А.Н. Матвеев - Атомная физика (1120551), страница 105
Текст из файла (страница 105)
Требование перехода соотношения (71.24) после его квадрирования в соотношение (71.11) дает условия, которым должны удовлетворять а„. Возводя обе части равенства (71.24) в квадрат, находим Е' = с' 2, 2. ак ак Рк Рк = и' и = (сгт2) ',з (~к ак + ак ак) Ри Ри" (7г 25) и* и' Чтобы правая часть (71.25) совпала с правой частью уравнения (71.11), ко~орое удобно записать в виде Е = сг (Рте + Рг + Рг г+ Рзг) (7 ! 2б) необходимо, чтобы а„удовлетворяли следующим соотношениям: ~и ак' + ак ак 2 8кк" (71.27) т.е. а„, а„. должны антикоммутировать друг с другом при разных значениях индексов !г и !т'.
аи ак' ак аи (!г те !т'). (7128е) Квадрат каждой из величин а„должен быть равен единице: аз=1. (71.28б) Вообше говоря, для того чтобы оперировать с соотношением (71.24), не обязательно иметь явный вид величин а . Достаточно знать соотношения (71.28), которым эти величины удовлетворяют.
Однако явный вид величин а„часто бывает полезен для решения конкретных задач. Дирак предложил в качестве а„ взять следу- Действительно, а3 = 1, 2 ющие четырехрядные матрицы: 1 0 О 0 0 1 0 0 0 0 — 1 0 оо о четырехрядная 0001 0010 0100 1000 (71.30) а2 = (71.29) О 0 0 0 0 г О 0 — 10 0 1000 аа 0 0 1 0 0 0 0 — 1 1 0 0 О 0 — !00 а3= Непосредственным перемножением и сложением матриц (71.29) нетрудно убедиться, что они удовлетворяют соотношениям (71.23), понимая, что в их правой части стоит единичная матрица.
Например, для и, имеем а,+а,= 2 2 ! 000 0100 0010 0001 1ОО 010 001 000 0 0 0 1 1000 0100 00! 0 О О О! 1 7! Релятивистские волновые уравнения 387 где 1-единичная матрица: 1000 0100 0010 0001 Аналогично, для а2 и аа соотношение (71.27) принимает вид О О 0 — ! 00 с'0 п2 е3 + в3 а2 х 0 -100 ! 0 0 0 0010 0 0 0 — 1 1 0 0 0 0 — !00 00 10 0 0 0 — 1 10 00 0 — 100 0 0 0 0 0 г 0 — 2 0 1 0 0 0100 1000 0001 0010 0 — 1 0 0 — 1 О 0 0 0 0 Π— 1 0 0 — ! 0 ОООО 0000 0000 0000 388 14 Релятивистские эффекты в атомной физике т.е. действительно аг аз + аз аг = О, где под 0 понимается нулевая мат рица: 0000 0000 0000 0000 (7 !.31) Нетрудно проверить, что матрицы а„ являются эрмитовыми матрицами, для которых а„= а„, где операция эрмитова сопряжения означает перестановку элементов матрицы в другие места, симметричные относительно главной диагонали, и взятие комплексного сопряжения к этим элементам.
Например, С учетом (71.24) уравнение Дирака для свободной частицы может быть записано следующим образом: Š— сд а (з Ч'=О. и Поскольку а„— четырехрядные матрицы, волновая функция Ч' в (71.32) должна иметь четыре компоненты, ко~орые удобно записать в виде столбца: Ч', !г !з ! 4 (71.33) Поэтому уравнение Дирака (7!.32) является системой четырех линейных уравнений относительно четырех компонент волновой функции Ч'. Произведя перемножения на матрицы а„, указанные в (71.32), можно эту сйстему уравнений записать в виде (Š— а«ес ) Ч'! — СА г)1у) 14 — с,д, 'Рз = О, (Š— ™е«) Ч', — сА+ «Ру) '!'3+ +сР,Ч« =О, (71.34) (Е+ лг сг) Ч'з — с(ф„— «рт) Ч'!в — с!Э, Ч'! = О, (Е+ л«ест) Ч' — с(р„Ч- гл,) Ч', + +сыч! =О, Уравнение Дирака (71.32) удобно также переписать по-другому.
Введем векторную матрицу а, компонентами которой по осям координат являются а„а„аз, т.е. «' = (а! пг оз). (71.35) Тогда Гсм. (71,32)3 (Š— с(а р) — иге с' рз! Ч' = О, (7136) где матрица ао обозначена через р„ как это принято (р, = а ). Выписывая в явном виде операторы Е и р, имеем Йс сй — —; — Ч' — —,(а т«) Ч' — л«ес рз Ч« = О. ! дг (71.37) Эрмитова сопряженная волновая функция Ч' = (Чз«, Ч'г, Ч'з, Чтя). (71.38) Сопряженная волновая функция Чт' ставится слева от четырехрядных матриц, чтобы соблюсти правила умножения матриц.
Кроме того, необходимо везде перейти к комплексно-сопряженным величинам. Поэтому уравнение (71.37) относительно сопряженной функции имеет вид ад сд + — — Ч" + — (Ч Ч " ) —, с' Ч ' = 0 ! д« (71.39) Расписав это уравнение по компонентам, получим систему уравнений, которая совпадает с системой (71.34), если в последней перейти к комплексно-сопряженным величинам. 1 71.
Релятивистские волновые уравнения 388 Для того чтобы получить выражения для плотности заряда и плотности тока, умножим уравнение (71.39) справа на (| д|Ь) Чг, а уравнение (71.37)-слева на («д(й) Ч)' и из первого уравнения вычтем второе уравнение. В результате получаем уравнение — (д 'Р' Ч') + сйу (д с Ч" а Ч') = 0 дт (д = — е), (71.40) которое имеет вид уравнения непрерывности в классической электродинамике.
Отсюда заключаем, что выражения для плотности заряда и тока записываются следующим образом: р=д Ч|' Ч|, ! = дс Ч" а Ч'. (7! .41 а) (71.4 ! 6) Эти выражения для плотности заряда и тока сохраняют свой вид и при наличии внешнего поля, поскольку в этом случае в левую часть уравнений (71.37) и (71.39) добавляется соответствующий член, который после умножения уравнений на сопряженную функцию и вычитания сокращается. Из выражения (71.41а) находим концентрацию частиц: Рд 1 «(«1 «2 «3 14) Ч', х Ч' (71.42) 13 4 11 1+ 2 !2+ «3 «3+ 14 4' Это неотрицательная величина. Значит, трудность с отрицательной энергией, свойственная уравнению Клейна-Гордона, преодолена.
Чтобы выяснить, чему равен спин частиц, описываемых уравнением Ди- при движении с гамильтонианом (71.44). Вычислим коммутатор Г„с Й: Й 4|, — 4|, Й = (с 671) (а, г — а2 7|„) м О. (71.46) Таким образом, коммутатор орбитального момента «.1 с гамильтонианом не равен нулю. Это означает, что орбитальный момент частицы, описываемой уравнением Дирака, не сохраняется. Следовательно, частица имеет внутренний момент, или спин. В центрально-симметричном поле сохраняется полный момент частицы, т.е.
сумма ее орбитального момента и спина. Нетрудно проверить, что с гамильтонианом (71.44) коммутирует оператор «э = «е + (6/2) а, где а = (о„, о|4 о,) — векторная четырехрядная матрйца, компоненты которой (71.47) рака, рассмотрим частицу, движущуюся в центрально-симметричном поле. В этом случае потенциальная энергия частицы зависит только от расстояния г до центра, т. е, имеет вид Е„(г). Уравнение Дирака при наличйи центрально-симметричного поля Е„(г) получается из (71.36) с добавлением члена, представляющего потенциальную энергию: (Š— с(а р) — те ст р, — Е„) Ч' = О. (71.43) Гамильтониан частицы, движущейся в центрально-симметричном поле, записывается следующим образом: Й= с(а.Р)+ Я|ест Р ~- Е„(г).
(7!.44) Некоторая величина является интегралом движения в том случае, если представляющий ее оператор коммутирует с гамильтонианом. Рассмотрим орбитальный момент импульса частицы «ч=гх р (71.45) 390 14 Релятивистские эффекты в атомной физике 0100 1000 0001 0010 (71.48) 0 — 1 О 0 1' 0 0 0 0 0 0 — ! 0 0 1' 0 гг = у 1 0 0 0 0 — 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 — 1 Оператор 1., = (6/2) е (71.49) является оператором спина.
Собственные значения У-й составляющей оператора спина равны +й/2: 1000 0 — 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 — 1 Ч', Ч', — (71.50) л Чу 3 2 ЧУ 3 4 — Ч4 Отсюда замечаем, что спин частиц, описываемых уравнением Дирака, ра- вен '/ . Квадрат полного спина 232 (ег/4) (,тг + 132+,тг) 3(3 н Ц Лг = 3 Лг/4, г = 1/2. (71.51) Поэтому уравнение Дирака применимо для электрона.
Кроме того, это уравнение применимо для нейтрона и протона, спин которых также равен 1/2. Все правила вычислений, которые были изложены в нерелятивистской квантовой теории, сохраняют свою силу и для волновых функций Дирака, имеющих четыре компоненты. Математически наличие четырех компонент у волновой функции проявляется в том, что в вычислениях возникают дополнительные суммирования по индексам этих компонент. Например, условие нормировки волновой функции имеет вид ) Ч" Ч' 4««У= 1.
(71.52) В компонентах это условие записывается следующим образом: г(Ч1 «1 ! «2 «2+ «3 «3+ !4Ч4)4«~ (71.53) т. е. добавляется суммирование по индексам компонент волновой функции. Вычислим среднее значение У-й проекции спина. По определению среднего, ( «,4 ) = ) Ч' «4, Ч' 1««у=- (Б/2) х х ) Ч" 13, ЧУ 4««У= (л/2) ) (Ч', Ч',— «г «г+ «3 «3 — '!'4 '«'4) 11 К (71.54) где использовано выражение о, по (71.48). В вычисление снова вошло суммирование по компонентам волновой функции.
Из (71.50) и (71.54) можно заключить, что компоненты Ч', и Ч' описывают состояние электройа, в котором его спин имеет составляющую в направлении положительных значений оси У, а компоненты Ч' и Ч'4 описывают состояние электрона со спнном в направлении отрицательных значений оси У. Вообще говоря, обычно электрон находится в суперпозиции состояний и все четыре компоненты волновой функции отличны от нуля. Так как уравнение Дирака получено из релятивистски инвариантного соотношения (71.22), то представляется вероятным, что оно релятивистски инвариантно.
Это утверждение «71. Релятивистские волновые уравнения 391 может быть строго доказано. Из требования инвариантности уравнения Дирака относительно преобразований Лоренца могут быть получены правила преобразования волновой функции при преобразованиях Лоренца. Оказывается„что компоненты волновой функции преобразуются при этом друг через друга. Однако соответствующих вычислений мы здесь приводить не будем. Волновая функциа свободного электрона. В качестве примера четырехкомпонентной волновой функции рассмотрим волновую функцию свободного электрона Ч',(г, з) (71.55) '«'3 (з; з) « а (г, з) Не ограничивая общности, можно считать, что электрон движется вдоль оси 2; и положить: р„=р„=о, р,~о. (71.56) По аналогии с формулой (25,24а) для нерелятивистского случая будем искать решение для каждой компоненты в виде плоских волн: Ч',(г, з) = А Ь, е 'в' '*'"", (71.57) где А — общая для всех компонент нормировочная постоянная.
В случае нормировки на длину периодичности «. имеем А = Е з". Коэффициенты Ь,. определяются из условия, чтобы волновая функция удовлетворяла уравнению Дирака. Равенство Ч'+ Ч' = А А (Ьз Ь! + Ь, !»з + Ьз Ьз + + Ь', Ь,) (7!.58) показывает, что коэффициенты Ь,. должны удовлетворять следующему условию нормировки; Ь» Ь» + Ь; Ьз + Ь; Ьз + Ьз Ьз = 1, (71 59) Подставляя (71.57) в (71.34) и сокращая обе части всех уравнений на общий множитель А ехр ! — ЦЕ !— — р,г)л«, находим для определения коэффициентов Ь, следующую систе- му уравнений: (Š— н»с с') Ь, — с р, Ьз — — О, (Š— та с»)Ь» + ср, Ьз = О, (71.60) (Е+ тес )Ь» — ср,Ь, = О, (Е+ тес») Ь + ср,Ь» = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
