А.Н. Матвеев - Атомная физика (1120551), страница 104
Текст из файла (страница 104)
Это видно непосредственно, если учесть, что из преобразований Галилея х'=х — ра у'=у, г'==, у=у (71.1) сразу следует, что д д д' д' дг ду' дхг дх г дг дг дгг дг г. дг дг ду дуып (71.2) Тогда удЧя 7 уг — — — = ~ — — — Чг + Е„Ч' (71.3) 1 ду 2хя превращается в новой системе коор- дннат (штрихованной) в уравнение — — — — — Чг + Е„Ч', (71.4) х — рт х' =, у' =у, г' = г, ~1 — рг1'сг т.е. сохраняет свой внд.
Напомним, что штрнхованные аргументы функций в (71.4) получаются нз нештрпхованных аргументов в уравнении (71.3) по формулам (71.1). Преобразования Лоренца имеют внд 71. Релятивистские волновые уравнения 1 — (с/сг) х (71. 5) 11 Если (71.3) преобразовать к штрихованным величинам с помощью (71.5), то в результате получается уравнение, совершенно не похожее на (71.3). Это и и означает, что уравнение Шредингера (71.3) нековариантно относительно преобразований Лоренца и, следовательно, не является релятивистским уравнением. Это можно увидеть и непосредственно без проведения преобразования следующим образом. Время 1' и координата х' входят в преобразование Лоренца (71.5) совершенно симметрично.
Это особенно отчетливо видно, если вместо переменной 1 пользоваться переменной х4 = гсг и записать первое и четвертое уравнения (71.5) в виде х+ (1с!с) х„ х' =— 11 сг7 г х„— ( — 1%) х хя (7!.б) ~1 — с~1'с Координаты у и г в преобразованиях (71.5) выделены благодаря специальному выбору направления координатных осей по отношению к направлению относительной скорости систем координат.
Координаты у и г эквивалентны координате х. Из (71.6) видно, что координаты и время входят в преобразование Лоренца совершенно симметрично. Отсюда следует, что в релятивистски ипвариап~ном дифференциальном уравнении производные по времени и по координатам должны входить равноправно, в частности они должны иметь одинаковый порядок. В уравнение же (71.3) входят первая производная по времени и вторые производные по координатам. Такое уравнение не может быть релятивистски инвариантным. Запишем уравнение Шредингера (71.3) в операторной форме: Е Ч' = Й Ч', (71.7) г е Е-оператор полной энергии, -оператор Гамильтона. Формально уравнение Шредингера может быть получено следующим образом. Запишем нерелятивистское соотношение, которое существует между энергией частицы, ее импульсом и потенциальной энергией: Е = р~,1(2»и) + Е„, (71.
8) где ргЯ2 т) — кинетическая энергия частицы, Е„-ес потенциальная энергия. Заменим в соотношении (71.8) классические величины операторами, которые в квантовой механике представляют соответствующие величины: Б д Б Е- Е= — — —, р — Р= — Ч, ~ д1 1 Е„-» Е„= Е„. (71.9) В результате вместо (71.8) между классическими величинами получа- ется равенство между операторами дд Б' — — — = — — Ч~+ Е„. (71.10) 1 дт 2»н Применяя обе части ранено~на (71.10) к волновой функции Ч', на- ходим уравнение Шредингера (71.3), нерелятивистский характер которого является следствием нерелятивисг- ского характера соотношения (71.8) между классическими величинами.
Указанный метод перехода от клас- сических соотношений к квантовым уравнениям может быть обобщен для получения релятивистски инвариант- ных квантовых уравнений. Уравнение Клейна-Гордона. Реля- тивистское соотношение, связываю- 384 14 Релятивистские эффекты в атомной физике щее полную энергию частицы с ее импульсом и массой покоя частицы, имеет вид Е' = с'Р~ + е~ ос (71.11) где и — масса покоя частицы. Заменив в (71.1!) величины Е и р операторами (71.9), получаем уравнение для частицы, движущейся в отсутствие внешних полей: дг Чт кг ( гдг~г ! 2 4) 1Р (7! !2) д 22 Оно является релятивистски инвариантным, поскольку получено из релятивистского соотнщпения (71,11). Это становится очевидным, если уравнение (71.2) разделить на сгйг, перенести все члены в левую часть и ввести обозначение )соо = тлоо с'Яг: 1 дгЧ' 272 Чт — — — !т~ 3Ч' =- 0 сг Первые два члена совпадают с соответствующими членами волнового уравнения Даламбера, релятивистская инвариантность которого хорошо известна из электродинамики.
Релятивистская инвариантность члена )сот Чт очевидна, поскольку это скаляр: й = сопев Уравнение (71.!3) называют уравнением Клейна †Гордо. Для того чтобы получить выражение для плотности заряда и плотное~и тока, можно пос~упить аналогично тому, как это было сделано в нерелятивистской теории при выводе формул (16.20). Умножим (71.13) слева на 'Р' и вычтем из него почленно комплексно-сопряженное уравнение: Ч"Рг Ч вЂ” Ч 172 Ч' — — ~Ч' дг Чт 2( дг д'Ч" т -Ч )=0. д т' (71.14) Учитывая, что Чтя!72 тР Чт 272 Чтя 41 2 т (Ч~' У Чт — Ч' 11 Ч'*), (71,15а) сгтр дгЧ" д У дтР дЧ'*'т 2 2 ( дтг дтг дт(к дт дт т) (71.15б) и вводя обозначения 1ттй (,д'Р дЧ") р= г~! 2л2отл(к дт д" г) (71.! 6) ) = — "" (Ч 11 Ч*-Ч'17 тР), (7!.!7) 2 л2о можно уравнение (7! .14) переписать: др — + 41!о1 = О.
(71.18) дт Уравнение (71.! 8) совпадает с уравнением сохранения заряда в электро- динамике, если под 1 понимать плотность тока, а под р-плотность заряда. Отсюда можно заключить, что выражения для плотности заряда и плотности тока для уравнения Клейна — Гордона даются формулами (71.16) и (71.17). Выражение (71.17) для плотности тока совпадает с формулой (16.20а) для плотности тока в нерелятивистской теории. Выражение же (71.16) не совпадает с соответствующим выражением (16.20б) нерелятивистской теории. Однако в нерелятивистском случае, когда в«с, такое совпадение имеет место. Чтобы в этом убедиться, заметим, что при малых скоростях / 1 от Е= =етое 11+ — — 2+..., 11 „'7~' (т 2 с' и поэтому с точностью до величины второго порядка относительно (с/с) дЧ' д Е дт дт о — = — е 'е"" Ч' (т) = -т' — 'Р = д ! 71. Релятивистские волновые уравнения нго с г = — г — Ч', й (71.! 9) Дирак Пель Алриен Морис 11902 1984) Английский физик, олин нз созлателей кваатовой теории.
Разработал реггвтивистскуго теорию электрона, внес большой вклад в развигие квантовой теории поля, квантовой стшисгики, квантовой теории излучении 25 219 благодаря чему (71.16) принимает вид рог)Чг Ч', (71.20) что совпадает с нерелятивистской формулой (!6.20б).
Таким образом, как и нужно было ожидать, релятивистские формулы в случае р «с переходят в нерелятивистские формулы. Однако релятивистская формула (71.16) для плотности заряда приводит к следующей трудности. Из смысла плотности заряда следует, что отношение плотности заряда к единичному заряду г7 должно дать концентрацию частиц р г'д у' „д Ч' д Ч''1 )т' = — = ( 'Р" — — — Ч' ).
(71.21) 2нгос' дг дг ~ По физическому смыслу концентрации частиц ясно, что она должна быть неотрицательной величиной. Между тем уравнение Клейна-Гордона является уравнением второго порядка по времени и, следовательно, Ч' и дЧ'/ду в некоторой точке могут быть заданы независимо. Это значит, что 2Х( может быть и отрицательной. Следовательно, выражение (71.21) нельзя рассматривать как концентрацию частиц. Поэтому в течение ряда лет уравнение Клейна — Гордона не получало признания в качестве уравнения для описания поведения частиц. В дальнейшем стало ясно, что его можно рассматривать как уравнение квантовой теории поля и избежать трудности с отрицательной плотностью.
Волновая функция в уравнении Клейна †Гордо имеет лишь одну компоненту, т.е. является скаляром. Если у волновой функции несколько компонент, то у частицы, к которой относится эта волновая функция, кроме степеней свободы, связанных с перемещениями частицы, имеются внутренние степени свободы. Эти внутренние степени свободы представляют ее спин, То, что волновая функция в уравнении Клейна-Горлона имеет лишь одну компоненту, означает отсутствие у частицы внутренних степеней свободы, т.е.
спина. Или, иначе, спин частицы, описываемой уравнением Клейна — Гордона, равен нулю. Такие частицы часто называют скалярггыми. Поскольку спин электрона равен 1г2, уравнение Клейна-Гордона неприменимо для электрона. По-видимому, оно пригодно для я-мезонов, спин которых равен нулю. Трудность с отрицательной плотностью частиц при этом преодолевается методами квантовой теории поля.
Уравнение Дирака. Трудность с отрицательной концентрацией частиц и неприменимость уравнения Клейна-Гордона к частицам со спином 1!2 заставляет искать другое уравнение, которое было бы при~одно для электрона. Такое уравнение было получено Дираком. Для того чтобы избежать трудностей с отрицательной концентрацией 386 14. Релятивистские эффекта в атомной физике частиц, необходимо избежать наличия производных по времени в выражении для плотности заряда. Но это возможно лишь в том случае, когда само волновое уравнение содержит только первую производную по времени.
Пользуясь требованием релятивистской инвариантности, заключаем, что и производные по координатам должны также входить в уравнение только в виде первых производных. Принцип суперпозиции состояний требует, чтобы уравнение было линейным. В результате получается, что искомое волновое уравнение должно быть линейным дифференциальным уравнением первого порядка как по времени, так и по пространственным координатам. Чтобы его получить, естественно воспользоваться приемом„ с помощью которого было получено уравнение Клейна — Гордона, но при этом учесть ~олько что изложенные выводы. Исходим из релятивистского соотношения между полной энергией и импульсом (71.11), которое удобно записать в виде Е= с /Рг+ Язв~с~.
Если от этого уравнения перейти к операторному равенству по формулам (71.9), то получающееся уравнение будет уравнением первого порядка относительно времени, но не относительно производных по координатам, поскольку оператор производных входит под знак корня. Чтобы освободиться от этой трудности, необходимо произвести «линеаризацию» правой части уравнения (71.22) посредством «извлечения» корня. Введем обозначения Ре тлес Рг = Рм Рг = Рр Рз Р* (71.23) и напишем формально з Е= с Х агтрк (71.24) к=о где а„пока не определены. Эти величины должны быть выбраны так, чтобы после возведения обеих частей равенства (71.24) в квадрат получилось релятивистское соотношение между энергией и импульсом в виде (71.! 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
