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíà äëÿ ñïåêòðàëüíîãî àíàëèçà ñâåòà. Êðîìåòîãî, ïðè èçâåñòíîé äëèíå âîëíû ïî ïîëîæåíèþ ìàêñèìóìîâ ìîæíî ñäåëàòüçàêëþ÷åíèå î ïåðèîäàõ ïðîñòðàíñòâåííîé ìîäóëÿöèè è òåì ñàìûì èññëåäîâàòüñàìó ïåðèîäè÷åñêóþ ñòðóêòóðó.Äèôðàêöèîííûå ðåøåòêè.
Äèôðàêöèîííîé ðåøåòêîé ÿâëÿåòñÿ ëþáîå óñòðîéñòâî, îáåñïå÷èâàþùåå ïåðèîäè÷åñêóþ ìîäóëÿöèþ âäîëü îäíîãî íàïðàâëåíèÿàìïëèòóäû è ôàçû ïàäàþùåé âîëíû. Íà ðèñ. 13.1 ðåøåòêà ñõåìàòè÷íî èçîáðàæåíà â âèäå ïðîçðà÷íîé ïëàñòèíêè ñ ïåðèîäè÷åñêè ìåíÿþùåéñÿ òîëùèíîéâäîëü îñè Ox.Ïðè ïàäåíèè íà ðåøåòêó ïëîñêîé âîëíû âîçìóùåíèå íà åå ïîâåðõíîñòèU (x, y ) = U 0e -ikeox x -ikeoy y .(13.1)Ìîäóëÿöèîííûå ñâîéñòâà ðåøåòêè çàäàþòñÿ êîìïëåêñíîé ôóíêöèåét (x ) =U S ( x, y )= t ( x ) e -i Ô( x ),U ( x, y )(13.2)ãäå U S(x, y) âîçìóùåíèå, ïðîõîäÿùåå ÷åðåçðåøåòêó.Ôóíêöèÿ (13.2) ïåðèîäè÷åñêàÿ:t (x) = t (x + d ).(13.3)Âåëè÷èíà d íàçûâàåòñÿ ïåðèîäîì ðåøåòêè.×èñëî N òàêèõ ïåðèîäîâ (øòðèõîâ) îáû÷íîâåëèêî: 102 < N < 104. Ìíîãèå ðåøåòêè îòðàæàþò ñâåò.
 ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèÿ t (x) áóäåò îïèñûâàòü ìîäóëÿöèþ âîëíû ïðè îòðàæåíèè.Ðèñ. 13.1145Ïî õàðàêòåðó ìîäóëÿöèè ðåøåòêè ïîäðàçäåëÿþòñÿ íà àìïëèòóäíûå è ôàçîâûå. Äëÿ àìïëèòóäíûõ ðåøåòîê Ô(x) = 0, äëÿ ôàçîâûõ |t (x)| = 1. ðåçóëüòàòå äèôðàêöèè âîçìóùåíèå â äàëüíåì ïîëå, ñîãëàñíî (12.33), ðàâíîLU (P ) =L21i e ikbU 0 ò e ik (e y -e oy )dy ò t (x )e ik (e x -eox )x dx ,l b00(13.4)ãäå ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ L1 è L2 îïðåäåëÿþòñÿ ðàçìåðàìè ðåøåòêè, âûïîëíåííîé â ôîðìå ïðÿìîóãîëüíèêà.
Åñëè äëÿ ïðîñòîòû ïîëîæèòü, ÷òî âåêòîðû e0 è e ëåæàò â ïëîñêîñòè ðèñóíêà, òî ey = e0y = 0 èL2ò dy = L2 .0Äðóãîé èíòåãðàë ïðåäñòàâèì â âèäåL1d2dNd00d(N -1)dò = ò t (x )e ikpx dx + ò + K + òdd00== ò t ( x )e ikpx dx [1 + e ikpd + K + e ikpd (N -1) ] = ò t (x )e ikpx dx1 - e ikpdN.1 - e ikpd(13.5)Çäåñü p = e x - e 0 x = sin j - sin j 0; j è j0 óãëû, îáðàçóåìûå âåêòîðàìè e è e0ñ îñüþ Oz ñîîòâåòñòâåííî, L1 = Nd. Åñëè áû ðåøåòêà ñîñòîÿëà èç îäíîãî ïåðèîäà, òî âîçìóùåíèå áûëî áû ðàâíîU 1 (P ) =die -ikbU 0 L2t ( x )e ikpx dx .b ò0l(13.6)Ïðè íàëè÷èè N øòðèõîâ1 - e ikpdN.(13.7)1 - e ikpdÂîçìóùåíèå U îïðåäåëÿåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì U1(P ) íà êîìïëåêñíóþ ôóíêöèþ, îïèñûâàþùóþ èíòåðôåðåíöèþ âîëí îò öåïî÷êè N âòîðè÷íûõ òî÷å÷íûõèñòî÷íèêîâ, ðàñïîëîæåííûõ íà îäèíàêîâîì ðàññòîÿíèè d äðóã îò äðóãà.Ïåðåõîäÿ â (13.7) ê èíòåíñèâíîñòè, ïîëó÷èìU (P ) = U 1 (P )kpdNæsin1ç22I (P ) = U (P ) = I 1 (P ) çkpd2ç sinè22ökpd ö÷æ÷ = I 1 (P )H çè N , 2 ÷ø .÷ø(13.8)ÇäåñüI L2I 1 (P ) = 02 22l bdò t (x )e2ikpxdx(13.9)0 èíòåíñèâíîñòü ïðè äèôðàêöèè íà îäíîì øòðèõå ðåøåòêè,kpdNæsinkpdç2H (N ,)=çkpd2ç sinè2146ö÷÷÷ø2(13.10)Ðèñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
