А.Н. Матвеев - Атомная физика (1120551), страница 106
Текст из файла (страница 106)
Однородная система линейных уравнений будет иметь нетривиаль- ное решение, если ее детерминант ра- вен нулю: (71.61) что является выражением релятивистской связи между полной энергией и импульсом частицы (см. (71.11)«. Из (71.61) следует, что Š— +с ~рз + т'с» (71.62) т.е. уравнение Дирака допускает для электрона как положительные полные энергии, так и отрицательные. В случае Е > О Е = с' /рз + тз с (71.63) и получаем следующие два линейно независимых решения: Ь, = (1/,„~'2),„~'1 + те с /Е, Ьз = О, (71.64а) Ьз =(1/ /2) /1 — тес'/Е, Ь =О, Ь» = О Ьз = (1/к/2) и/1 + те С/Е, (71.646) Ь»=0, Ь = — (1/ /2) /1 — т с/Е. Множитель 1/ у/2 появляется из условия нормировки (7!.59). В случае Е < О Е= — с /рз+ тзсз (71.65) и также получается два линейно независимых решения: 392 14 Релятивистские аффекты в атомной физике Ь, =(1/т,/2),/1 — тес /!Е!, Ьт = О, Ьз = (1/,/2),„/! + вайо сз/ )Е ), Ьа —— О, Ь, =О, Ьт =(1/ /2) /! — тлас~/~Е), (71.666) Ьз = О, Ь4 = (1/,/2),/1 + тес /!Е~.
Чтобы выяснить физический смысл состояний а) и б), воспользуемся формулой (71.50) для собственных значений проекций спина на ось с. Учитывая, что в состоянии а) компоненты Ч', и Чтя обращаются в нуль, а в состояйии б) нулю равны компоненты Ч', и Ч', заключаем, что волновые функции а) описываю~ состояние, когда спин электрона ориентирован вдоль положительного направления оси с., а состояние б) соответствует ориентировке спина электрона вдоль отрицательного направления оси Е.
Таким образом, четыре линейно независимых решения (71.64) и (71.66) соответствуют четырем возможным комбинациям двух знаков полной энергии электрона и двум возможным направлениям ориентировки спина. Отрицательные значения полной энергии электрона с первого взгляда представляются не имеющими физического смысла. Однако более глубокий анализ показал физическую содержательность этого понятия н привел к открытию античастицы для электрона, названной лозитлроном. В нерелятивистском случае, когда о/с«1, ~иа сг/Е /1 ет/ст ! ег/(2 ст) (71 67) и поэтому волновые функции (71.64) и (71.66) принимают с точностью до величин е/с вид для Е > 0 и д' < 0: Ь,ж1, 6~=0, Ь, е/(2с), Ь,=О, (71.68а) Ь|=0, Ь се 1, Ьз=О, Ьаю — е/(2с)„ (7!.686) Ь,=а/(2с), Ьз -— 0 Ьз= 1 Ьа=О (71.69а) Ь1 — О, Ьт х е/(2с), Ьз = О, Ь4 яе 1, (7 !.69б) т.е.
в каждом из состояний существенно отличной от нуля является лишь одна компонента. Это, однако, не означает, что в нерелятивистском случае волновая функция из четырех- компонентной превращается в одно- компонентную волновую функцию и, следовательно, спиновые эффекты пропадают.
Дело в том, что отличной от нуля является в каждом из состояний различная компонента. Поэтому при определении, например, среднего значения спина вдоль оси с принимается во внимание лишь одна компонента волновой функции, но эта компонента различна для различных состояний и приводит к различному результату вычислений. Переход к не- релятивистскому случаю не означает перехода к однокомпонентпой водновой функции, а позволяет выяснить относительную роль различных компонент волновой функции в нерелятивистском случае. Второе замечание, связанное с переходом к нерелятивистскому случаю, заключается в следующем. Из (71.68а) видно, что коэффициенты Ьз и Ь4 в нерелятнвистском случае имеют относительно коэффициентов Ь, и Ь, порядок г/с по сравнению с едийицей.
Это означает, что функции Ч'з и Чтя в нерелятивистском случае малы по сравнению с функциями Ч', и Ч', Это заключение имеет общий характер, как это непосредственно видно из системы уравнений (71.34). в нерелятивистском случае Е = тост и, следовательно, Ч' и Ч'„малы по сравнению с ЧтиЧ2 Релятивистские аффекты в атомной фиаике 393 72. Релятивистские эффекты в атомной физике Иэдагается кояичесэ.венная теория ~онкой струк туры уровней энергии агома водорода и обсуи даются состоюгия с огринатеиьной энергией Уровни энергии бесснииовой частицы в кулоиввском поле.
Зависимость массы от скорости приводит к изменению уровней энергии частицы, движущейся в кулоновском поле. Чтобы проанализировать этот релятивистский эффект, рассмотрим бесспиновую частицу, движущуюся в кулоновском поле ядра. Допустим, что масса ядра, вокруг которого движется бесспиновая частица, много больше массы этой частицы. Благодаря этому ядро можно считать неподвижным. Соотношение между полной энергией, импульсом и потенциальной энергией в кулоновском поле имеет вид Е = с /ФЬЮ + гдоэсэ 2еэу(4киог), (72.1) где Уе-заряд ядра, е — заряд частицы, гас-ее масса покоя. Отсюда получаем ойераторное равенство 1Е+ Хеэ1(4киог)1э = сарг + нгогса, (72.2) которое приводит к уравнению Клейна †Гордо для частицы в кулоновском поле ядра: — —,— + — + (72.3) Полагая Чг(Г у) Чг(Г)Š— КИ-;.и,свгг~я (72.4) получаем релятивистское уравнение стационарных состояний: 1 РгЧг + — х эдэ э ьгэ х (Е+ гное + — ) — тиос ~Чг = О.
у~ 4"но и (72. 5) Здесь Е-энергия электрона без энергии, соответствующей массе покоя. Решение этого уравнения проводится аналогично решению нерелятивистского уравнения Шредингера (28.1). Полагая Ч' = Я(г)Уг (в,гр), (72.6) находим для радиальной волновой функции Я (см. (30.1)) (72.7а) где А = — 1 — 1+ —, (72,76) (72.7в) 2В= !+в а = е'((4ка сй) - ггостоянная тонкой структуры. Чтобы перейти к нерелятивистскому случаю, надо учесть, что Е «эпоса. Поэтому вместо формул (72.7б) и (72.7в) получаем А = — 2гиоЕ78~ 2В = ЪноХи'гг(4киой') (72.8) что совпадает с выражениями этих величин в нерелятивистской теории (см. (30.2)3.
Очевидно, что переход к нерелятивистскому случаю эквивалентен устремлению скорости света к бесконечности (с — со). Следовательно, при этом переходе необходимо считать, что постоянная тонкой структуры а стремится к нулю, поскольку в ее выражении скорость света входит в знаменатель. Таким образом, релятивистское уравнение (72.7а) в нерелятивистском случае переходит в уравнение (30.1). Чтобы для решения уравнения 394 14 Релятивистские аффекте в атомной физике (72.7а) воспользоваться результатами решения нерелятивистского уравнения (30.1), введем число !' по формуле !'(!' + 1) = !(1+ 1) — агат, (72 9) откуда 172 + ~(1+ 172)г агат (72 10) С помощью !' уравнение (72.7а) записывается следующим образом: + — А + — —, ~ Я = О.
(72.11) 2В !'(!' + 1)1 г г Это уравнение совпадает с нерелятивистским уравнением (30.1). Надо лишь потребовать, чтобы в качестве Е было взято положительное значение корня в (72.10), т.е. значение со знаком плюс перед корнем, считая, что га ( 1/2. Тогда при решении уравнения (71.11) можно повторить буквально все утверждения, которые были сделаны при решении уравнения (30.1) с заменой ! на !'. Условие обрыва ряда (30.23) принимает вид В! ~А — ! — ! — ~ = В7,/А — 172— — 4 г' оста г— т — ~=0. (12!а Это условие обрыва ряда является условием квантования энергии. Выражая в (72.12) величины А и В по формулам (72.7б) и (72.7в), получаем следующие формулы для уровней энергии бесспиновой частицы в кулоновском поле ядра: аге,г — го Е,= 1+ х е, ~я, „еттяг-,'тт — *.
х гиосг — игаса. (72.13) Выражение, стоящее в квадратных скобках, можно разложить в ряд по пгниг «1 Сохраняя первые два члена, не рав- ные нулю, находим ги е,ге ! ~ аг7г и З~~ 32я а46 й(. и 1,!+ '7, 4/)' (72.14) где и = ! + !с + 1 -главное квантовое число. Главный член этой формулы совпадает с выражением (30.24) для уровней энергии частицы в нерелятивистской теории. Член, пропорциональный квадрату постоянной тонкой структуры аг = (1/137)г, дает релятивистскую поправку к уровням энергии, которая учитывает релятивистский эффект зависимости массы от скорости. Притщипиальное отличие формулы (72.14) для атома водорода от нерелятивистской формулы состоит в том, что в релятивистском случае энергия зависит от орбитального квантового числа, т.е. снимается вырождение по !.
Благодаря этому каждый энергетический уровень с главным квантовым числом и расщепляется на и подуровней, соответствующих значениям ! от 0 до и — 1. Расщепление энергетических уровней пропорционально а', т.е. мало. Оно приводит к расщеплению соответствующих линий излучения и порождает тонкую структуру линий излучения. С помощью формулы (72.14) нетрудно подсчитать расщепление линий излучения. В частности, для дублетного расщепления серии Баль- мера (и = 2) получается формула зто = (Егг Его)79 = аггиое~7(192я~е~ой ). (72.15) Эта величина примерно в три раза превосходит величину, полученную для расщепления соответствующей линии излучения атома водорода из эксперимента. Причиной этого расхождения является наличие у электрона спина, который не учитывается уравнением Клейна †Гордо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
