Учебник (3) (1120409), страница 7
Текст из файла (страница 7)
( 181. 184. — ад — х — а х. з ах+ д+ (а+ 1)хз, х+ ау. ах+ а злпд, 151. ~ ах — а д. 153. ау — фй х. Х = У1 д = — х(1+х~) — ад. х = Зу — ау, д = 2х + (2 — а)д. д — ах — у 3 3 — (а+ 1)х — ау. 138*. Пусть ~(1, х) Е Сл, х Е лл" и пусть разность каждых двух решений уравнения х = Я, х) стремится к нулю при 1 — ~ +со. Следует ли отсюда при каком-либо н, что всякое решение етого уравнения асимптотически устойчиво2 Ь 25. Фавовая плоскость х = — их+ (а — 1)у, 155.
у=х+ау . 156. е) При каких а Е Л существуют ограниченные при — оо < 1 < оо решения системы х, = 2у — 4х+1, у = 2х — у+ и. Найти все такие решении. б) Устойчивы ли они? 157. Устойчиво ли решение системы х=х — у, д=2х — у+6вш с, имеющее период я? В задачах 158 — 160 я) найти все значении параметра и Е Л, при которых все решения уравнения неограничены при Ь > 0 (не требуется отыскивать решения); б) выяснить, являются ли эти решения устойчивыми или есимптотически устойчивыми. 158. х + ах = вьп с. 159.
'х' + х = соз ис. 160. т + ах. = сов а1. В 25. ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ 1. Траектории линейных систем 161. При каких соотношениях между коэффициентами оо Ь, с., 4 особая точка системы х = ах+ Ьу, у = ох+ ду нвляется я) седлом, б) узлом? 162. При каких а, Ь, с, д для каждого решения системы х = ах + Ьд, у = сх + сЬу полярный угол точки (х(?), у(2)) возрастает при увеличении Ь? В задачах 163 — 165 определить тип особой точки и нарисовать траектории системы на плоскости х, у.
145 Ь 25. Фавовая плоскость я = я+Зу, лс=х — бу, 163.. 164. ~, ~ ~ ~ ~ с ~ ~ ~> ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ г ~ ~ ) ! у=5у — я. ( у = бт — 5д. я=у+я — 4, 165. у =Зу — хь 166. При каких а особая точка системы т = а(т + у), у = азу является седлом? 167. а) Может ли траектория системы т=2у — х, у=За — 2у из точки ( — а — 1, — 1) попасть в точку (1, аз + 1)? б) Устойчиво ли положение равновесия'? 168. а) определить тип особой точки и нарисовать траектории системы д — Ьу+ я я = аж — у, при а=-2, Ь= -3. б) На плоскости параметров а, Ь указать такую область, что при любых (о, Ь) из этой области вторая компонента д(Ь) любого решенин указанной выше системы имеет бесконечно много нулей при 1 > О.
169. Рассматривается система лс = азж — у, у = 5х — (3+ 2а)у. а) Будет ли нулевое решение системы при а = 1 асимптотически устойчивым? Обосновать ответ. б) Нарисовать траектории системы при а = -3. в) Существует ли такое значение а Е Л, при котором траектории замкнутые кривые? В задачах 170 †1 исследовать а) при каких значениях параметра а Е Й нулевое решение асимптотически устойчиво и при каких — устойчиво: б) при каких значениях параметра а Е?? особая точка— седло? узел? фокус? в) при указанном значении а дать чертеж траекторий. 146 З 25. Фазовая плоскость х=х+ау, 170.
' а = —. у = ах+у:, х= от,+у, 171. ' а=1. у = ау — (2а+ 1)х. х = 2ах+у, а = 1. у = ау — 2ах: х = х+ (2 — а)у, 1ТЗ. ' а 4 у = ах — Зу; 2. Траектории нелинейных систем 174. Найти и нарисовать траектории системы х=х — Зху у=Зх у — у. 1ТЗ. Имеет ли уравнение т, + хь = 0 ненулевые решения, определенные при — со < 1 < оо? 176.
Имеются ли у уравнения х = 4х — 4тз неограниченные решения? 177. Перейти от уравнения х+ ах+ х — хз = 0 к автономной системе двух уравнений. Для этой системы а) найти особые точки; б) указать значенин а, прн которых все эти точки неустойчивы; в) существует ли значение и, при котором ровно две особые точки устойчивы? 178. Для уравнения х + 4х — 6тз = 0 а) найти уравнение у = ~р(х) траектории, проходящей через точку (1,0); б) нарисовать эту траекторию., учитывая значение предела !нв л; к-ьоо в) найти решение данного уравнения с начальными условиями х(0) = 1, х(0) = О. 179.
Для уравнения х = — и'(х), где и(х) = — ха + хз — 1, а) дать чертеж траекторий на фазовой плоскости; 147 г 25. Фазовая плоскость б) найти особые точки и исследовать их на устойчивость: в) найти наклоны сепаратрис и периоды малых колебаний; г) добавить +ах в левую часть уравнения и для а ) 0 исследовать типы особых точек полученного уравнения. 180. Для уравнения х = 2х — 2хг провести такое же исследование, как в предыдущей задаче. 181. Для уравнения х + х = хг а) найти и исследовать особые точки на фазовой плоскости; б) найти решение х(2), убывающее и стремящееся к 1 при 1 — ь +со, а также его траекторию на фазовой плоскости; в) вынснить, при каких а решение с начальными условинми х~О) = О, х(0) = и периодическое; г) указать на фазовой плоскости область, заполненную замкнутыми траекториями; д) устойчиво ли решение с начальными условиями х(0) = О, х(0) = — "? В задачах 182 и 183 а) дать чертеж траекторий на фазовой плоскости: б) найти особые точки и исследовать нх на устойчивость; в) выяснить, определены ли все решения при — оо < 2 < оо.
х=х-х', 183. У= У. 184*. Для системы у=х +х у — т, х=у ху у1 а) найти все особые точки; б) линеаризовать систему в каждой из точек (О., 0), (1, 0), (,Гг' Я): в) исследовать устойчивость этих линеаризованных систем; г) исследовать на устойчивость те же три особые точки для исходной системы; д) дать чертеж траекторий на фазовой плоскости; 148 З 26. Дифференцирование решения по параметру е) выяснить, имеет ли данная система неограниченные решения; ж) описать множество точек, через которые проходят периодические решения.
8 26. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ РЕШЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ И ПО НАЧАЛЬНЫМ УСЛОВИЯМ 1. Дифференцирование по параметру 185. Сформулировать теорему о дифференцируемости решения системы дифференциальных уравнений по параметру. Написать систему дифференциальных уравнений в вариациях. В задачах 186 — 194 найти производную от решения данного дифференциального уравнения (или системы) по параметру р прн р = О.
186. у' = их+ — (х > 0), у(1) = 1 — 2р. 187. у' = л+ рхс " (х > 0), у(1) = 1+ 2р. 188. у' = у — х+ ух аз". у(Ц = 2 — рь 189. у' = ух+ япд, у(0) = 2~л. 190. х = хяпх+яп(хз), х(0) = р, х(0) = р. 191. х = х+ з!п(хз), х(0) = р, х(0) = улз. 192.
х+ х = 2раш1+ рхз, х(0) = О, х(0) = О. 193. х — 2х = рУх, х(0) = 4, х(0) = у~ + Зр. 194. х = у, у = х+ 4руз, х(0) = 2 — 480 у(0) = О. 2. Дифференцирование по начальным условиям 195. Сформулировать теорему о дифференцируемости решения системы дифференциальных уравнений по началь- 'З'27. Уравнения с частными ароилводлл ми 149 ным условинм. Написать систему уравнений в вариациях и начальные условия для нее. 196. Доказать, что в слУчае У Е Нл пРоизводнаЯ по Уо от решения задачи у' = Г(х, у), у(хо) = уо всегда положительна (предполагается р Е С ). В задачах 197 †1 найти производную от решенин по уо при уо = О. У к в за н и е.
При уо = 0 каждая из этих задач имеет нулевое решение. 197. у' = 2ху+ шпу, у(1) = до. 198. У' = Уз в!их+ Усоах. У(0) = Уо. (х=у — т+х,, 199. $ . х(0) = О, д(0) = уо. (у=у †-ьхд, 200*. х+ а!пх = О, х(0) = о, х(0) = (ч. Найти о * при о = )! = О. 3. Разложение решения по степеням параметра В задачах 201 и 202 найти разложение решения по степеням параметра р до рз включительно. 201. у' = бух+ л„(х > 1), у(1) = 1 — йа 202 х = 2х — 2хз, х(0) =! х(0 ~ 27.
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1. Теоретические вопросы 203. Написать общий вид квазилинейного уравнения с частными производными первого порядка. Что называетсн характеристикой этого уравнения! 150 "З 27. Уравнения с час»иными производными 204. Сформулировать и доказать утверждение о связи решении уравнения с его характеристиками. 205. Как можно использовать первые интегралы некоторой вспомогательной системы дифференциальных уравнений длн получения решения данного уравнения с частными производными? 206. Сформулировать постановку задачи Коши для квазилинейного уравнения с частными производными и теорему существовании ее решения. 207.
Сформулировать и доказать теорему о существовании решения задачи Коши для квазилинейного уравнения с частными производными первого порядка. 2. Задачи 208. Найти общее решение уравнения Решить следующие задачи Коши (209 — 215). 209. хуа' +хзв — — узз з = 1+ у при х = 1. 210 ав (з з)а 2 з з+ .прн 2д у'~» з хе'~» = де, з = — уз при х = 0, 212. хеф + узф = тз + у, е = 4дз при х = Зд~. 213. Уха' +:суа» = хзе, е = е" зз при х = 2У. 214. ха' + за' — — е+ 2х, е = х пуи У = 4 — х .
'де ди 215.ха'+Уа' — — х+У+е, з=х+Уприу=х+1. Решить следующие задачи Коши (216 — 218) в тех случаях, когда решение существует. 216. ф + 2$ = 5, з = 0 при у =?сх. 217. ао» + Зф = 2, а) г = Уз пРи х = 1; б) е=2х прид=Зх. 218. 2ф — оа' = 2, е = 2оУ пРи х = (аз + а — 2)У. .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
