А.Н. Матвеев - Атомная физика (1120551), страница 107
Текст из файла (страница 107)
Тон- 1 72. Релятивистские эффекты в атомной физике ЗВВ кая структура линий излучения обусловливается не ~олько релятивистским эффектом зависимости массы от скорости, который учитывается формулой (72.14), но и наличием спина у электрона. Спин несколько ослабляет релятивистский эффект расщепления уровней. Это еще раз подтверждает, что уравнение Клейна — Гордона непригодно для описания частиц с ненулевым спином. Мы рассмотрели случай Уа с 1/2, когда Р в уравнении (72.11) положительно.
Если же Ха > '/,, то /' не может быть выбрано положительным и решение релятивистского уравнения принципиально отличается от решения нерелятивисгского уравнения. Как показывает анализ, в этом случае происходит падение частицы на ядро и отсутствует стационарное решение. Таким образом, по уравнению Клейна — Гордона, устойчивые состояния движения частицы в кулоновском поле ядра возможны лишь для ядер, у которых 2 < 137/2. Как уже было отмечено при рассмотрении расщепления энергетических уровней, спин несколько ослабляет влияние релятивистского изменения массы от скорости. Это приводит к тому, что релятивистские эффекты с учетом спина обусловливают неустойчивость атомов лишь для значений У, лежащих за пределами существующей периодической системы элементов. Топкая структура уровней энергии атома водорода.
Чтобы найти уровни энергии электрона с учетом релятивистской поправки на изменение массы со скоростью с учетом спина, необходимо решить задачу для атома водорода с помощью уравнения Дирака. При наличии потенциальной энергии е~/(4ла г) электрона в кулоновском поле протона уравнение Ди- с ед — —,— + 1 — сл т — Язос + 1 4(2 4лэот/ (е ся +, (а. г) Ч' = О, 4леог (72.18) где учтены свойства матриц а„, выражаемые равенствами (71.28), и принято во внимание, что (1/г)т — т(1/г) = — кгаз)(1/г) = г/г'. (72.19) Будем искать стационарное решение и положим Ч (г т) Ч (г)е-яг, и,с*г«з (72.20) Тогда в уравнении (72.18) исключаются производные по времени и для определения Е получается уравнение с ез Е+ зяос + — ) — с Л з7 — язос + 2,22224 4лвог~ 1е сл + —;(а г) Ч' = О. 4лэогз (72.21) рака имеет вид [Š— с(а Р) — язосз рз + ез/(4леог)1 Ч' = О.
(72.16) Для того чтобы при вычислении воспользоваться результатами предыдущего параграфа, удобно от уравнения первого порядка (72.!6) перейти к уравнению второго порядка, т.е. «квадрировать» уравнение (72.16). Квадрированное уравнение содержит все решения уравнения первого порядка, поскольку оно получается из этого уравнения с помощью операций дифференцирования. Но могут появиться и другие решения, которые уравнению первого порядка не удовлетворяют; эти побочные решения должны быть отброшены. Для «квадрирования» уравнения Дирака (72.16) применим к нему слева оператор Е+ с(а р)+ язос~р, + е~/(4лэог). (72.!7) В результате получается уравнение 396 14 Реяятивистские эффекты в атомной физике Р$,Чз, + — (япйе" кеЧ' + соеОЧ'з) = О, гг Ре'1'г + — г(япОееЧ'з — созОЧге) = О, (72.23) Ргч,+ — "(з)пОе-'ер,+ .ОЧ,)=0, з РоеЧтк + — (ЯпОе"'Ч', — соаОЧ'г) = О, гг где Рог — общая для всех компонент волновой функции часть оператора в уравнении (72.21), совпадающая с оператором уравнения Клейна — Гордона (72.5) для бесспиновой частицы: 4лсег Величина а = егЯ4лаойс) в системе уравнений (72.23) есть постоянная тонкой структуры, ее'е = соя тр + !а)п тр.
Будем искать решение системы (72.23) в виде Ч', Ч' 1з «4 (1+ гя)УУ (!+ 1 — гя)Ъ7 !))Ут' ' — аунг зт(г) (72.25) где У~"-сферические функции, опре- деленные равенством (28.16), но без Дальнейшие вычисления удобно вести в сферических координатах, перейдя к ним по формулам л = гяпйсоаЧз, у = тяп Ояп<р, г = гсозО. (72.22) С помощью выражения (71,29) для матриц а„можно уравнение (72.21) расписать в виде системы уравнений относительно компонент волновой функции: нормировочного множителя: (2!+ 1)(! — яг)1 4л (1+ яг)! Таким образом, сферические функции У, в (72.25) нормированы условием р ! 4л (1+ гя)1 (2! + 1)(! — гя)! "' (72.27) Отметим еще раз, что функции Уг.
в (72.25) отличаются от функций (28.20) нормированными множителями, так что не следует путать эти функции, хотя они и обозначены одинаково. Постоянная )) в формулах (72.25) остается пока неопределенной. В теории сферических функций доказываются следующие рекуррентные соотношения: (!+ гя) Уг = — ЯпОе 'еЪ7,г + соз ОУ,+,', (72.28) (! + ! — яз) УР = = япОе'"У„,' + созОУ,„. (72.29) Подставляя выражения (72.25) для компонент волновых функций в систему уравнений (72.23) и пользуясь рекуррентными соотношениями (72.28) и (72.29), получаем уравнения для определения радиальной функции: )(! ч- 1) — а' + а!11 ~й=о, гг (72.30) — А+ —— 29 (1+ 1)(!+ 2) — аг — а!11 ) ~я=о, г г (72.3! ) где А и В даются выражениями Релятивистские эффекты в атомной физике 397 1 72. (72.76) и (72.7в) при 2 = 1, т.е.
(72.32) А — — 2 1 — 1+ — 2 (72.33) Уравнения (72.30) и (72.31) должны совпадать друг с другом, потому что это уравнения для одной и той же волновой функции. Отсюда получаем уравнение для определения 33 Ц! + 1) — а + а(3 = =(!+ 1)(!+ 2) — а' — а/3, (72.34) решение которого 6 =(1+ !)/а Р /(1+ !)'/а' — 1. (72.35) Подставляя это выражение в (72.30) или (72.31), можно уравнение для радиальной функции представить в виде, аналогичном (72.11): + — А + — — ~ Я = О, (72.3б) 2В Г(Г + 1)1 г гг гле т-,ДиТр-' * — 11ттд, 1ли1 причем знаки плюс и минус перел 1/2 в формуле (72.37) соответствуют знакам плюс и минус перед корнем в выражении (72.35).
Решение уравнения (72.36) аналогично решению уравнения (72.11). В резуль~ате для уровней энергии вместо формулы (72.13) получаем г Еи = е2ес х 2 - 112 х !+ „1 — вт с'. (72.38) Разлагая эти выражения в ряд по постоянной тонкой структуры и ограничиваясь первыми двумя членами, находим следующие формулы при отрицательном и положительном знаках перед 1/2 в формуле (72.38): е = — — [! — (— (и=)т+!+ 1, а — О, 1" — 1, 8 = а/~2(! + 1)1 ), (72.39а) Е1= — гг г 1+ — 2 (и = )т + 1+ 2 аг -~ О Г = ! + 1 (3 = 2(! + !)/а) .
(72.396) Чтобы выяснить смысл различных решений, заметим, что система уравнений (72.23) инвариантна относительно замены компонент волновой функции Ч', Ч', Ч' Ч' . Это означает, что волновая функция Ч", 12 2 14 ч', ч', 14 также является решением системы уравнений (72.23).
Как уже было отмечено, не все решения квадрированного уравнения будут решениями исходного уравнения первого порядка. Для того чтобы из решений квадрированного решения выделить решения, удовлетворяющие уравнению первого порядка, учтем, что в нерелятивистском случае компоненты Ч'2 и Ч' волновой функции стремятся к нулю. Переход к нерелятивистскому случаю эквивалентен устремлению скорости света к бесконечности, при этом постоянная тонкой структуры а — О. Следовательно, формально переход к нерелятивистскому случаю в полученных в этом параграфе формулах сводится к переходу а- О.
398 14. Релятивистские эффекты в атомной физике мулы; Е„= (72.43) Формула (72,43) дает выражение для энергии с учетом тонкой структуры термов атома водорода: каждый уровень с главным числом и расщепляе~ся на несколько подуровней по числу значений квантового числа 7' при данном и. Расщепление уровней имеет порядок аг = (1/137)г относительно энергии уровней. Рассмотрим в качестве примера расщепление между уровнем и = 2, г! = 1/2 (состояния атома водорода 2 Яг! и 2'Рьг) и уровнем и = 2, 7' = 3/2 (состояние атома водорода 2гР ).
Из формулы (72.43) следует !гЕ = Ег,ги — Ег пг = = а'1Ег17(2п) яв 4,5 10 эВ, (72.44а) в~кс 146 где игре' 1 1Ег1 =- 32лгаегйг 4 (72.446) — модуль энергии электрона на уровне и = 2 без учета тонкой структуры. В пересчете на частоты расщепление уровней (72.44а) равно Электроны на уровнях с отрииетельной энер- гией Рассмотрим решение (72.39а). При а- 0 в этом решении р- О. Это соответствует Ч' — 0 и Ч' — О, если решение взято в виде (72.25). Таким образом, решение (72.39а) соответствует волновой функции (72.25). При а — 0 в решении (72.396) 13 — со, т,е.
волновые функции Ч'г и Чга велики в сравнении с волновйми функциями Ч', и Ч' . Поэтому решение (72.396) не соответствует волновой функции (72.25). Нетрудно видеть, что это решение соответствует волновой функции Чг' (72.40): при а — 0 компоненты Чгг = Чгг и Чгй = Чгг малы по сРавнению с Ч"г = Ч' и Чгг = Ч'4. Таким образом, решение (72,396) относится к волновой функции (72.40). Эту формулу удобно путем замены !+! — ! переписать в виде Еы'= гг г г 1+ (п = !г + ! + 1, ! = 1, 2, 3, ... ), (72.41) Можно показать, что в случае решений (72.39а) и (72.41) квантовое число полного момента 7' электрона связано с ! соответственно формулами ! = 1+ 172 (! = О, 1, 2, ...
), (72.42а) ! = ! — 172 (! = 1, 2, 3, ... ). (72.426) Поэтому выражения (72.39а) и (72,41) можно записать в виде одной фор- 32л~вхйгп ( п 1~'+ 172 44 Лв = Лег!(2л) = ЬЕ7(2лй) = = 1,1О 104 МГп. (72.44в) Экспериментальные наблюдения находятся в полном согласии с формулой (72.43), из которой видно, что энергия электрона в атоме водорода зависит только от главного квантового числа и и квантового числа полного момента !'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
