В.А. Алекшевич - Оптика (1120564), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Ïðè îñâåùåíèè êîëëèìèðîâàííûì ïó÷êîì ìàëåíüêîãî øàðèêà äèàìåòðîì d, ìåíüøèì â íåñêîëüêî ðàç øèðèíû ïó÷êà, ñâåòíåïîñðåäñòâåííî çà øàðèê íå ïðîíèêàåò. Ýòî ïðîèñõîäèò ïîòîìó, ÷òî ôàçîâûé119ôðîíò ïðîøåäøåé ìèìî øàðèêà ÷àñòè ñâåòîâîãî ïó÷êà âíà÷àëå îñòàåòñÿ ïðàêòè÷åñêè ïëîñêèì è ñâåò íå çàõîäèò â îáëàñòü ãåîìåòðè÷åñêîé òåíè, ñîçäàâàåìîé øàðèêîì. Îäíàêî íà ðàññòîÿíèè L ~ d 2/l ôàçîâûé ôðîíò çàìåòíî èñêðèâëÿåòñÿ è ñâåò ïðîíèêàåò â îáëàñòü òåíè.  ÷àñòíîñòè, íà îñè ïó÷êà ïîÿâëÿåòñÿñâåòëîå ïÿòíî, ïîëó÷èâøåå, ïî èðîíèè ñóäüáû, íàçâàíèå ïÿòíà Ïóàññîíà. Äåëîâ òîì, ÷òî ñ ïîìîùüþ ïîäîáíîãî îïûòà îäíîìó èç îñíîâàòåëåé êîíöåïöèèâîëíîâîé ïðèðîäû ñâåòà ôðàíöóçñêîìó ôèçèêó Æ.
Î. Ôðåíåëþ óäàëîñü äîêàçàòü ñâîåìó íå ìåíåå èìåíèòîìó ñîîòå÷åñòâåííèêó Ñ. Ä. Ïóàññîíó ñïðàâåäëèâîñòü âîëíîâîé òåîðèè ñâåòà. Ïðîäåìîíñòðèðîâàííîå Ôðåíåëåì îãèáàíèå âîëíîé ïðåïÿòñòâèÿ íåâîçìîæíî îáúÿñíèòü â ðàìêàõ êîðïóñêóëÿðíîé òåîðèè, êîòîðîé âíà÷àëå ïðèäåðæèâàëñÿ Ïóàññîí.Ðàçìåðû âîëíîâûõ ôðîíòîâ îïðåäåëÿþòñÿ ïîïåðå÷íûìè ðàçìåðàìè ëèíç,çåðêàë, äèàôðàãì, àêòèâíûõ ñðåä ëàçåðîâ, ùåëåé, îòâåðñòèé è ò.
ä. Îíè ìîãóòèçìåíÿòüñÿ îò äåñÿòêà ìèêðîìåòðîâ äî äåñÿòêà ìåòðîâ. Ñîîòâåòñòâåííî äëèíàL0 èçìåíÿåòñÿ îò ñîòåí ìèêðîìåòðîâ äî 108 ì.Îáîáùàÿ ðåçóëüòàòû îïèñàííûõ ýêñïåðèìåíòîâ, ìîæíî ñäåëàòü ñëåäóþùèéâûâîä. Åñëè ïó÷îê ïðîõîäèò ðàññòîÿíèå L = L0, òî ìîæíî ïðèáëèæåííî ñ÷èòàòü, ÷òî âîëíîâîé ôðîíò îñòàåòñÿ ïëîñêèì, à ïó÷îê ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ïðÿìîëèíåéíî âäîëü ñâîåé îñè.  ýòîì ñëó÷àå ïó÷îê ìîæíî çàìåíèòü åãî ãåîìåòðè÷åñêèì îáðàçîì ëó÷îì, ñîâïàäàþùèì ñ åãî îñüþ.
Äàëåå ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòüçàêîíû åãî îòðàæåíèÿ è ïðåëîìëåíèÿ è ïîñòðîèòü òåì ñàìûì ãåîìåòðè÷åñêóþîïòèêó. Íà ðàññòîÿíèÿõ L ³ L0 ãåîìåòðè÷åñêîå îïèñàíèå ñòàíîâèòñÿ íåñïðàâåäëèâûì è íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü âîëíîâóþ òåîðèþ äëÿ îïèñàíèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòà.Ãåîìåòðè÷åñêàÿ îïòèêà ÿâëÿåòñÿ èñêëþ÷èòåëüíî ïëîäîòâîðíûì èíñòðóìåíòîì, èñïîëüçóåìûì äëÿ îïèñàíèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòà â îïòè÷åñêèõ ñèñòåìàõ, çà èñêëþ÷åíèåì îáëàñòåé âáëèçè ôîêàëüíûõ òî÷åê, ãäå ïîïåðå÷íûé ðàçìåð ïó÷êà ìîæåò áûòü ñîèçìåðèì ñ äëèíîé âîëíû.Èñòîðè÷åñêè âñå ïðîèçîøëî ñ òî÷íîñòüþ äî íàîáîðîò.
Çàêîíû îòðàæåíèÿñâåòà áûëè èçâåñòíû åùå ãðåêàì â àíòè÷íûå âðåìåíà, à çàêîí ïðåëîìëåíèÿñâåòà áûë ýêñïåðèìåíòàëüíî óñòàíîâëåí â 1621 ã. ãîëëàíäñêèì ó÷åíûì Â. Ñíåëèóñîì. Îòñòóïëåíèå îò ïðÿìîëèíåéíîãî ðàñïðîñòðàíåíèÿ áûëî îòêðûòî ïîçäíåå èòàëüÿíñêèì ôèëîñîôîì è ôèçèêîì Ô. Ãðèìàëüäè. Ðåçóëüòàòû åãî èññëåäîâàíèé áûëè îïóáëèêîâàíû ïîñëå åãî ñìåðòè â 1665 ã.Ýòî îòñòóïëåíèå è áûëî íàçâàíî äèôðàêöèåé (îò ëàò. diffractus ðàçëîìàííûé). Íà ñàìîì äåëå, äèôðàêöèÿ íåîòúåìëåìîå ñâîéñòâî âîëí ëþáîé ïðèðîäû ñòðåìèòüñÿ ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ âî âñåõ íàïðàâëåíèÿõ, çàõîäÿ â îáëàñòü ãåîìåòðè÷åñêîé òåíè, îãèáàÿ ïðåïÿòñòâèÿ è ò.
ä.Åùå áîëåå ÿðêî äèôðàêöèÿ ïðîÿâëÿåòñÿ ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè ïëîñêîé âîëíû(êîëëèìèðîâàííîãî ïó÷êà) ÷åðåç ïðîçðà÷íûå îáúåêòû, ìîäóëèðóþùèåàìïëèòóäó èëè ôàçó âîëíû â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé íàïðàâëåíèþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ. Ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè òàêèõ ïðîñòðàíñòâåííî ìîäóëèðîâàííûõâîëí ïðîèñõîäèò ïåðåðàñïðåäåëåíèå îáúåìíîé ïëîòíîñòè ýíåðãèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â ïðîñòðàíñòâå ïîäîáíî òîìó, êàê ýòî ïðîèñõîäèëî ïðè èíòåðôåðåíöèè.Èäåÿ ñâåñòè çàäà÷ó î ðàñïðîñòðàíåíèè âîëíû ê èíòåðôåðåíöèè âîëí ôèêòèâíûõ âòîðè÷íûõ èñòî÷íèêîâ, ðàñïðåäåëåííûõ íà ïîâåðõíîñòè âîëíîâîãîôðîíòà, ïðèíàäëåæèò Ôðåíåëþ (1815). Îí íàïîëíèë èçâåñòíûé êèíåìàòè÷å120ñêèé ïðèíöèï ãîëëàíäñêîãî ôèçèêà Õ.
Ãþéãåíñà íîâûì ñîäåðæàíèåì. Ýòî ïîçâîëèëî êîëè÷åñòâåííî îáúÿñíèòü ðÿä äèôðàêöèîííûõ ÿâëåíèé, ÷òî â ñâîþî÷åðåäü ñûãðàëî âûäàþùóþñÿ ðîëü â îêîí÷àòåëüíîì ñòàíîâëåíèè êîíöåïöèèâîëíîâîé ïðèðîäû ñâåòà.Ïðèíöèï Ãþéãåíñà Ôðåíåëÿ. Ðàññìîòðèì ðàñïðîñòðàíåíèå ñôåðè÷åñêîéâîëíû îò òî÷å÷íîãî ìîíîõðîìàòè÷åñêîãî èñòî÷íèêà â òî÷êå P0 (ðèñ. 11.1). òî÷êå P íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ áóäåò ðàâíàE (P ) =C i (wt -kr )e= Ae i wt ,r(11.2)C -ikre ñêàëÿðíàÿ êîìïëåêñíàÿ àìïëèòóäà; C êîíñòàíòà, çàâèñÿrùàÿ îò ìîùíîñòè èñòî÷íèêà.Ïðîöåññ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû â òî÷êó P ìîæíî ïðåäñòàâèòü òàêæå â äâàýòàïà.Íà ïåðâîì ýòàïå ñôåðè÷åñêàÿ âîëíà äîñòèãàåò íåêîòîðîé ïðîèçâîëüíîéñôåðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè S, îõâàòûâàþùåé èñòî÷íèê. Íà ýòîé ïîâåðõíîñòèêàê áû ïîÿâëÿþòñÿ âòîðè÷íûå èñòî÷íèêè.Íà âòîðîì ýòàïå âòîðè÷íûå èñòî÷íèêè èñïóñêàþò ñâîè ñôåðè÷åñêèå âîëíû, êîòîðûå èíòåðôåðèðóþò â òî÷êå P.
Îäíàêî, êðîìå ÷àñòîòû ñâåòà, ïàðàìåòðû ýòèõ èñòî÷íèêîâ íåèçâåñòíû. Ôðåíåëü ïðåäïîëîæèë, ÷òî âîçìóùåíèå, ïîñûëàåìîå ýëåìåíòàðíîé ïëîùàäêîé, ïðîïîðöèîíàëüíî åå ïëîùàäè ds è çàâèñèò îò óãëà íàêëîíà j ìåæäó íîðìàëüþ ê ïëîùàäêå è íàïðàâëåíèåì â òî÷êóíàáëþäåíèÿ.1Ïîñêîëüêó â òî÷êå P ðåãèñòðèðóåòñÿ èíòåíñèâíîñòü I = | A | 2, â äàëüíåé2øåì ìíîæèòåëü e iwt îïóñêàåì.  ñîîòâåòñòâèè ñ äâóõýòàïíûì ðàññìîòðåíèåìãäå A =A(P ) =Còò r1 e -ik rS1e -ik rCK (j)d s = e -ikr ,rr(11.3)ãäå K(j) íåèçâåñòíûé êîýôôèöèåíò, çàâèñÿùèé îò óãëà íàêëîíà j . Åãî èíîãäàíàçûâàþò êîýôôèöèåíòîì íàêëîíà.
Äëÿ âûïîëíåíèÿ ðàâåíñòâà (11.3) íåîáõîäèìî, ÷òîáû K(j) áûë óáûâàþùåé ôóíêöèåé j. Ôðåíåëü ïðåäïîëîæèë, ÷òîïðè j = p/2 K(p/2) = 0. Êðîìå òîãî, ýòîò êîýôôèöèåíò äîëæåí áûòü ðàçìåðíûì:[K ] = ì-1. Ïîñêîëüêó åäèíñòâåííûì ïàðàìåòðîì ñ ðàçìåðíîñòüþ äëèíû ÿâëÿåòñÿ äëèíà âîëíû l, òî K ~ 1/l.Ðàññìîòðèì òåïåðü äèôðàêöèþ ñôåðè÷åñêîé âîëíû íà ýêðàíå Ý ñ îòâåðñòèåì ïëîùàäüþ S (ðèñ.
11.2).Ðèñ. 11.1Ðèñ. 11.2121Äëÿ ýòîãî îêðóæèì èñòî÷íèê çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòüþ ïëîùàäüþ S¢ òàêèìîáðàçîì, ÷òîáû îíà ïðîõîäèëà ÷åðåç ýêðàí. Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ìàòåðèàëýêðàíà ïîëíîñòüþ ïîãëîùàåò ñâåò è ñàì íå èçëó÷àåò, òî âòîðè÷íûå èñòî÷íèêèíà îòâåðñòèè òàêèå æå, êàê è â îòñóòñòâèå ýêðàíà. ÏîýòîìóA(P ) =Còò r1r e -ik (r +r)K (j)d s.(11.4)1SÈíòåãðàë (11.4) íàçûâàåòñÿ äèôðàêöèîííûì èíòåãðàëîì. Äëÿ åãî âû÷èñëåíèÿâîñïîëüçóåìñÿ ìåòîäîì âåêòîðíûõ äèàãðàìì.Çîíû Ôðåíåëÿ. Âíà÷àëå ðàññ÷èòàåì çîíû Ôðåíåëÿ. Äëÿ ýòîãî îêðóæèì òî÷êóP0 ñôåðîé ðàäèóñîì r1 = a (ðèñ.
11.3).Ïóñòü òî÷êà P ðàñïîëîæåíà íà ðàññòîÿíèè b îò ïîâåðõíîñòè ñôåðû. Ìûñëåííî öèðêóëåì, îäíà íîæêà êîòîðîãî íàõîäèòñÿ â òî÷êå P, ïðîâåäåì ïî ïîâåðõíîñòè ñôåðû îêðóæíîñòè. Ñîîòâåòñòâóþùèå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó íîæêàìèlllöèðêóëÿ ðàâíû b + , b + 2 , ¾, b + m .
Òîãäà ñôåðà áóäåò ðàçäåëåíà íà êîëüöå222âûå îáëàñòè, íàçûâàåìûå çîíàìè Ôðåíåëÿ.Ïðè èíòåãðèðîâàíèè ïî ïîâåðõíîñòè kr1 = ka = const, ïðîèçâåäåíèå kr áóäåò èçìåíÿòüñÿ íà âåëè÷èíó p ïðè ïåðåõîäå îò öåíòðà ïåðâîé çîíû (òî÷êè O)ê åå êðàþ (òî÷êå 1 ), çàòåì ïðè ïåðåõîäå îò òî÷êè 1 ê òî÷êå 2 è ò. ä.Ðàññ÷èòàåì ðàäèóñ rm è ïëîùàäü sm m-é çîíû. Ðàäèóñ r1 ïåðâîé çîíû îïðåäåëÿåòñÿ, êàê ñëåäóåò èç ðèñ. 11.3, èç óðàâíåíèé2löæa 2 - (a - d)2 = r12 = ç b + ÷ - (b + d)2 .è2ø(11.5)Ïîñêîëüêó b ? l, ìîæíî ïðåíåáðå÷ü âåëè÷èíîé l2/4 = lb â ïðàâîé ÷àñòè(11.5).
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåìr1 =abl.a +b(11.6)Ïëîùàäü ïåðâîé çîíûpab(11.7)l.a +bÇàìåíèâ â (11.6) l íà ml, ïîëó÷èì âûðàæåíèå äëÿ âíåøíåãî ðàäèóñà m-é çîíûs 1 = pr12 =rm =abml .a +b(11.8)Ïëîùàäü m-é çîíû ðàâíà ïëîùàäè êîëüöàs m = p(rm2 - rm2-1 ) = pr12 = s 1 .Ðèñ. 11.3122(11.9)Òàêèì îáðàçîì, ðàäèóñû çîí óâåëè÷èâàþòÿ~ m , à ïëîùàäè âñåõ çîí îäèíàêîâû. Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî ðàçëè÷èå âêëàäîâ çîí â äèôðàêöèîííûé èíòåãðàë (11.4) îáóñëîâëåíîlòîëüêî ðàçíûìè ðàññòîÿíèÿìè rm = b + m2è óãëàìè íàêëîíà jm.Ïðè èíòåãðèðîâàíèè â êà÷åñòâå ýëåìåíòà ïîâåðõíîñòè âûáåðåì áåñêîíå÷íîóçêèå êîëüöà ïëîùàäüþ ds, êîíöåíòðè÷íûå ñ çîíàìè Ôðåíåëÿ.
Åñëè êîìïëåêñíîé àìïëèòóäå A ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå âåêòîð A, òî èíòåãðèðîâàíèå ñâåäåòñÿ ê âåêòîðíîìó ñóììèðîâàíèþ:A = ò dA,(11.10)Sãäå âåêòîð dA ïîä èíòåãðàëîì îïðåäåëåí ñâîåé àáñîëþòíîé âåëè÷èíîéCdA =K (j)d s è óãëîì y = k(a + r), çàäàþùèì åãî íàïðàâëåíèå íà äèàãðàììåar(ðèñ. 11.4).Äëÿ ïðîñòîòû àíàëèçà ôàçîâûõ ñîîòíîøåíèé ïðèìåì çà íà÷àëî îòñ÷åòà âåëè÷èíó y0 = ka, ïîëîæèâ åå ðàâíîé íóëþ. Êðîìå òîãî, ïðåäïîëîæèì, ÷òî ðàññòîÿíèå b ðàâíî öåëîìó ÷èñëó äëèí âîëí, ïîýòîìó êîëåáàíèÿ ïîëÿ íà ñôåðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè è â òî÷êå íàáëþäåíèÿ P ïðîèñõîäÿò â ôàçå.
Ýòî ïðåäïîëîæåíèå èñïîëüçóåòñÿ ëèøü äëÿ óäîáñòâà îïðåäåëåíèÿ ôàçîâûõ ñîîòíîøåíèéè íå íàêëàäûâàåò êàêèõ-ëèáî îãðàíè÷åíèé íà ïîëó÷åííûå äàëåå ðåçóëüòàòû.Âêëàä ïåðâîé çîíû îïðåäåëÿåòñÿ âåêòîðîìA1 =ò dA .(11.11)s1Ýòîò âåêòîð èçîáðàæåí íà âåêòîðíîé äèàãðàììå (ðèñ. 11.5).Âêëàä ïåðâûõ äâóõ çîí îïðåäåëÿåòñÿ âåêòîðîìA 1+ 2 = A 1 + A 2 =ò dA + ò dA.s1(11.12)s2Ñîîòâåòñòâóþùàÿ âåêòîðíàÿ äèàãðàììà èçîáðàæåíà íà ðèñ. 11.6.Âêëàä âòîðîé çîíû ìåíüøå ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå: A2 < A1 (óâåëè÷èëèñüóãîë j è ðàññòîÿíèå r) è ñäâèíóò ïî ôàçå íà p.
Åñëè ïðîâåñòè èíòåãðèðîâàíèåïî âñåì çîíàì Ôðåíåëÿ, òî âåêòîð A îïðåäåëèòñÿ èç äèàãðàììû, íàçûâàåìîéñïèðàëüþ Ôðåíåëÿ (ðèñ. 11.7).Çàìåòèì, ÷òî îòíîøåíèå sm/rm íå çàâèñèò îò ðàññòîÿíèÿ b. Ýòî îçíà÷àåò,÷òî âåëè÷èíû A1, A2 è ò. ä. òàêæå íå çàâèñÿò îò b.Âåêòîðíàÿ äèàãðàììà ïîçâîëÿåò ëèøü â îòíîñèòåëüíûõ åäèíèöàõ îïðåäåëèòü àìïëèòóäó âîçìóùåíèÿ â òî÷êå P. Àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà A îïðåäåëÿåòñÿèç (11.3) è ðàâíàÐèñ. 11.4Ðèñ. 11.5Ðèñ. 11.6Ðèñ.
11.7123C(11.13).a +bÄèàãðàììà, êðîìå òîãî, íåâåðíî îïðåäåëÿåò ôàçó âîçìóùåíèÿ â òî÷êå P. Ýòà ôàçà,êàê îòìå÷àëîñü ðàíåå, äîëæíà ñîâïàäàòüñ ôàçîé êîëåáàíèé íà ñôåðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè, êîòîðàÿ ðàâíà íóëþ (ïðè âûáðàííîìíà÷àëå îòñ÷åòà j0 = ka = 0).Ðèñ. 11.8×òîáû óñòðàíèòü îòñòàâàíèå âåêòîðà Aïî ôàçå íà p/2, âòîðè÷íûå èñòî÷íèêè íàäåëÿþòñÿ ôàçîâûì ñäâèãîì «âïåðåä »íà (+p/2) ââåäåíèåì â äèôðàêöèîííûé èíòåãðàë ìíîæèòåëÿ e i(p/2) = i.
Ýòîò ìíîæèòåëü ïðèñîåäèíÿþò ê êîýôôèöèåíòó íàêëîíà, è ïîñëåäíèé ñòàíîâèòñÿ êîìïëåêñíûì:A=K (j) =if (j).l(11.14)Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è îñòàëîñü ëèøü îïðåäåëèòü âèä ôóíêöèè f. Îäíàêî ýòîâîçìîæíî ñäåëàòü ëèøü â òåîðèè äèôðàêöèè, îñíîâàííîé íà ðåøåíèè óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà. ñëåäóþùåé ëåêöèè áóäóò ðàññìîòðåíû îñíîâû ñêàëÿðíîé òåîðèè äèôðàêöèè. Çäåñü îãðàíè÷èìñÿ àíàëèçîì ïðîñòåéøèõ äèôðàêöèîííûõ çàäà÷ ñ èñïîëüçîâàíèåì çîííîé òåîðèè Ôðåíåëÿ è ãðàôè÷åñêîãî ðàñ÷åòà àìïëèòóäû äèôðàãèðîâàâøåé âîëíû.Äèôðàêöèÿ íà êðóãëîì îòâåðñòèè. Åñëè ñôåðè÷åñêàÿ âîëíà ïàäàåò íà ýêðàíñ êðóãëûì îòâåðñòèåì r0, òî àìïëèòóäà âîëíû â òî÷êå P íà îñè îòâåðñòèÿçàâèñèò îò ÷èñëà îòêðûòûõ çîí Ôðåíåëÿ (ðèñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
