Turin Yu.N. - Multidimensional Gaussian Calculus [6th chapter] (1120043), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Êàê îáîáùèòü ïîíÿòèå îðòîãîíàëüíîé ïðîåêöèè äëÿ ñëó÷àÿ óæå íå nìåðíûõ âåêòîðîâ, à ñîâîêóïíîñòè (èëè, èíà÷å ãîâîðÿ, òàáëèöû èëè ìàòðèöû) èç np-ìåðíûõ íàáëþäåíèé?Ïîñòàâèì áîëåå îáùèé âîïðîñ. Êàê îïðåäåëèòü ïîíÿòèå îðòîãîíàëüíîñòè äëÿ ýòèõìàòðèö? Âåäü ÷òîáû çíàòü, ÷òî åñòü îðòîãîíàëüíàÿ ïðîåêöèÿ, íàäî ïðåæäå ïîíÿòü,3÷òî æå òàêîå, ñîáñòâåííî, îðòîãîíàëüíîñòü.  ëèíåéíîé àëãåáðå îðòîãîíàëüíîñòüîïðåäåëÿåòñÿ ÷åðåç ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå, ò.å. ôóíêöèþ, ñîïîñòàâëÿþùóþ äâóìâåêòîðàì ÷èñëî èç R èëè C. òîé òåîðèè, êîòîðóþ ìû ïîñòðîèì, òàêæå áóäåò ïðèñóòñòâîâàòü ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå íà ïðîñòðàíñòâå ìàòðèö, è äâå ìàòðèöû áóäóò îðòîãîíàëüíû, åñëè èõ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ðàâíî íóëþ.
Îäíàêî îíî áóäåò ñîïîñòàâëÿòü äâóì ìàòðèöàì,êàê íè ñòðàííî, íå ÷èñëî, à äðóãóþ ìàòðèöó. Òàêîå ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå íîñèòíàçâàíèå ñêîáêà Òþðèíà è îïðåäåëÿåòñÿ â $3.$2. Áàçîâîå ïðîñòðàíñòâî ìàòðèö. Ïîäìîäóëè. Êàíîíè÷åñêàÿáèåêöèÿ.Ïóñòü èìååì n p-ìåðíûõ íàáëþäåíèé X1 , . . .
, Xn ∈ Rp , n, p ∈ N. Ýòî - âåêòîðû ñòîëáöû; çàïèøåì èõ â âèäå ìàòðèöû p × n:T = (X1 |X2 | . . . |Xn ),ò.å. ïóñòü ïðè k = 1, n íà ìåñòå k−ãî ñòîëáöà ìàòðèöû T ðàçìåðà p × n áóäåò ñòîÿòüâåêòîð Xk . Èíîãäà ïèøóò: T = {Xk , k = 1, n}. Òàê â ìíîãîìåðíîé ñòàòèñòèêå åñòåñòâåííûì îáðàçîì âîçíèêàåò ïðîñòðàíñòâî ìàòðèö p × n; áóäåì îáîçíà÷àòü åãî òàê:Rpn .  ÷àñòíîñòè, áóäåì îáîçíà÷àòü ïðîñòðàíñòâî k -ìåðíûõ ñòðîê ÷åðåç R1k - âåäüòàêèå ñòðîêè åñòü íà ñàìîì äåëå ìàòðèöû ðàçìåðà 1 × k . Ïðîñòðàíñòâî k -ìåðíûõñòîëáöîâ áóäåì îáîçíà÷àòü, êàê è ðàíüøå, Rk (à íå Rk1 ).Êàêèå æå îïåðàöèè ìîæíî ïðîèçâîäèòü íàä ìàòðèöàìè èç Rpn ?1.
Ñëîæåíèå, óìíîæåíèå íà ÷èñëî.Ýòî - îáû÷íûå îïåðàöèè íàä ìàòðèöàìè ôèêñèðîâàííîãî ðàçìåðà p × n; îòíîñèòåëüíî íèõ, êàê èçâåñòíî, Rpn åñòü ëèíåéíîå np−ìåðíîå ïðîñòðàíñòâî íàä ïîëåìR.2. Óìíîæåíèå íà ìàòðèöó k ∈ RppÏðîèçâåäåíèå êâàäðàòíîé ìàòðèöû k ïîðÿäêà p è ìàòðèöû T ∈ Rpn ðàçìåðà p × näàåò ìàòðèöó kT , êîòîðàÿ òàêæå èìååò ðàçìåð p × n, ò.å. kT ∈ Rpn . Åñëè ñíàáäèòü Rpnòàêèì ïðîèçâåäåíèåì, ïîëó÷èì ìîäóëü íàä êîëüöîì Rpp . (Äîêàçàòü ñàìîñòîÿòåëüíî.)Íàïîìíèì èñïîëüçóåìûå íàìè ïîíÿòèÿ èç âûñøåé àëãåáðû.Îïðåäåëåíèå 6.3.
Åñëè K - àññîöèàòèâíîå êîëüöî ñ åäèíèöåé 1K , à (V, +) - àáåëåâà ãðóïïà, è çàäàíî îòîáðàæåíèå (x, v) 7→ xv (x ∈ K, v ∈ V ) èç K × V â V ,óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèÿìx(u + v) = xu + xv, (x + y)u = xu + yu, (xy)u = x(yu), 1K · v = väëÿ âñåõ x, y ∈ K, u, v ∈ V , òî V íàçûâàåòñÿ ëåâûì K -ìîäóëåì èëè ëåâûì ìîäóëåì íàä êîëüöîì K . À îïåðàöèÿ (x, v) 7→ xv íàçûâàåòñÿ óìíîæåíèåì.
Ïîíÿòèåìîäóëÿ íàä êîëüöîì àíàëîãè÷íî ïîíÿòèþ ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà íàä ïîëåì è ÿâëÿåòñÿ åãî îáîáùåíèåì. Ñì., íàïðèìåð, êíèãó [5], ãëàâà 4, $ 3. Âñþäó íèæå, ãîâîðÿ:êîëüöî K , ìû áóäåì èìåòü â âèäó àññîöèàòèâíîå êîëüöî ñ åäèíèöåé, îáîçíà÷àåìîé1K .Îïðåäåëåíèå 6.4. Ïîäìîäóëü ìîäóëÿ V - ýòî òàêîå ïîäìíîæåñòâî U ⊂ V ,ÿâëÿþùååñÿ ïîäãðóïïîé (V, +) (ò.å. ïðè u, v ∈ U u + v, −u ∈ U ), ÷òî ïðè x ∈K, u ∈ U xu ∈ U .
Ãîâîðÿ ïî-äðóãîìó - ýòî ïîäìíîæåñòâî V , çàìêíóòîå îòíîñèòåëüíîîïåðàöèé ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ ñëåâà íà ëþáîé ýëåìåíò êîëüöà.Óòâåðæäåíèå 6.5. Ëþáîé ïîäìîäóëü L ìîäóëÿ Rpn èìååò ñëåäóþùóþ ñòðóêòóðó:íàéäóòñÿ òàêîå m ∈ N è òàêèå âåêòîðà ek ∈ R1n , k = 1, m, ÷òî¯( m)¯X¯pL=αk ek ¯ αk ∈ R , k = 1, m .¯k=14(6.3)È îáðàòíî, ìíîæåñòâî ìàòðèö èç Rpn , çàäàííîå ôîðìóëîé (6.1), åñòü ïîäìîäóëü ìîäóëÿ Rpn .¤ Âòîðîå óòâåðæäåíèå ïðîâåðüòå ñàìîñòîÿòåëüíî - îíî î÷åíü ïðîñòîå. Äîêàæåìïåðâîå, áîëåå ñîäåðæàòåëüíîå óòâåðæäåíèå. Ïóñòü L ⊂ Rpn - ïîäìîäóëü Rpn .
Äîêàæåìñëåäóþùåå: íàéäóòñÿ ìàòðèöû Tl ∈ L, l = 1, m, äëÿ êîòîðûõ¯( m)¯X¯L=kl Tl ¯ kl ∈ Rpp , l = 1, m .(6.4)¯l=1Äåéñòâèòåëüíî, åñëè L - íóëåâîé ïîäìîäóëü, ò.å. L = {0}, òî äîñòàòî÷íî ïîëîæèòüm = 1, T1 = 0.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå íàéäåòñÿ ìàòðèöà T1 ∈ L, T1 6= 0. Åñëè òåïåðü L ={k1 T1 |k1 ∈ Rpp }, òî âñå äîêàçàíî; èíà÷å ñóùåñòâóåò ìàòðèöà T2 ∈ L, T2 ∈/ {k1 T1 |k1 ∈ppRp }. Äàëåå, åñëè L = {k1 T1 +k2 T2 |k1 , k2 ∈ Rp }, òî óòâåðæäåíèå äîêàçàíî.  ïðîòèâíîìñëó÷àå íàéäåòñÿ T3 ∈ L, T3 ∈/ {k1 T1 + k2 T2 |k1 , k2 ∈ Rpp } è ò.ä.Íà m + 1 øàãå (m = 0, 1, 2, . . .) ïðîèñõîäèò ñëåäóþùåå.
Ìû ïîñòðîèëè ìàòðèöûT1 , . . . , Tm . Ïðè ýòîì, çàìåòèì, îíè ëèíåéíî íåçàâèñèìû êàê ýëåìåíòû ëèíåéíîãîïðîñòðàíñòâà Rpn íàä ïîëåì R - êàê ýòî âûòåêàåò èç óñëîâèé T1 6= 0 è Tl ∈/ {k1 T1 +. . . + kl−1 Tl−1 |k1 , . . . , kl−1 ∈ Rpp } ïðè l = 2, m ? Åñëè¯( m)¯X¯L=kl Tl ¯ kl ∈ Rpp , l = 1, m ,¯l=1òî âñå äîêàçàíî; åñëè íåò, òî íàéäåòñÿ ìàòðèöà Tm+1 ∈ L, äëÿ êîòîðîé( m)Xkl Tl |kl ∈ Rpp , l = 1, m .Tm+1 ∈/l=1Íî áåñêîíå÷íî ýòîò ïðîöåññ ïðîäîëæàòüñÿ íå ìîæåò; îí îáîðâåòñÿ íå ïîçæå, ÷åì÷åðåç np øàãîâ. Äîêàæåì ýòî; ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå - ïðîöåññ ñîâåðøèë np + 1øàãîâ.
Òîãäà ìû ïîñòðîèëè ìàòðèöû T1 , . . . , Tnp+1 , ïðè÷åì îíè ëèíåéíî íåçàâèñèìû - ýòî îòìå÷åíî âûøå. Íî ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ìàòðèö Rpn íàä ïîëåì R èìååòðàçìåðíîñòü np, ò.å. â íåì ìîãóò ñóùåñòâîâàòü íå áîëåå, ÷åì np íåçàâèñèìûõ ìàòðèö. Ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå÷èå. Èòàê, íà íåêîòîðîì øàãå ïðîöåññ ïîñòðîåíèÿ ìàòðèöT1 , T2 , . . . îáîðâåòñÿ, è ìû ïîëó÷èì ïðåäñòàâëåíèå (6.4).Íà ÿçûêå âûñøåé àëãåáðû ìû òîëüêî ÷òî äîêàçàëè, ÷òî ìîäóëü L êîíå÷íîïîðîæäåí, ò.å. ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå êîíå÷íîé ñóììû öèêëè÷åñêèõ ïîäìîäóëåé. Íàì íåïîíàäîáÿòñÿ ýòè àëãåáðàè÷åñêèå ïîíÿòèÿ, íî çàèíòåðåñîâàííîãî ÷èòàòåëÿ îòñûëàå êâñå òîé æå êíèãå [5], ãëàâå 4, $3 èëè ê ëþáîìó äðóãîìó äîñòàòî÷íî ïîëíîìó ó÷åáíèêóïî âûñøåé àëãåáðå.Îñòàëîñü òåïåðü ïîëó÷èòü (6.3) èç (6.4). Äåëàåì ýòî òàê: åñëè ïðè s = 1, p, l = 1, m(s)(s)ìàòðèöà kl ∈ Rpp èìååò αl â êà÷åñòâå s−ãî ñòîëáöà, à Tl èìååò el â êà÷åñòâå s−éñòðîêè, òîpmm XXX(s) (s)k l Tl =αl el .l=1 s=1l=1(s)Íî åñëè ìàòðèöû kl ∈ Rpp ïðîáåãàþò âñå çíà÷åíèÿ èç Rpp , òî èõ ñòîëáöû αl ïðîáåãàþòâñå çíà÷åíèÿ èç Rp .
Ýòî è äàåò íàì èñêîìîå ïðåäñòàâëåíèå (6.3). ¥Îïðåäåëåíèå 6.6. Ïîäìîäóëü â ôîðìóëå (6.3) íàçûâàåòñÿ ïîðîæäåííûì âåêòîðàìè ek , k = 1, m. Îáîçíà÷åíèå: L = L(e1 , . . . , em ). Åñëè âåêòîðà ek , k = 1, mëèíåéíî íåçàâèñèìû, òî èõ ñîâîêóïíîñòü {ek |k = 1, m} íàçûâàåòñÿ áàçèñîì L.Ëåììà 6.7. Åñëè L ïîðîæäåí áàçèñîì {ek |k = 1, m}, òî ïðåäñòàâëåíèå ëþáîãî ýëåìåíòà T ∈ L â âèäå T =ñàìîñòîÿòåëüíî.)mPk=1αk ek , αk ∈ Rp , k = 1, m åäèíñòâåííî. (Äîêàçàòü5Çàìå÷àíèå 6.8. Äëÿ ïîäìîäóëåé Uk , k = 1, m ìîäóëÿ V íàä êîëüöîì K , òàêæå êàê è äëÿ ëèíåéíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ íàä ïîëåì, îïðåäåëåíû îïåðàöèè ñóììû èmTïåðåñå÷åíèÿ. À èìåííî:Uk , ò.å.
ïåðåñå÷åíèå âñåõ ïîäìîäóëåé Uk , åñòü òàêæå ïîäk=1ìîäóëü. (Ýòî âåðíî, êñòàòè ãîâîðÿ, íå òîëüêî äëÿ êîíå÷íîãî ñåìåéñòâà ïîäìîäóëåé,íî è äëÿ èõ ñåìåéñòâà ïðîèçâîëüíîé ìîùíîñòè - îáîñíóéòå ñàìîñòîÿòåëüíî.) Äàëåå,ìîæíî ââåñòè ïîíÿòèå ñóììû ïîäìîäóëåé òî÷íî òàê æå, êàê è ñóììû ëèíåéíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ:Îïðåäåëåíèå 6.9. Ïóñòü Uk , k = 1, m - ïîäìîäóëè ìîäóëÿ V íàä êîëüöîì K .mPÒîãäà èõ ñóììîé (îáîçíà÷àåìîé U1 + U2 + . . . + Um èëèUk ) íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîk=1{u1 + . .
. + um |uk ∈ Uk , k = 1, m}. È ýòî - òàêæå ïîäìîäóëü V . (Äîêàçàòü ñàìîñòîÿòåëüíî.)Îïåðàöèÿ âçÿòèÿ ñóììû ïîäìîäóëåé â Rpn åñòåñòâåííûì îáðàçîì ñîãëàñîâàíà ñïðåäñòàâëåíèåì ïîäìîäóëåé â Rpn â âèäå (6.1) ñëåäóþùèì îáðàçîì:Ëåììà 6.10. Åñëè Lk , k = 1, m - ïîäìîäóëè ìîäóëÿ Rpn , ïðè÷åì ìîäóëü Lk ïîðîæäåí ñèñòåìîé Ek := {ekj |j = 1, mk } ⊂ R1n , òî ñóììàmSk=1mPk=1Uk ïîðîæäàåòñÿ ñèñòåìîéEk = {ekj |k = 1, m, j = 1, mk }. (Ïðåäîñòàâëÿåòñÿ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî îáîñíîâà-íèÿ.)Ñåé÷àñ ìû ââåäåì î÷åíü âàæíîå ïîíÿòèå, êîòîðîå ñðàçó âî ìíîãîì ïðîÿñíèò ñòðóêòóðó ìîäóëÿ Rpn . Îíî áóäåò ëåæàòü â îñíîâå âñåõ äàëüíåéøèõ ïîñòðîåíèé.Îïðåäåëåíèå 6.11. Êàíîíè÷åñêàÿ áèåêöèÿ - ýòî ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ïîäìîäó-ëÿìè â Rpn è ëèíåéíûìè ïîäïðîñòðàíñòâàìè â R1n , îïðåäåëÿåìîå ñëåäóþùèì îáðàçîì:ëþáîé ïîäìîäóëü â Rpn èìååò âèä L(e1 , .
. . , em ), ek ∈ R1n , k = 1, m, è åìó ñîïîñòàâëÿåòñÿ ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî < e1 , . . . , em >, ïîðîæäåííîå âåêòîðàìè - ñòðîêàìèek , k = 1, m.Òåîðåìà 6.12 (îñíîâíàÿ). 1. Òàêîå ñîîòâåòñòâèå îïðåäåëåíî êîððåêòíî, ò.å. åñëè L(e1 , . . . , em ) = L(e01 , . . . , e0l ), ek , e0q ∈ R1n , k = 1, m, q = 1, l, òî < e1 , . . . , em >=<e01 , . . .
, e0l >. Ò.å., ïðîùå ãîâîðÿ, åñëè äâå ðàçëè÷íûõ êîíå÷íûõ ñèñòåìû âåêòîðîâ ñòðîê èç R1n ïîðîæäàþò îäèí è òîò æå ïîäìîäóëü èç L, òî îíè ïîðîæäàþò îäíî è òîæå ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî â R1n .(Îáîçíà÷åíèå < e1 , . . . , em > óïîòðåáëÿåòñÿ äëÿ ëèíåéíîé îáîëî÷êè âåêòîðîâ ek , k =1, m.)2. Ýòî ñîîòâåòñòâèå - äåéñòâèòåëüíî áèåêöèÿ. (Èíà÷å áû íàçâàíèå êàíîíè÷åñêàÿáèåêöèÿ íå áûëî îïðàâäàíî.)3.
Ýòî ñîîòâåòñòâèå ñîõðàíÿåò îòíîøåíèå âëîæåíèÿ: åñëè L1 , L2 - ëèíåéíûå ïîäïðîñòðàíñòâà R1n , à L1 , L2 - ñîîòâåòñòâóþùèå èì ïîäìîäóëè â Rpn , òî L1 ⊂ L2 òîãäà èòîëüêî òîãäà, êîãäà L1 ⊂ L2 . (Èíà÷å ãîâîðÿ, ñîâîêóïíîñòü ëèíåéíûõ ïîäïðîñòðàíñòââ R1n è ñîâîêóïíîñòü ïîäìîäóëåé â Rpn îáðàçóþò ìíîæåñòâà, ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûå ïî âêëþ÷åíèþ, è ïîñòðîåííàÿ áèåêöèÿ îñóùåñòâëÿåò èçîìîðôèçì ýòèõ ÷àñòè÷íîóïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ.)4. Ìîäóëþ Rpn , ðàññìàòðèâàåìîìó êàê ïîäìîäóëü ñàìîãî ñåáÿ, ñîîòâåòñòâóåò ïðîñòðàíñòâî R1n , ðàññìàòðèâàåìîå êàê ïîäïðîñòðàíñòâî ñàìîãî ñåáÿ. À íóëåâîìó ïîäìîäóëþ ñîîòâåòñòâóåò íóëåâîå ïîäïðîñòðàíñòâî.65.
Êàíîíè÷åñêàÿ áèåêöèÿ ñîõðàíÿåò ñóììó è ïåðåñå÷åíèå ïîäìîäóëåé è ëèíåéíûõïîäïðîñòðàíñòâ. Áîëåå òî÷íî: åñëè Lk , k = 1, m - ëèíåéíûå ïîäïðîñòðàíñòâà â R1n , àmTLk , k = 1, m - ñîîòâåòñòâóþùèå èì ïîäìîäóëè â Rpn , òî ïåðåñå÷åíèþLk ñîîòâåòñòâóåò ïåðåñå÷åíèåmTk=1Lk , à ñóììåmPk=1Lk ñîîòâåòñòâóåò ñóììàmPk=1k=1Lk .6. Ó ëþáîãî íåíóëåâîãî ïîäìîäóëÿ íàéäåòñÿ (íåïóñòîé) áàçèñ. (Äîêàçàòåëüñòâîâñåõ øåñòè ïóíêòîâ ïðåäîñòàâëÿåòñÿ ÷èòàòåëþ.)Çàìå÷àíèå 6.13. ×òî ñëåäóåò èç ýòîé òåîðåìû? Ìû íàó÷èëèñü îòîæäåñòâëÿòüïîäìîäóëè â Rpn è ëèíåéíûå ïîäïðîñòðàíñòâà â R1n . Íî ñòðóêòóðà R1n - ñàìîãî îáû÷íîãî àðèôìåòè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà n-ìåðíûõ ñòðîê - âåëèêîëåïíî èçó÷åíà è ðàçðàáîòàíà â ëèíåéíîé àëãåáðå. À, çíà÷èò, ìû ìîæåì ïåðåíîñèòü èäåè, ìåòîäû è ðåçóëüòàòûóæå ïîñòðîåííîé òåîðèè ïîäïðîñòðàíñòâ â R1n íà íàø îñíîâíîé îáúåêò ðàññìîòðåíèÿ- ìîäóëü Rpn .È òàêîé ïîäõîä îêàæåòñÿ â äàëüíåéøåì î÷åíü ïëîäîòâîðíûì - îí ïîçâîëèò íàìâ $3 ðàçâèòü â äóõå êëàññè÷åñêîé ëèíåéíîé àëãåáðû ñòðóêòóðû â Rpn íàñòîëüêî, ÷òîïîòîì ìû óæå ñìîæåì â $4 ïðîâîäèòü òåîðåòèêî - âåðîÿòíîñòíûå è ñòàòèñòè÷åñêèåïîñòðîåíèÿ â Rpn .Êñòàòè, êàíîíè÷åñêàÿ áèåêöèÿ ïðèâåäåò íàñ ê óäèâèòåëüíîìó ðåçóëüòàòó: îêàæåòñÿ, ÷òî ëèíåéíûõ ìîäåëåé â Rpn â íåêîòîðîì ñìûñëå ñòîëüêî æå, ñêîëüêî è âR1n .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
