L8_11 (1120163)
Текст из файла
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙСТАТИСТИКИ Распределение ортогональных проекций нормального вектора.Рассмотрим -мерное евклидово пространство,, . Пусть — случайный вектор в этом пространстве, %$ &('*)+ .причем !#"%$ -. ,Напомним, что в общем случае, когда ,#"43657/0 12 <;>=-98 ? : %: ' 5@+ACB.DF;E - 8 1HGI 'Если -JK& ' ) , то координаты L независимы и/60%M L4 N ;>E = 5@+A B D ; E L' G &'&'Пусть O — ортогональный проектор на P#QSRT,KPVUJP9WXЭто значит, что если Y(ZV , [.\]P^ , \_P , то O`Y[ .'' 'Оператор O линейный, самосопряженный и идемпотентный (O ' aO ).Обратно, эти свойства полностью определяют ортогональный проектор.Обозначим через b оператор ортогонального преобразования (оператор перехода от одного ортонормированного базиса к другому), d c Lefb d L .357qbKp Он обладает свойствами: b^ghib 8 и jkjlb9jmj njkj jkj ( jkjlbTg*jmj ojmj jkj ),r E . (Здесь b p — матрица оператора b ).stub9 совпадает с распределениемТеорема.
Распределение4$ &[' ивекторавектора (т.е. s Lv#"независимы).Доказательство./w 6 /0 b 8 6Hj 357xb p 8 j <;H= E ?: 5@+A B D ; E jmjyb 8 zjkj ' G & ' '&' %;>= & E ' ?: ' 5@+A B D jk; j & jm' j ' G k{Определение 1. Распределением |X}' или Пирсона (E.S.Person) с ~ степенями свободыравной сумме} называется распределение сл. величины,%$E .квадратов ' независимых сл. величин #"Свойства .
Плотность:/? 1 ; } : E } 8 d 8z ' ' ;Моменты: x|}' K~ , |}' ~ .Следствие 1. jmj O } 1jmj 'K&v'|}' .Пусть O } f\f } Q R9 . Рассмотрим новый базис d c L<Доказательство. , ` E , удовлетворяющий условиям d c L.\ } , ` E ~ , d c Lh\11Вывод соответствующих формул см. в учебнике Пытьева, Шишмарева, стр. 97 – 102.1Лекция 8.2оператор перехода от2}W Ca~Z E d и пусть b d —d ортогональныйdE<Lкновомуc<L,cLnbL,e . Тогда jmj O } 1jmj ' } 6d c L ' & ' | }' , т.к.
по теореме >d c L2#" 4$ & ' . {L 2. Пусть | }' и | ' и независимы. Тогда сл. величина } Определение контролируется распределением Фишера (R.A.Fischer). Свойства. Плотность:< 8888~qZF~/ 1 12 } Z; ~ ' '} , }2 } ' } } E Z } 8 ' .Моменты: q }2 }8'8 ' 8 Следствие 2. Пусть R9 } U¡ U¡¢ , ~ZZ¡£¤ , O } — ор}тогональныйна , O — ортогональный проектор на . Тогда 0 проектор} 2 h ¥¦¥¦¥¥ §§ 0 ¥¦¥¦¥ ¥ .Доказательство.
Пусть новый базис d c L¨ , © E таков, что d c L^\ } , если ^ E ~ , d c Lª\K , если ^«~«Z E ~¬Z , d c Lª\K2¢ , еслиY~Z Z E . Тогда jkj¦O } vjmj%' $ K& ' | }' , jmj O 1jmj ' & ' | ' и независимы. { E и | }' независимы. Тогда сл. величина3. Пусть ,#"0° ® } Определение¯ ± контролируется распределением Стьюдента (В.С.Госсета) с ~,старого базисастепенями свободы.Свойства. Плотность: }³ E8$'6/ ² 12 } ' N = E Z_¶ ' ~ ´ ~µ} .® $ ®Моменты: } , } }8 ' · · , e — одномерное подпроСледствие 3. Обозначим d странство, определенное вектором d , O! — ортогональный проектор на ` ,O¸¹! d º d · L L» d · L L% · L L .%$ & ' )+ , тогдаПусть ,#" d ¼ ) D O¸*¹ '¾ %: ' ® 8 (1) 8 ½½D E степенью свободы.— распределение Стьюдента сДоказательство.Перейдемот базиса d L< к базису d d c d c , так8что VYP d , WIYP d c >d c * .
Тогдакоординатыв этом новом базисе4$D8независимы и распределены как "& ' , а ½ ) O¸¿ ½ ' & ' | ' 8 и поопределению 3 получаем (1).Перепишем (1) еще раз3· L d ¼ ) D O^ '*¾ % : ' ¼ 8 D L %: 8 ½½ 8 L L ' ¾ ' L ¼ L D À{%: 8 L L ' ¾ 'ÃÃ Ä Ä , то последнюю формулу можноЕсли ÁÂ" Ä &[')+ , где Ä заменить на L D Ä Äp D ÄL® Å p 8 ¼ D (2) 8 L L ' ¾ %: '&' D L ' º½ ) D O¸*¹ ½ ' .p pгде Ä L , & ' L 8 L 8Интервальныеоценкинормального распределения.;Пусть L% , e E — последовательность независимых нормальнораспределенных " Ä &(' сл. величин (независимых измерений).
Требуется оценить значения неизвестных параметров Ä и & ' . Рассмотрим четыреслучая.Ä1. Оценивание&' .ÆMlÇ ± 04M 8È при известном 4$ E .Очевидно, · É #"ÊÌËÍÍТогдаÏÏ D ÏÏ ÒÓÓÏÏ L L Ä ÏÏÏÎ Ï NÏÏ Ô YÕ E DV;×Ö^¿D & ' ÏÏÐÑÏÏÑÑÊ¬Ø неравенство, получаемили, преобразуяÄp DD;×Ö^¿D &' #_Û Õ EÑÚÙ Ð ÐÑÙÑÑ; Å É , которому с вероp где Ä L — середина интервала, ширинойL D×;^ÖDÑпараметр Ä .ятностью Õ E принадлежит неизвестныйÑÑ&'ÄÄp Z4Лекция 9.Æ Ç ± 04M Ml8È 2. Оценивание &(' при известном Ä . Из определения 1 следует, чтоÉ| ' , поэтому ÊuËÍÍÒ ÓÓ L D Ä ¿' L KÕÎÔ''&'Ñ ÐÐÑÑ ÑилиÊuËÍÍ L D Ä ' L D Ä ' Ò ÓÓL & ' L Ê Ô YÕ ' ÊÎ'Ð ÐÑ ÑÑÑ | ' ¶ .|*Üпричем обычно ивыбирают так, чтобы'''Интервал, которомуудовлетворяет &z' с вероятностьюÕ , называется инÑÑÐÑÑтервальной оценкой & ' .3.
ОцениваниеÊ Ä при неизвестномÊ & '.Воспользуемся формулой (2) ËÏÏ D ÏÏ Ò j ® j Î ÏÏ ÅÄ p Ä ÏÏ Ô #Õ ÏÏ & p ' ÏÏ8 ÐJÑÑÐÑÊ Øи получаем выражение, аналогичное пункту 1:Ä p D & p ' Ä Ä p Z & p ' Û YÕ 8ÑÙ Ð Ð pÑÙÑно с тем отличием, что вместо & ' стоит & ' и Õ( соответствует распре8делению Стьюдента с степенями свободы.Ñ4. Оценивание & ' при неизвестном Ä .ËÍÍЗдесь поÊuаналогиис пунктом 2 получаем D Ä p D Ä p Ò ÓÓL L ¿' & ' L L ¿' #Õ( ÎÔ8''ÐÐÑÑÑÑD E степенями свогде Õ вычисляется по распределению |X' с8'8Êбоды.ÑÑТочечныеоценки. ;L4 , F E — независимая выборка из распределения Пусть Ý× , где Ý —¿ß неизвестный параметр. Нас интересует оценка величины Þ Ý (здесь Þ — известная функция), роль которой играет некоторая®статистика º .Терминология: à — выборочное пространство, — объем выборки,всякая измеримая функция от выборки называется статистикой, следовательно по определению любая точечная оценка — статистика.5 ® ©Þ Ý×áv º ?D1ä`â ã å Þ Ý Желательные свойства оценок:1.
Несмещенность. (Гарантирует от накопления систематических ошибок).2. Состоятельность.3. Минимальность дисперсии (если оценка несмещенная) — качествооценки при фиксированном объеме выборкиПримеры.Ä p L очевидна. Состоятельность Ä p — утверждеL ние З.Б.Ч. D Ä p ¿' — несмещенная и соЕсли LI " Ä &[' , то &[p 'J 8 Êppстоятельная оценка. Действительно, при этом & ' & ' | ' , & ' 88& ' , а & p ' D É8 æ | ' 8 D1É8 ã æ $ ; D E и по неравенствуЧебышёæÉpваj & ' & ' j2¶ ç ' 8 ä`å .
Если не является нормальной, тонесмещенность оценкиÑ Ð сохраняется: è L D Ä p ' é è ¼À L D Ä ' D; L D Ä Ä p D Ä (Z Ä p D Ä ' ¾ é ¼ è L D Ä ' D; Ä p D Ä è L D Ä vZ è Ä p D Ä ' ¾ ê ¼ è L D Ä ' D_; E è L D Ä è L D Ä +Z ' è L D Ä è L D Ä ¾ & ' D; & ' Z& ' D E ¿& ' Несмещенностьа состоятельность — нет.Минимальность дисперсии — желательное свойство, однако заметим,что смещение может уменьшить ср. кв.
уклонение. Например, задача è L D Ä p ' D & ' ' #ë ìkíимеет решение для Lv#" Ä & ' при ³ . (Доказать).Рассмотрим специально несмещенные оценки минимальной дисперсии(НОМД).Лемма. Если существует НОМД, то она единственна (с вер. 1).и— НОМД, т.е.,Доказательство. Пусть.Рассмотрим. Тогда® ® ® L ºYÞ Ý× ® L º î'®ï ® Z ® ®¿ï ''N NE;ñ?òó®®® ð 6Z ' ZV ® ' hô ðE ® 6Z ;Úõ ® ® ' ZV ® ' ðE î Z î ' î ®ïö î , т.е. возможно лишь равенство, откуда следует, что ® º Dно Þ Ý×2 Ý× ® º D Þ Ý×* с вер. 1 ( ' E ), и далее, из ñòHó ® ® ' î получаемE .{ ® '® Определение.Назовем статистику , удовлетворяющую условию Z¸÷ , гильбертовой.ÐÊ6 ×® Ý×Теорема. Пусть— выборка из распределения.Для того, чтобы гильбертова статистикабыла НОМД, необходимо идостаточно, чтобы для всякой центрированной гильбертовой статистики(такой, что), выполнялось.Доказательство.
Пусть— гильбертова несмещенная оценка.Тогда— тоже гильбертова несмещенная оценкадля всех .ОбозначимsCi£ º® Zúùs !sø $ ® ® sC $º Þ Ý×Þ Ý×ùûzüé ® º D Þ Ý (ZJùs ' ¼ ® s ¾'®sü û üDDD ®ë ìkí ý ÞÚ ' xs ' ´ приùÜiù g x s ' µ (Необходимость).
Если последнее слагаемое не равно нулю, то суще®ствует несмещенная статистика с дисперсией, меньшей, чем у . $равно(Достаточность). Еслипоследнее слагаемое при любых s , xsC®нулю, то статистика имеет наименьшуюдисперсию среди всех гиль®бертовых несмещенных оценок типа +ZùÚs , а следовательно, всех гильбертовых несмещенных оценок, поскольку любую гильбертову несмещенную оценку можно представить в таком виде. {Ê Иногда качество оценки можно определить, зная минимально возможное значение ее дисперсии (неравенство Рао-Крамера). ÊXÿФункцией правдоподобия для некоторого распределения Определение.Ý× называется Ý×2#/Úþ 0 (Ý þ ' Ý×vþ 6Ý× , где þ ÚL<Ý× — либо плотность распределенияÝ× сл.
величины , либо ,Y( .Теорема Рао-Крамера. Пусть Ý× — функция правдоподобия, Ý]\ и ® выполненыусловия: Ý× .Þ1. º — несмещеннаяоценка2. Функции Ý× и Þ Ý дифференцируемыÝ.$ по3. Можнество тех , для которых Ý h¶не зависит от Ý и Ý× ×ÝFÝÝ2иТогда Ý® 1* Ý× ® 1 Ý× Ýÿ ÿ ® ö j Þ Ý× 0H j ' ' причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когдаí 6Ý× Ý× ¼ ® D Þ ×Ý ¾Ýс вероятностью единица для некоторого Ý× . Обычно фукнция правдоподобия рассматривается как функция от , а значения(выборка) — параметры.2 "!7 ® 1* Ý× Дифференцируя тождества #ø Ý× E и #Þ Ý×Доказательство. , получим íh Ý× Ý× $ ® 1 í` Ý× Ý× Þ%$ Ý ÝÝили¼ ® 1 D Þ Ý ¾ í` Ý× Ý× YÞ&$ Ý×Ýÿи отсюда по неравенству Коши-Буняковского ÿ получаем ( ).
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
