Учебник (3) (1120409), страница 3
Текст из файла (страница 3)
1075. у' = з — 51ьх, у(1) = 2. 1076. ху' = рт' + 1п у, у(1) = 1. найти о " р=о найти -'-~ д "' и;о найти де д р р=а найти д '" р=о З18. Зависимость решения от начальных условий 115 1077. р' = — '." — р', р(1) = 1+ Зд. 1078. у' = ео *+др, р(0) = — дн Для уравнений 10Т9 — 1085 с помощью метода малого параметра (см. (4), гл. 2, ~ 8) найти приближенно периодические решения с периодом, равным периоду правой части уравнения; д — малый параметр. 1079. х+ Зх = 2з1п1+ 1ьхг. 1080.
х + бх = соз 21+ рхг. 1081. х + Зх + хз = 29 сов 1. 1082. с+ хг = 1+ дз|п1. 1083. х+ япх = дяп21. 1084". х+ х = яп31 — зш21+ дхг; найти лишь нулевое приближение. 1085*. х + х = бд яп с — хз В задачах 1086 — 1090 с помощью метода малого параметра (см. (4), гл. 2, ч' 8, п. 4) приближенно найти периодические решения данных уравнений. 1086 й+х — хг О 1087 х+х+хз О 1088. х+япх = О. 1089.
х+ х = 1з(1 — хг)х. 1090. х+ х = д(х — тз). В каждой из задач 1091 — 109Т найти в виде степенного рида решение, удовлетворяющее данным начальным условиям. Вычислить несколько первых коэффициентов рнда (до коэффициента при хл включительно). 1091. р' = рг — х; 1092. р' = х + ~~; 1093. р' = р+ хе"; 1094. р' = 2х + соз р; 1095 р' = хг + рз, р(О) = 1. р(О) =1.
р(О) = О. р(О) = О. р(1) = 1. 116 З18. Зависимоснш решения от начальных условий 1096. ун = ху' — дз; 1092. ун = уса+, у(0) = 1, у'(О) = 2. у(0) = 4., у'(О) = -2. В задачах 1100 — 1109 найти линейно независимые решения каждого из данных уравнений в виде степенных рядов. В тех случаях, когда это легко сделать, сумму полученного ряда выразить с помощью элементарных функций. 1100. ун — хзд = О. 1101.
ун — ху' — 2у = О. 1102. (1 — хз)уи — 4ху' — 2у = О. 1108. (,' ь Црн + б .д'+ Зд = О. 1104. (1 — х)уи — 2у' + у = О. 1105. (хз — х+ 1)ун+ (4х — 2)у'+ 2у = О. 1106. ун — ху'+ ху = О. 1107. уо + двоих = О. 1108. хда + д 1п(1 — х) =- О. 1109. у'о — хуо + (х — 2)у' + у = О.
В задачах 1110 — 1116 найти те решения данных уравнений, которые выражаются степенными (или обобщенными степенными) рядами. 1110. хрн -1- 2у'+ ху = О. 1111. 2хзуа + (Зх — 2хз)д' — (х+ 1)у = О. 1098*. Построив мажорирующее уравнение (см. [2), Х 18), оценить снизу радиус сходимости степенного ряда, представлнющего решение уравнения у' = у' — х с начальным условием р(О) =1. 1099*. Оценить, с какой точностью можно получить при ~х~ < 0,2 решение уравнения у' = е" — х~у с начальным условием у(0) = О, если в степенном ряде, представляющем решение, взять только четыре члена (до алх~ включительно). 818.
Зависимость решеиия от иачальнмх условий 117 1112 Охгуо (хг 2) у 1113. хгуо — хгу' + (х, — 2)у = О. 1114. хгуо+ 2ху' — (хг+ 2х+ 2)у = О. 1115. хуи — ху' — у = О. 1116. хуи + у' — ху = О. 1117*. Найти с точностью до 0(хз) при х о О решение уравнения туи+у' — ху = О, линейно независимое с решением, указанным в ответе задачи 1116. В задачах 1118 — 1120 указать, имеют ли данные уравнения решение в виде степенного ряда (или обобщенного степенного ряда). 1118.
тгуо+ ту' — (х+ 2)у = О. 1119. хгдо + ху' + (1 — х)д = О. 1120. хгдо + (Зх — 1)у'+ у = О. В задачах 1121 — 1125 найти в виде тригонометрических рндов (см. ]1], гл. Ъ'1, 8 1, п. 3 или [4], гл. 2, 8 7) периодические решения данных уравнений. 1121. уо — Зд = Д(х), г"(х) = ]х] при ]х] < я, 1(х + 2х) = 1(х). 1122. уо + у'+ у = ] япх]. 1123 уо' — у/ д = 2 "пх 5 — 4созх Указание. Разложение в ряд Фурье правой части уравнения 1123 имеет вид ~ 2 "япох. =ч 1124. уо — ягд = 7(х)., Дх) = х(1 — т) при О ( х ( 1, У( +1) — = У( ) до + Од ~ яп2йх — й' В задачах 1126 — 1129 с помощью метода ломаных Эйлера (с итерацинми или без ннх, см.
(4], гл. 1, 8 6, 8 7) найти 118 г 18. Зависимоппь решения от начаньних условий приближенно на указанном отрезке решения данных уравнений с указанными начальными условиями. Вычисления вести с двумя или тремя десятичными знаками после запятой с шагом 6=0,2 или 6=0,1. 1126. у' = уг + т,, 0 < г: < 1; у(0) = 0,3. 1127. д' = 1 + х, О < х < 1; у(0) = 1. 1128.у'= — * — у, 0<х<1; у(0)=1.
1 ( х ( 2; д(1) = О. 1129. у' = В задачах 1130 — 1135 с помощью метода Адамса или Штермера (см. (4), гл. 1, ~ 7) вычислить приближенно решения написанных ниже уравнений на указанном отрезке. Вычисления вести с тремя знакамн после запятой. Значения решения в начальных точках вычислить с помощью степенного ряда. 1130.у'=у, 0<х<1; у(0)=1.
1131.у'=уг — х, 0<х<1: у(0)=0,5. 1132.у'=1 — х, 0<х<1: у(0)=1. 1133. уг=хг уг, 1<х<2: д(1) =1. 1134.дн=ху, 0<х<1; у(0)=1, у'(0)=0. 1135. хуо + д'+ ху = О, 0 < х, ( 1; у(0) = 1, у'(0) = О. Задачи 1136 — 1140 можно решить, сравнивая наклон поля направлений (определяемого уравнением у' = Г(х, д)) в точках некоторых кривых у = ~р,(х) с наклоном этих кривых. 1136*. Оценить сверху и снизу решение уравнения у' = = 2+ з1пх — уг, 0 ( х < +ос, д(0) = 1.
(11а плоскости х, у построить полосу сч < у < /1, из которой не может выйти это решение.) 1137*. Оценить сверху и снизу решение уравнения у' = = 1 + 2х, 0 < х < +ос, у(0) = 1. 1138*. Доказать, что решение уравнения у'=т — уг с начальным условием у(4) = 2 удовлетворяет неравенствам ч/х — 0,07 < у(х) < з/х при 4 < х < оо. 119 319. Нелинейные системы 1139*. Доказать, что длн решении у(х) уравнения у' = = х — уг с начальным условием р(хо) = ро, где хо ) О, уо Э О, имеем д(х) — ьгх -е 0 при х — г +со.
1140*. Оценить сверху и снизу то периодическое решение уравнения 1г' = 293 — сов' 5х, которое лежит в области у < О. 9 19. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ 1. Систему дифференциальных уравнений люжно свести путем исключения неизвестных к одному уравнению (иногда к нескольким уравнениям с одной неизвестной функцией в каждом). Подробнее см. (1), гл. т'11, 3 1, и.
2, или (4), гл. 3, 3 2. П р и м е р 1. Решить систему уравнений )г+, У х х Решение. Исключаем г из данных уравнений. Из первого уравнения имеем з = зйц Подставляя во второе уравнение, получеем после упрощений хр =(у — ху) . Данная система уравнений (1) приведена к одному уравнению второго порядка.
Это уравнение может быть решено методами, изложенными в 310 (путем понижения порядка). После того как из этого уравнения будет найдено у, следует найти г, пользуясь равенством г = ху . 2. При решении системы уравнений путем исключения неизвестных обычно получается уравнение более высокого порндка, поэтому во многих случанх удобнее решать систему путем отыскания интегрируемых комбинаций (см. (1), гл. т'11, 3 5, и. 2).
П р и м е р 2. Решить систему' (2) Системе (2) записана в симметрической форме. 0 симметрической форме системы дифференциальных уравнений см. (1), гл. тН, 1 5, о. 1, или (4), гл. 3, 5 3. 120 3 19. Нелсьяебяасе систпемы Первые две дроби образуют интегрируемую комбинацию. Сос(з с(У 1 кращая равенство — = — на — и интегрируя получаем первый хг уг г интеграл 1ссаг + агах + ...
+ Й„о„ Ьгбг -Ь Ьгбг -~-... -1- Ь Ь Пользуясь этим свойством, получаем из (2) с((зу) с(г 4(щу) = — 2г с(г. 2зуг — зу' у Йк -~- з с(у с1г у хг -~- х уг — ху Следовательно, щу -~- г = Сг. (4) Очевидно, первый интеграл (3) и первый интеграл (4) независимы.
Система решена. Вместо того чтобы искать вторую интегрируемую комбинацию,можно., воспользовавшись знанием первого интеграла (3), .исключить из системы (2) одно из неизвестных, например, х. Из (3) имеем т = Сгу. Подставлян во второе из уравнений (2), получаем с1У г г г г. Отсюда — Саус(у = гс(г; г = — Ссу + Сг. Подставуг ляя сюда выражение дли Сг из формулы (3), находим еще один первый интеграл: гг -~- зу = Сг. В задачах 1141 — 1160 решить данные системы уравнений. 1141. д' = — *, а г 1142. у' = —,У вЂ”, з' = д+ 1. 1143.
у' = — ' й' е(х — Ц 1144. д' = дгз, г' = -', — дзг. 1145. 2зу' = дг — ге+ 1, г' = з+ у. гО первых интегралах см. (1), гл. УП, 1 4 или (3), 1 23. -*=С,. (3) у Чтобы найти вторую интегрируемую комбинацию, воспользуемся следующим свойством равных дробей: если -"г- = аз = ... = га = сч ьг ь„ = й то при любых Ьс, Ьг, ..., Уп имеем г 19. Нелинейные системы 1146. ге †р х 1147. — ' — ар ит аха р х 1149. их ер е хере» х р. 1150. ах = ех х ан р ех — — р 1152. ах = а~х — ав хх р 1154.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
