Turin Yu.N. - Multidimensional Gaussian Calculus [6th chapter] (1120043), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Èçíà÷àëüíî ýòî ñîâåðøåííî íå î÷åâèäíî - âåäü ïðîñòðàíñòâî Rpn ãîðàçäî øèðåïðîñòðàíñòâà R1n , òàê ÷òî, êàçàëîñü áû, ãàóññîâñêèé ñòàòèñòè÷åñêèé àíàëèç â ïåðâîìïðîñòðàíñòâå äîëæåí áûòü áîãà÷å, ÷åì óæå èçâåñòíûé íàì ãàóññîâñêèé ñòàòèñòè÷åñêèé àíàëèç âî âòîðîì!Çàìå÷àíèå 6.14. Ýòó êàíîíè÷åñêóþ áèåêöèþ ìîæíî ïîñòðîèòü è ïî-äðóãîìó. Çàôèêñèðóåì âåêòîð - ñòðîêó z ∈ R1p , z 6= 0.
Ñîïîñòàâèì êàæäîé ìàòðèöå T ∈ Rpn n−ìåðíóþ âåêòîð - ñòðîêó zT . Ïîëó÷èëè îòîáðàæåíèå Rpn → R1n . Ýòî íå áèåêöèÿ (ïî÷åìó?), íî îíî èíäóöèðóåò åñòåñòâåííûì îáðàçîì ñîîòâåòñòâèå, ïðè êîòîðîì ïîäìîäóëþ L èç Rpn ñîïîñòàâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî zL := {zT |T ∈ L}. Ýòî ïîñëåäíåå ìíîæåñòâîåñòü ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî â R1n , è ïîñòðîåííîå ñîîòâåòñòâèå íà ñàìîì äåëå íåçàâèñèò îò z è ñîâïàäàåò ñ êàíîíè÷åñêîé áèåêöèåé, ïîñòðîåííîé â îïðåäåëåíèè 6.10.(Äîêàçàòü ñàìîñòîÿòåëüíî.)Íî íàì òðåáóåòñÿ ââåñòè åùå âàæíîå ïîíÿòèå ðàçìåðíîñòè ïîäìîäóëÿ.Îïðåäåëåíèå 6.15. Ðàçìåðíîñòü ïîäìîäóëÿ L = L(e1 , . . . , em ), ïîðîæäåííîãîñâîèì áàçèñîì {ek , k = 1, m}, ïî îïðåäåëåíèþ, ðàâíà m. Ýòî îïðåäåëåíèå ãîäèòñÿòîëüêî äëÿ íåíóëåâûõ ïîäìîäóëåé; ðàçìåðíîñòü íóëåâîãî, ïî îïðåäåëåíèþ, ïîëàãàåìðàâíîé 0. Îáîçíà÷åíèå: dim L.Òåîðåìà 6.16.
1) Ýòî îïðåäåëåíèå êîððåêòíî, ò.å. ëþáûå äâà áàçèñà ëþáîãî ïîä-ìîäóëÿ ñîñòîÿò èç îäíîãî è òîãî æå ÷èñëà ýëåìåíòîâ.2) Ðàçìåðíîñòü ïîäìîäóëÿ ñîâïàäàåò ñ ðàçìåðíîñòüþ ëèíåéíîãî ïîäïðîñòðàíñòâàâ R1n , ñîîòâåòñòâóþùåãî ýòîìó ïîäìîäóëþ ïðè êàíîíè÷åñêîé áèåêöèè.3) Ðàçìåðíîñòü ëþáîãî ïîäìîäóëÿ ëåæèò â ïðåäåëàõ îò 0 äî n, ïðè÷åì äëÿ ïîäìîäóëÿ Rpn ⊂ Rpn îíà ðàâíà n, äëÿ íóëåâîãî - íóëþ, à äëÿ îñòàëüíûõ - îäíîìó èç ÷èñåë1, n − 1. (Äîêàçàòü ñàìîñòîÿòåëüíî.) êà÷åñòâå çàâåðøåíèÿ äàííîãî ïàðàãðàôà ââåäåì åùå ïðîñòîå ïîíÿòèå âåêòîðèçàöèè.Îïðåäåëåíèå 6.17. Åñëè T ∈ Rpn , òî âåêòîðèçàöèåé ìàòðèöû T íàçûâàåòñÿnp−ìåðíûé âåêòîð - ñòîëáåö (îáîçíà÷àåìûé vec T ), ïîñòðîåííûé òàê: ïåðâûå p åãîýëåìåíòîâ îáðàçóþò ïåðâûé ñòîëáåö ìàòðèöû T , ñëåäóþùèå p åãî ýëåìåíòîâ - âòîðîé7ñòîëáåö T è ò.ä., ïîñëåäíèå (ñàìûå íèæíèå) p ýëåìåíòîâ îáðàçóþò n−é, ïîñëåäíèéñòîëáåö T .
Áîëåå ôîðìàëüíî, ïðè i = 1, p, j = 1, n ij -é ýëåìåíò ìàòðèöû T ðàâåíp(j − 1) + i-ìó ýëåìåíòó ñòîëáöà vec T .Ëåììà 6.18. Îòîáðàæåíèå vec : Rpn → Rnp îñóùåñòâëÿåò èçîìîðôèçì ëèíåéíûõïðîñòðàíñòâ Rpn è Rnp . (Äîêàçàòü ñàìîñòîÿòåëüíî.)$3. Ñêîáêà Òþðèíà. Îðòîãîíàëüíîå ïðîåöèðîâàíèå íà ïîäìîäóëè.Îïðåäåëåíèå 6.19.
Ñîïîñòàâèì äâóì ìàòðèöàì T, S ∈ Rpn ìàòðèöó T S T ∈ Rppðàçìåðà p × p. Îáîçíà÷èì åå òàê: < T, S > è íàçîâåì ñêîáêîé Òþðèíà. Ìàòðèöó< T, T >, ãäå T ∈ Rpn , îáîçíà÷èì ñèìâîëîì |T |2 .Òåîðåìà 6.20. Ýòà îïåðàöèÿ îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:1. < T, S >=< S, T >T ;2. < α1 T1 + α2 T2 , S >= α1 < T1 , S > +α2 < T2 , S >;3. < T, α1 S1 + α2 S2 >= α1 < T, S1 > +α2 < T, S2 >;4. < T, 0 >=< 0, T >= 0;5.
< kT, S >= k < T, S >;6. < T, kS >=< T, S > k T ;7. < T, T >= |T |2 ≥ 0;8. < T, T >= 0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà T = 0;9. < T C, SC >=< T, S >,ãäå C ∈ Rnn - îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà, T, T1 , T2 , S, S1 , S2 ∈ Rpn , α1 , α2 ∈ R, k ∈ Rpp , 0 ∈Rpn - íóëåâàÿ ìàòðèöà, à ≥ â ï. 7 îçíà÷àåò, ÷òî ìàòðèöà < T, T > íåîòðèöàòåëüíîîïðåäåëåíà. (Äîêàçàòü ñàìîñòîÿòåëüíî.)Çàìå÷àíèå 6.21.
Êàê âèäèì, Pñêîáêà Òþðèíà åñòü àíàëîã îáû÷íîãî ñêàëÿðíînTãî ïðîèçâåäåíèÿ (x, y) = xy =k=1 xk yk âåêòîðîâ - ñòðîê x = (x1 , . . . , xn ), y =(y1 , . . . , yn ) ∈ R1n . Âåäü ìîäóëü íàä êîëüöîì - ýòî àíàëîã ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà íàäïîëåì, è ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå íà ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå - ýòî áèëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ, îáà àðãóìåíòà êîòîðîé ëåæàò â ýòîì ïðîñòðàíñòâå, à çíà÷åíèå - â ïîëå, â òîâðåìÿ, êàê ñêîáêà Òþðèíà - ýòî áèëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ, àðãóìåíòû êîòîðîé ëåæàò âìîäóëå Rpn , à çíà÷åíèå - â êîëüöå Rpp .
È ñâîéñòâà ñêîáêè Òþðèíà, ïåðå÷èñëåííûå âòåîðåìå 6.20, î÷åíü ïîõîæè íà ñâîéñòâà îáû÷íîãî ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ.Äëÿ ÷åãî íàì íóæíà ñêîáêà Òþðèíà? Îêàçûâàåòñÿ, ñ åå ïîìîùüþ ìû ñìîæåìââåñòè ïîíÿòèÿ îðòîãîíàëüíîñòè è îðòîãîíàëüíîé ïðîåêöèè.Îïðåäåëåíèå 6.22. Ìàòðèöû T, S ∈ Rpn íàçûâàþòñÿ îðòîãîíàëüíûìè, åñëè< T, S >= 0. Ïèøóò: T ⊥ S . Ìàòðèöà T ∈ Rpn è ïîäìíîæåñòâî L ⊂ Rpn íàçûâàþòñÿîðòîãîíàëüíûìè, åñëè T ⊥ S ïðè âñåõ S ∈ L. Ïèøóò: T ⊥ L.
ÏîäìíîæåñòâàL1 , L2 ⊂ Rpn íàçûâàþòñÿ îðòîãîíàëüíûìè, åñëè T ⊥ S ïðè âñåõ T ∈ L1 , S ∈ L2 .Ïèøóò: L1 ⊥ L2 .Ëåììà 6.23. (Òåîðåìà Ïèôàãîðà.) Åñëè S, T ∈ Rpn , S ⊥ T , òî |S + T |2 = |S|2 +p|T |2 . Áîëåå îáùî:k |k = 1, m} ⊂ Rn - êîíå÷íàÿ ñèñòåìà ïîïàðíî îðòîãîíàëüíûõ¯2 {T¯ m åñëèm¯P ¯P|Tk |2 . (Äîêàçàòü ñàìîñòîÿòåëüíî.)ìàòðèö, òî ¯¯ Tk ¯¯ =k=1k=1Îêàçûâàåòñÿ, òîëüêî ÷òî ââåäåííîå ïîíÿòèå îðòîãîíàëüíîñòè â ìîäóëå Rpn è äàâíîèçâåñòíîå íàì ïîíÿòèå îðòîãîíàëüíîñòè â îáû÷íîì ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå R1n (îòíîñèòåëüíî ñòàíäàðòíîãî ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ (x, y) := xy T , x, y ∈ R1n ) ïðåêðàñíûìîáðàçîì ñîãëàñîâàíû, è ïðèòîì ÷åðåç êàíîíè÷åñêóþ áèåêöèþ, ââåäåííóþ â $2.Óòâåðæäåíèå 6.24. Ïîäìîäóëè L1 , L2 èç Rpn îðòîãîíàëüíû òîãäà è òîëüêî òî-ãäà, êîãäà îðòîãîíàëüíû ëèíåéíûå ïîäïðîñòðàíñòâà L1 , L2 èç R1n , ñîîòâåòñòâóþùèå8ýòèì ïîäìîäóëÿì ïðè êàíîíè÷åñêîé áèåêöèè. (Îáîñíîâàíèå ýòîãî ïðåäîñòàâëÿåòñÿ÷èòàòåëþ.)Îïðåäåëåíèå 6.25.
Áàçèñ {ek |k = 1, m} ïîäìîäóëÿ L íàçûâàåòñÿ îðòîãîíàëüíûì (îðòîíîðìèðîâàííûì), åñëè ýòà ñèñòåìà âåêòîðîâ - ñòðîê îðòîãîíàëüíà (îðòîíîðìèðîâàíà) â îáû÷íîì ñìûñëå ýòîãî ñëîâà, ò.å. ek el = δkl ïðè k, l = 1, m.Ëåììà 6.26.  ëþáîì íåíóëåâîì ïîäìîäóëå íàéäåòñÿ îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ.(Ñóùåñòâîâàíèå êàêîãî-òî áàçèñà, íå îáÿçàòåëüíî îðòîíîðìèðîâàííîãî, óêàçàíî â ï.6îñíîâíîé òåîðåìû 6.12.)Îïðåäåëåíèå 6.27. Ñóììà ïîäìîäóëåé Lk , k = 1, m èç Rpn íàçûâàåòñÿ ïðÿìîéè îáîçíà÷àåòñÿ òàê: L1LL2L...LLm , èëè òàê:1, m, i 6= j .Ëåììà 6.28.
Åñëè L =mLk=1mLk=1Lk , åñëè Li ⊥ Lj ïðè i, j =Lk - ðàçëîæåíèå ïîäìîäóëÿ L â ïðÿìóþ ñóììó ïîäìî-äóëåé Lk , k = 1, m, à Ek ⊂ R1n - îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ â Lk , k = 1, m, òîîðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ L. (Äîêàçàòü ñàìîñòîÿòåëüíî.)mSk=1Ek -Óòâåðæäåíèå 6.29. Åñëè L1 , L2 - ïîäìîäóëè â Rpn , ïðè÷åìL L2 ⊂ L1 , òî ñóùåñòâóåòè åäèíñòâåíåí òàêîé ïîäìîäóëü L0 â Rpn , ÷òî L0 ⊂ L1 è L0L2 = L1 . Ýòîò ïîäìîäóëüíàçûâàåòñÿ îðòîãîíàëüíûì äîïîëíåíèåì ïîäìîäóëÿ L2 â ïîäìîäóëå L1 .  ÷àñòíîñòè, åñëè ïîëîæèòü L2 = L, L1 = Rpn , ïîëó÷àåì: ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåíåí òàêîéïîäìîäóëü (áóäåì îáîçíà÷àòüåãî L⊥ è íàçûâàòü îðòîãîíàëüíûì äîïîëíåíèåìLïîäìîäóëÿ L), ÷òî L⊥L = Rpn .
(Äîêàçàòü ñàìîñòîÿòåëüíî.)Ëåììà 6.30. Ïðÿìàÿ ñóììà ïîäìîäóëåé ïåðåõîäèò ïðè êàíîíè÷åñêîé áèåêöèè âïðÿìóþ ñóììó îðòîãîíàëüíûõ ëèíåéíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ. (Äîêàçàòü ñàìîñòîÿòåëüíî- âïðî÷åì, ýòî î÷åâèäíûì îáðàçîì ñëåäóåò èç óòâåðæäåíèé 6.24 è ï.5 6.12.) ýòîì ïàðàãðàôå íàì îñòàëîñü ââåñòè ïîñëåäíåå âàæíîå ïîíÿòèå, áåç êîòîðîãîíåìûñëèìà ìíîãîìåðíàÿ ãàóññîâñêàÿ ñòàòèñòè÷åñêàÿ òåîðèÿ.Îïðåäåëåíèå 6.31. Ïðîåêöèåé ìàòðèöû T ∈ Rpn íà ïîäìîäóëü L ⊂ Rpníàçûâàåòñÿ òàêàÿ ìàòðèöà S ∈ L, ÷òî T − S ⊥ L.Òåîðåìà 6.32. Ïóñòü T ∈ Rpn , L - ïîäìîäóëü Rpn .
Òîãäà:1. Ïðîåêöèÿ T íà L ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííà. Áóäåì â äàëüíåéøåì îáîçíà÷àòü ååòàê: projL T . Åñëè L - íóëåâîé ïîäìîäóëü, òî ýòà ïðîåêöèÿ ðàâíà íóëåâîé ìàòðèöå. Âïðîòèâíîì ñëó÷àå ó L, ñîãëàñíî ï.6 îñíîâíîé òåîðåìû 6.12 íàéäåòñÿ áàçèñ ek , k = 1, m,è òîãäà ïðîåêöèþ ìîæíî â ÿâíîì âèäå âûðàçèòü ñëåäóþùåé ôîðìóëîé:projL T = T F T (F F T )−1 F,ãäå F - ìàòðèöà ðàçìåðà m × n, k -ÿ ñòðîêà êîòîðîé ðàâíà ek , k = 1, m.  ÷àñòíîñòè,åñëè L = Rpn , òî projL T = T .2. Ïðîåêöèÿ - ëèíåéíàÿ îïåðàöèÿ, ò.å.projL (αT + βS) = α projL T + β projL S,åñëè T, S ∈ Rpn , α, β ∈ R, è, êðîìå òîãî,projL (kT ) = k projL T,9åñëè T ∈ Rpn , k ∈ Rpp .
Ò.å. proj åñòü ýíäîìîðôèçì ìîäóëÿ Rpn . (Ãîìîìîðôèçì ëåâûõìîäóëåé U, V íàä êîëüöîì K åñòü òàêîå îòîáðàæåíèå f : U → V , ÷òî f (u1 + u2 ) =f (u1 ) + f (u2 ), f (ku) = kf (u) ïðè ëþáûõ u1 , u2 , u ∈ U, k ∈ K . Ýíäîìîðôèçì ëåâîãîìîäóëÿ V íàä êîëüöîì K åñòü ãîìîìîðôèçì V â V .)3. Åñëè S ∈ L, òî |T − S|2 ≥ |T − projL |2 , ïðè÷åì ðàâåíñòâî äîñòèãàåòñÿ òîëüêîïðè S = projL T . Èíûìè ñëîâàìè, îïåðàòîð èç ïîäìîäóëÿ L â ïðîñòðàíñòâî ñèììåòðè÷íûõ êâàäðàòíûõ ìàòðèö ðàçìåðà p × p, ñîïîñòàâëÿþùèé ìàòðèöå S ìàòðèöó|T − S|2 , äîñòèãàåò ñòðîãîãî ãëîáàëüíîãî ìèíèìóìà ïðè S = projL T . (Íàïîìíèì, ÷òîìû óìååì ñðàâíèâàòü ñèììåòðè÷íûå êâàäðàòíûå ìàòðèöû èç Rpp - ñì.
$6 ãë. 1.)4. Åñëè T ∈ Rpn , L - ïîäìîäóëü Rpn , ïðè÷åì T ⊥ L, òî projL T = 0.  ÷àñòíîñòè,åñëè L1 , L2 - ïîäìîäóëè Rpn , L1 ⊥ L2 , T ∈ L1 , òî projL2 T = 0.¤ Äîêàæåì ï. 1. Ïï. 2, 3, 4, à òàêæå òî óòâåðæäåíèå, ÷òî åñëè L = Rpn , òî projL T =T , ïðåäîñòàâëÿþòñÿ ÷èòàòåëþ.Ïóñòü ïîêà L - íåíóëåâîé ìîäóëü. Îí èìååò áàçèñ ek , k = 1, m - ñì. ï.6 îñíîâíîéòåîðåìû 6.12. Çíà÷èò, åãî ñòðóêòóðà ìîæåò áûòü çàäàíà ñëåäóþùèì îáðàçîì: S ∈ LmPòîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà íàéäóòñÿ αk ∈ Rp , k = 1, m, äëÿ êîòîðûõ S =αk ek , ò.å.k=1òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóåò ìàòðèöà A ∈ Rpm (ñîñòàâëåííàÿ èç ñòîëáöîâαk òàê: k−é ñòîëáåö ìàòðèöû A ðàâåí αk ïðè k = 1, m), äëÿ êîòîðîé S = AF .
Èòàê,L = {AF |A ∈ Rpm }.Ò.å. S - ïðîåêöèÿ T íà L, åñëè è òîëüêî åñëè S ∈ L è T − S ⊥ L, ò.å. åñëè íàéäåòñÿA ∈ Rpm , äëÿ êîòîðîãî S = AF , è ïðèòîì(T − AF )(BF )T = (T − S)(BF )T =< T − S, BF >= 0ïðè ëþáîé ìàòðèöå B ∈ Rpm . Ïåðåïèøåì ïîëó÷åííîå ðàâåíñòâî òàê: (T −AF )F T B T =0. Ýòî âûïîëíåíî ïðè âñåõ B ∈ Rpm òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà (T − AF )F T = 0(ïî÷åìó?), ò.å. åñëè è òîëüêî åñëè T F T = AF F T .
Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî çàïèøåì ââèäå T F T (F F T )−1 = A. (Ìû èñïîëüçóåì òî, ÷òî F F T - ìàòðèöà Ãðàìà âåêòîðîâ ñòðîê ek , k = 1, m, è îíà íåâûðîæäåíà â ñèëó èõ ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè, êîòîðàÿ,ñâîþ î÷åðåäü, ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî îíè îáðàçóþò áàçèñ L.)Çíà÷èò, S - ïðîåêöèÿ T íà L òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà S = AF , ãäå A =T F T (F F T )−1 , ò.å. òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà S = T F T (F F T )−1 F . Ýòèì çàîäíî äîêàçàíî ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ïðîåêöèè.Ñëó÷àé íóëåâîãî ïîäìîäóëÿ L ðàçîáðàòü ñàìîñòîÿòåëüíî.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
