Учебник (3) (1120409), страница 6
Текст из файла (страница 6)
136 З 22. Овация теория линейных уравнений и систем 58. Известны три частных решения линейного неоднородного УРавнениЯ 2-го поРЯдка: Уа = х+1, Уз = .с — 1, Уз = 1 — хз. Найти общее решение итого уравнения. 59. Известны три частных решения линейного неоднородного уравнения 2-го порядка: у1 = х~, уз = 1 — х, уз = 1 — Зх. Найти решение с начальными условиями у(0) = 2, у'(0) = О.
60. Даны три функции: у1 — — х + 1, уз — — 1 — 2т., уз = = хз — 3. Составить линейное неоднородное уравнение 2-го порядка, которому они удовлетворяют. 61. Известны два частных решения уа = х — 1 и уз = = (хз — х + 1)?х уравнения (хз — 2х)ун + 4(х — 1)у'+ +2у = = 6х — 6. Найти общее решение.
62. Известны два частных решения у1 — — хе*, уз = (т, — 2) с уравнения хуи — (х+ 1)у'+ у = (х — 1) е . Найти общее решение. 4. Краевые задачи 63. Пусть известно, что уравнение уи + р(х)у' + д(х)у = = 0 с непрерывными на (а, Ь) функциями р(х) и о(х) не имеет решений у(х) ?'=--О, для которых у(а) = у(Ь) = О. Доказать, что для любых чисел с, в? существует единственное решение, длн которого у(а) = с, у(Ь) = с?.
64*. Найти наименьшее положительное число Т такое. что для уравнения х — 2х = 8 з1п 1 разрешима краевая задача 2 с условиями х(0) = — 1, х(Т) = — 1. 65. Известно, что при некоторой непрерывной функции 1(х) краевая задача уи — 2у'+ 2у = ~(х), у(0) = 2, у(н) = — 2 имеет решение.
Единственно ли это решение? 66. Найти наименьшее положительное р, при котором краеван задача уи + ру = О, у(0) = 1, у(1) = 2 не имеет решений. З 23. Линейные ураенения и систелес 137 67. Найти наибольшее из таких чисел а, что при каждом р б (1, а) краевая задача да+ 2у'+ру = О, у(0) = 2, у(х) = 3 имеет решение. 3 23. ЛИНЕЙНЫЕ 'УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 1. Отыскание решений Найти все вещественные решения уравнений 68 — 71. 68. х — 2х+х=ес+э1пс. 69. х+ 4х=(езе+2) йп2г. 70. да+ у = 4х сов т..
71. уи+ у = бхе з'+4ешх. Указать вид общего решения (в задачах 72 и ТЗ общего вещественного решения) с неопределенными коэффициентами. Не находить числовых значений коэффициентов. 72. у'н — 2ди+ у' = Уе'(1+ совр) + с. ТЗ. уи — 4у' + 4у = ез (х + а1п х) . 74. уи — 21у = 8 ее сов х. 75. уи — 2гу' — у = 4 а|их. 76. уи+ 41у' — бу = ее сов 2х.
77. д'и+ 8ед = а1пхсовх. 2. Периодические и ограниченные решения Имеют ли уравнении 78 — 80 периодические решения? 78. р'и + у = соа С З 23. Линеана~е уравнения и системы 79 х+х= (з1п-„) . 80. х — 2х, = 8 зшз?. 81. При каких ы Е В существует периодическое решение уравнения 'х' + 4х = 2 сов еи1? 82.
При каких целых 6 и с уравнение дн'+ Ьзу' = япх+ + сяп т не имеет периодических решений'? 83. а) При каких ы6Л уравнение уйй+4ди'+4у' = созы1 не имеет периодических решений? б) Найти все периодические решения в случае ш = 3. 84. Найти периодическое решение уравнения х+ с+25х = япый Нарисовать график его амплитуды как функцию от ы. 85. При каких целых а уравнение да + азу = зш4х соз 2х а) не имеет решений с периодом я? б)* имеет только одно решение с периодом я? 86*.
Те же вопросы для уравнении да + (а — 1)(а — 2)д'+ а у = яп2х. Для каждого из уравнений 87 и 88 выяснить, при каких а Е Л все решении этого уравнения не ограничены при — со < 1 < оо. 87 т', + ах ч!пз е 88. 'х' + т = соз ат. 89. При каких а Е Л хотя бы одно решение уравнения ун'+ ди — 2у' = е'~+ з1п2а1 ограничено при 1 > О? 90. Тот же вопрос длн уравнения у'и + азу' = созассоз2г.
91. Найти все значения а, о и?1, при которых задача У вЂ” 2х+ 5х = ае соя 21 — 1?зш21, х(0) = о, х(0) =?? имеет решение, ограниченное при 1 > О. я 23. Линейные ураененил и системы 3. Системы уравнений Решить системы 93 — 95. х'=у+х — 4, 93. ~ ~ ~ ~ ~ ~ г У=ЗУ вЂ” х. х = — бу, 94. у = 2х+ 2у. 95.
( х=з — х — у у = х — у — л~ л =о, Лз з — -1. 96. При каких матрицах А все вещественные решения системы х = Ах выражаются тояько через синусы, косинусы и константы? 97. Для одного частного решения системы х = Ах известна только первая координата: хг = с~ + Гсбпу. Каким может быть порядок матрицы А? 98. Найти фундаментальную матрицу системы х = Ах, /егот где А = гг е о о ), нормированную при Ь = О. ггогг'' 99. Доказать, что для системы х = Ах с вещественной кососимметрической матрицей А нормированная при г = 0 фундаментальная матрица при каждом г является ортогональной. 100.
Найти все вещественные периодические решения системы х = 2у — х+ 2 соя с, у = 4У вЂ” 2х+ соя г. 101. Найти решение с периодом л системы х = х — у, у = 2х — у+ бяш г. 92. Пусть х = гр(~) и х = уцг) — решения уравнения 'х' — х+ 4х — 4х = 0 с начальными условиями уг(0) = и, грг(0) = Ь, гргг(0) = с; ф(я) = о, юг(н) = гг, угн(к) = т. Указать какие-нибудь числовые значения и, Ь, с, сг, г), у так, чтобы гр(Ц и ф(Г) были периодическими и линейно независимыми. 140 я 23. Литейные уравнения и систелы 102.
а) Найти все вещественные периодические решения системы х = х — д+ Зя1п21, д = 2х — д. б) Найти все решения с периодом я. 103. При каких а система х = д+ я1п2с, д = — 4х+ и соя 21 имеет периодическое решение? 104. Для каких вещественных чисел а и б все решения системы т, = 2д — 4х + а, д = 2х — д + Ь ограничены при 1 > О? 105. Для каких матриц А каждое решение системы т = Ах ограничено при — оо < ~ < со. 4. Показательная функция матрицы 106. Сформулировать свойства показательной функции матрицы.
В задачах 107 — 110 найти се~ . 107. А= . 108. А= 109.А= О О 0 . 110.А= О 2 О 111. Найти вектор ерл б, если А=(1 ),Ь=(). В задачах 112 — 114 а) не вычисляя матрицу е'л, найти ее детерминант и собственные значения; 141 5 23. Линейние уравнения и системи б) найти еел .
112. А = 113. А = 114. А = О О 115. А = 0 0 1 . Найти с1ех( е'~ с??. 0 1 0 о 116. Нри каких матрицах А имеем е'л — ~ 0 при? — ~ +со? 117. Найти фундаментальную матрицу системы х 5 Ах. 118. Если А -- такая матрица, что ев = Е, то обнзательно ли А=О? 119*. Что можно сказать о жордановой форме матрицы А, если 5 есл ~ ' 1з?5Аьт ь=о 120*. Если при всех ? матрица есл симметрическая, то обязательно лн матрица А симметрическая? 121*. Если е'л е'и = ейл+в>, то обязательно ли АВ = ВА? 122*. Если матрица е'л ортогональная при каждом 1Е Н, то обязательно ли А* = -А? 5.
Линейные системы с периодическими коэффициентами 123. Что называется мультипликатором системы х = А(?)х с периодической матрицей А(?)? 124. Какому условию должны удовлетворять мультипликаторы линейной системы для того, чтобы все ее решения стремились к нулю при? -5 +со? 125. Найти мультипликатор длн уравнения х = (о + +сйп 1)х. 142 З 24. Устоачиеоста 126*.
При каких значениях параметра а Е В уравнение т. = (а+ з1п 1)а+ 1 имеет ровно одно периодическое решение? 127'. Пусть матрица А(Ц имеет период Т, и ~~А(Ц~~ < а при всех й Доказать, что для системы х = А(г)т модули мультипликаторов не превосходят еаг . 3 24. УСТОЙЧИВОСТЬ 1. Теоретические вопросы 128. Дать определение устойчивости по Ляпунову. 129. Сформулировать и доказать теорему об устойчивости при наличии функции Ляпунова о(ж). 130. Сформулировать теорему об устойчивости по первому приближению. 131.
Сформулировать необходимые и достаточные условия устойчивости по Ляпунову нулевого решения системы х = Ах (ж е Л", матрица А постоянная). 132. Доказать, что если одно решение линейной системы устойчиво, то устойчиво каждое решение этой системы. 133. Какому необходимому и достаточному условию должна удовлетворять матрица А, чтобы для любой непрерывной функции 6(1) каждое решение системы т = Аж+ 6(~) было устойчивым по Ляпунову? 134. а) При каких матрицах А система х = Аш имеет более одного положения равновесин? б) При кавих дополнительных предположениях все эти положения равновесия устойчивы? 135.
Система х = Ат, где ш Е ггз, А — постоянная матрица, имеет частное решение, у которого известна только первая координата: жг = е '+ сов д Устойчиво ли нулевое решение? 136. Система т, = Аш (ж Е тт~) имеет частное решение, у которого известны только две координаты: тг —— згп 1 + 2 соз1, аз = сов 2~. Устойчиво ли нулевое решение? 137. Если для системы лг = Ат (т 6 Л") нулевое решение неустойчиво, то обязательно ли оно неустойчиво для каждой системы вида х = Аж + у(ш), где ~д(ж) Е Сг, д(т) = оцх~) при ш — ~ О? 143 З 24. Устпойчивость 2. Исследование устойчивости конкретных систем Для уравнений 139 †1 и систем 145 †1 найти положения равновесия и исследовать их на устойчивость.
139. х = — хл. 141. х = — хзшз х. 143. х = х зш й 145. х=у, у= — хз. 140. х = злпх — х. 142. х = — хелп 1. 144. х = лл~ 146. х = у, у = Зхз — 2х. 142. *' = д †. + ~д — х) з, у = 0. В задачах 148 — 155 выяснить, при каких значениях параметра а нулевое решение является а) асимптотически устойчивым; б) устойчивым, но не асимптотически; в) неустойчивым. 148. ( 148. ( 188.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
