Учебник (3) (1120409), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Перейти от уравнения е* до' и- лд = 2дд' к системе нормального вида и при начальных условиях д(0) = 1, д'(О) = 1, дн(0) = 0 построить два последовательные приближении к решению. 10. Построить три последовательные приближения до, ды дз к решению задачи д'=21+у', д[0) =1. 130 г 21. Существование и единственность решения 11. а) Задачу у' = у + х, у(1) = 0 свести к интегральному уравнению и построить последовательные приближения Уо Ух Уг. б) Указать какой-либо отрезок, на котором сходятся последовательные приближения, и доказать их равномерную сходимость.
12. Существует ли решение задачи ( 1 при у ( 0 у = 1(у), у(0) = О, где 1(у) = ~ — 1приху)0? Обосновать ответ. 13. а) Свести задачу у'=,, д(1)=0, у'(1)=1, уи(1)=2 (у' - . ) к задаче дли системы нормального вида. б) При каких о,существование и единственность решении гарантируется теоремой? 14.
а) Указать все значении параметров а, о, А, при которых теорема существования и единственности гарантирует однозначную разрешимость задачи (а?+ а)у'о+ 2гхуи — (а — 1)г~уфйг = 1п 3 — 1 д(а) = 1, у'(и) = А, до(а) = а. б) На какой максимальный интервал можно продолжить решение этой задачи в случае а = — 1, а = — 2, А = — 3? 15. Задачу ху' = ле — 4, у( — 2) = 4 свести к интегральному уравнению, построить последовательные приближения и найти их предел.
16. При каких начальных условиях существование единственного решения уравнения до' зхпх+ х 1п у+ ф х = 1 гарантируетсн теоремой'( З 21. Существование и единственность решения 131 3. Применение теоремы единственности 1Т. Для уравнения ув = " — 1 известны два решения: зз уз —— 1+ зупх, уз — — (Д + 1), проходящие через точку (О, 1). Как зто согласуется с теоремой единственностну В задачах 18 — 22 требуется выяснить, при каких я, наличие указанных решений у написанных уравнений не противоречит теореме единственности. 18. ун' = Дв, у, у', ув), )' Е С, решения уз = 1+1+ п1з, уз = 1/(1 — «) ( — 1 < 1 < 1/2). 19.
убй = у" (х, у, у', ..., у~" ~>),,)' Е С~, решения уз = = 2совх, уз = 2 — х~. 20. убй + аз(х)у~н Н + ... + а„(х)у = О, все а;(х) непрерывны, решение у1 = х(е' — 1). Рнс. 10 Рнс. 9 21. Уравнение то же, что в задаче 20, график решения уз указан на рис. 9 22. Уравнение то же, что в задаче 20, график решения уз указан на рис. 10.
23. Сколько решений имеет задача (а — 4а)ув'+ (а + 2а)уо + у' — 2у = х+ а, у(1) = О, у'(1) = 1 в зависимости от значений параметра а? 24. Тот же вопрос для задачи (1 — аз)(аун' — уо) = ау' + у~, у(0) = 2, у'(0) = 4. 132 2 21. Существование и единственность решения 25. Сколько решений имеет задача убб = х+ и' у(-1) = и: у'(-1) = О в зависимости от а и п? 26. Тот же вопрос для задачи урй = 2у — изх, у(1) = 1, у'(1) = а. 2?. Тот же вопрос для задачи (М . + 2у! + у2 у( 1) ]п(4, и) уь( 1) 4. Прадалжение решений 28. Существует ли при — оо < х < со решение задачи у' = е "зш(е")ь у(0) = О? 29.
Для задачи (2 — хз)р' — ху' = О, у(хо) = уо1 где хо = Еььь ',у = — 2, а) определить максимальный интервал существования решения; б) нарисовать график решения. 30. а) Найти все решения уравнения ! 2~( 2 2) б) Найти непродолжаемое решение этого уравнения с начальным условием у( — ьс'3) = 1/(1п~сяз — 3 — 1) и нарисовать его график. 31. Доказать, что решение задачи у' = х — 32, у(1) = 0 может быть продолжено на полуинтервал 1 < х < оо.
32. Имеет ли система бх/о? = аьп р, с?у/Ж = хз решение, которое нельзя продолжить на интервал -со < 2 < оо? 33*. Доказать, что решение задачи у' = х + уз, у(0)=0 не продолжается на полуинтервал 0 <х < оо. 34*. На каком интервале можно гарантировать существование решения задачи 1 /о1 а, — — 1(2,х) (2ЕЛ, хай", ? ЕС), х(0) = °, если о )?(2, х)) < )х)2? Дать неулучшаемую оценку интервала, общую для всех таких ?(2, х), и подтвердить неулучшаемость примером.
'222. Общая теория линейных уравнений и систем 133 322. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ 'УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ 1. Теоретические вопросы 35. Сформулировать теорему существования и единственности решения линейного уравнения порядка и на заданном интервале. 30. Сформулировать и доказать теорему об общем решении линейной однородной системы. 37. Дать определение фундаментальной системы решений для линейной системы уравнений и доказать ее существование. 38. а) Что называется общим решением линейного неоднородного уравнения? б) Сформулировать теорему об этом решении. 39.
а) Сформулировать основные свойства детерминанта Вронского. б) Пусть И'(1) — детерминант Вронского для скалярных функций ус(Г), ..., 9„(2) класса С". Если И'(2) г— в О при а. < 1 < Ь, то можно ли сделать вывод о линейной зависимости данных функций на отрезке [а, Ь)? Обосновать ответ. 40.
а) Дать определение фундаментальной матрицы. б) Написать фундаментальную матрицу для системы х=р,у=О. 41. Как из одной фундаментальной матрицы можно получить другие? 42. Сформулировать и доказать теорему об оценке решений системы х = А(Г)х (х Е Л"). 43. Сформулировать и доказать теорему существования периодического решении линейного уравнения первого порядка с периодическими коэффициентами.
(Задачи 42 и 43 только длн студентов, которым читались эти теоремы.) 134 г22. Общая теория линейных уравнений и систем 2. Линейные однородные уравнения о р,=О:, о ггг— о Уз = — 2. / г,=О, 1ог — — 2, ~рг = — 1, у~з =О, ! г'г ! 'ггг а) Указать интервал, на который можно продолжить эти решения по известной теореме. б) Составляют ли они фундаментальную систему'? в) Найти явное выражение для их детерминанта Вронского на этом интервале.
44. а) Написать общий вид линейного однородного уравненин порядка п с переменными коэффициентами. При каких требованиях на коэффициенты это уравнение имеет единственное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям? б) Пусть эти требованин выполнены и известно, что уравнение имеет частное решение рг = хь.
Каким может быть порндок уравнения? 45. а) Сформулировать теорему существования и единственности решения уравнения уи'+аг(х)ди+ог(х)у'+аг(х)у = = 0 с начальными условиями. б) Для какого наибольшего натурального числа т наличие у этого уравнения решения у = (е — 1) не противоречит сформулированной теореме? 46. Найти два линейно независимых решения уравнения хгун — 2ху'+ 2у = 0 и их детерминант Вронского. Принимает ли он нулевое значение? Как это согласуется с известными свойствами детерминанта Вронского? 47. Пусть уг(х)., уг(х) — решения уравнении (х + 2)ун— — 3у' + д~Т вЂ” х = 0 с начальными условиями уг(0) =1, уг (0) = О, уг(0) = 3.
уг(0) = 2. а) Указать интервал, на который их можно продолжить. б) Составлнют ли они фундаментальную систему? в) Чему равен детерминант Вронского этих решений при х = — 1? 48. Пусть вгг(1), ~рг(1), уз(Г) решения уравнения — (1+ 1)у'и — 2уи+ 21~у1яг = 0 с начальными условиями при 1= 1: "222. Общая теория линейних уравнений и систем 135 г) Решение у(1) с начальными условиями у(1) = о, у'(1) = Ь, уи(1) = с выразить через р1(с), ~рз(с), соз(1). 49. Существует ли такое значение параметра а, при котором детерминант любой фундаментальной матрицы системы и 1 2 — =Ах, хЕЛ', А= 3 2 0 — 1 0 3 остаетсн постоянным при изменении 1? 50. Сколько линейно независимых решений, определенных при — сс < 1 < оо. имеет уравнение сзх = 90х? Обосновать ответ. 51*. Тот же вопрос для системы гх = 2х, гр = Зд. 52.
Построить линейное однородное уравнение возможно низшего порядка, имеющее на интервале (0,1) такие четыре решения: У1 —— 1 — т, Уз = (х — 2), Уз = х + х — 1, У4 = х — 2х + 2. 53. Известны два решения линейного однородного уравнения 2-го порядка: У1 — — х, дз — — хз — 1. Найти решение с начальными условиями д(2) = 4, у'(2) = — 3. 54. Известны два частных решения у1 — — хз — 2х+ 3, уз —— хе*+2 линейного однородного уравнения 3-го порядка. Достаточно ли этого для отыскания решения с начальными условиями у(0) = 5, у'(О) = — 8, уи(0) = 2? Обосновать ответ.
55. Для уравнения хз(х — Цу'и + хз(5 — Зх)уи + х(бх— — 12)у'+(12 — бх)у = 0 известны два частных решения: у1 = х, дз = хз. Найти общее решение. 56. Для линейного однородного уравнения 3-го порядка известны два частных решения У1 и уз. Описать способ отыскания общего решения. 3. Линейные неоднородные уравнения 57. Известны два частных решения линейного неоднородного уравнения первого порядка: у1 = х, уз = е* . Найти решение с начальным условием у(1) = — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
