А.С. Белокопытов, К.С. Ржевкин, А.А. Белов, А.С. Логгинов, Ю.И. Кузнецов, И.В. Иванов - Основы радиофизики (1119801), страница 57
Текст из файла (страница 57)
В самом деле, телеграфные уравнения являются записью двух уравнений Максвелла в терминах, формально справедливых лишь для поперечных волн. Вторичное дифференцирование телеграфных уравнений по равноправным переменным ( и х приводит к волновым уравнениям аг( алло или — — ЬС вЂ” = О. (9.7) дхо д(2 да дов — — ЬС вЂ” = О ах' а(о Обозначая ео' = 1/ЬС, приходим к той форме волнового уравнения, которое встречается во многих других разделах физики.
В частности, оно описывает поперечные волны в натянутой струне, продольные волны в однородном стержне и т. д, В рассматриваемом случае волновое уравнение описывает электромагнитную волну в двухпроводной линии, равно как и поперечную волну в коаксиальном кабеле. Повторим, однако, что поперечные волны не исчерпывают всего многообразия электромагнитных процессов. Так, в коаксиальном кабеле волны могут иметь и другую структуру — с продольными компонентами полей. Поперечность электромагнитных волн в технической и в научной литературе часто обозначают символом ТЕМ. В реальных системах волны не строго поперечны. В них всегда присутствуют продольные составляющие полей. Наличие этих компонент отражает тот факт, что поток энергоги приобретает поперечную составляющую: энергия волны теряется за счет постепенного превращения в тепло омических и диэлектрических потерь, Решением волнового уравнения (9,7) является любая функция вида У(1 ~ хг ео) или 'Р(х ~ соо).
Второе уравнение получим исходя из закона сохранения заряда. Можно записать, что заряд, втекший через сечение х за время ог(: ((х)оь(, вытек через сечение х + Ьх измененным за счет конечной проводимости неидеального диэлектрика, разделяющего проводники. Кроме того, часть заряда скопилась на проводниках и изменила разность потенциалов между проводниками, так как отрезок линии обладает конечной емкостью. Итак: до дд дв о(х) — о(х + Ьх) = — — Ьх = СиЬх + — = Сикх+ С вЂ” Ьх. дх д( д( Сокращая на Ьх, приходим ко второму телеграфному уравнению 9.1. Попе ечные елект омагнитные волны в нап авляющих системах 211 Иными словами, электромагнитное возмущение, заданное в некоторый момент времени 1 в виде начальной структуры поля, или любое переменное во времени возбуждение, задаваемое в некоторой точке а, может распространяться вправо и влево по системе, не меняя своей формы.
В частности„возмущение может быть гармоническим. В этом случае оно порождает гармоническую волну тыФь.уев) Общее решение для гармонического волнового процесса есть совокупность волн напряжения и тока, бегущих во встречных направлениях: а(в Г) а е~(~с-'га > 1 о ез< с~и 1 (9.8) я Ф- ь*) я~ ото ) 1(*,1) = т„,,е — $ . ге' Первые слагаемые в этих соотношениях — волны напряжения или тока, бегущие в положительном направлении оси х. В дальнейшем будем называть их падающими волнами.
Источник их возбуждения при такой записи решения располагается при х = — со. Если в системе нет других источников, то единственной причиной возникновения волн обратного направления будет отражение от разного рода неоднородностей. В этом случае волны, бегущие налево, следует называть отраженными. От свойств неоднородности зависят соотношения между амплитудами падающих и отраженных волн, а также фазовые изменения при отражении. Амплитуды волн напряжения и тока одного направления связаны между собой телеграфными уравнениями (9.6).
Легко проверить подстановкой, что волне напряжения отвечает волна тока вида ~л! л а-тд ) ~ 2 я а,'им (9.9) Я. ' Я. ' Величина л, = 1/Х/С имеет размерность сопротивления и носит название характеристического сопротивления линии. В однородных линиях характеристическое сопротивление численно равно волновому сопротивлению р, которым по определению называется отношение амплитуд напряжения и тока в волнах одного направления. Заметим здесь, не вдаваясь в подробности, что для линий с неоднородной структурой эти величины отличаются друг от друга. Если в системе имеется лишь источник, расположенный при ж = — оо, и однородная линия простирается до +со, то нет никаких физических причин для появления волн встречного направления. Решение в этом случае представляет собой лишь волну одного направления распространения — бегущую волну.
Строгая однородность бесконечно протяженной линии не является единственным случаем существования волн лишь одного направления распространения. Отраженные волны не возникают и в условиях согласования. Представим себе бесконечно протяженную линию, по которой бежит волна лишь в одном направлении, В соответствии с телеграфными уравнениями в любом сечении линии отношение мгновенного значения напряжения к мгновенному значению тока равно волновому сопротивлению 7,. Удалим теперь мысленно линию, расположенную справа от данного сечения, а вместо нее подключим между проводниками омическое сопротивление, по величине равное волновому. Подключение такого элемента не изменит существующее в бегущей волне соотношение между мгновенными значениями напряжения и тока.
Падающая на данное сечение волна не испытывает какого-либо возмущения. Энергия волны полностью поглощается в омическом сопротивлении и отраженной волны не образуется. Поскольку согласующее сопротивление (В = Я,) может быть подключено в любой точке линии передачи, в частности и в точке подключения источника (х = — оо), то энергия, отдаваемая источником в линию, 'будет зависеть лишь от соотношения между внутренним сопротивлением источника В„и волновым сопротивлением линии р. Оптимум, естественно, достигается в условиях согласования (В< — — Я, = р). 212 Глава 9.
Распределенные системы и(х,1) = и,е' '(е '"'* — е'"'*) = — 23и,з(п7яхезл = 2и,з)п7яхет! ' ~'!. (9.10) Как и следовало ожидать, мы получили стоячую волну с узлом в месте короткого за- мыкания и узлами, располагающимися в точках 7ях„= — пя. Отражение волны тока от короткозамкнугого конца линии происходит без потери полуволны: т(х,1) = — е' '(е '"*+ е'"*) = 2 — соз7яхе' '.
(9.11) Чисто стоячие волны образуются и при отражении от ра- зомкнутого конца линии. В этом случае при х = 0 имеем 1 = О, так что потерю полуволны при отражении испыты- вает волна тока, а Рис. 9.3. Разомкнутая на кон- (9,12) це (х = О) полосковая линия передачи ил! ив! иО. Для напряжения и тока имеем соответственно и(х!1) = иое' '(е '«'*+ ет"'*) = 2и,соз7яхе' ', ио . ио 1(х,г) = — е' (е;„— ез и ) = — 23 — з(п7охеЗь!1. о я (9.13) Рассмотрим более подробно отражение от разомкнутого конца двухпроводной полосковой линии, у которой проводники имеют вид тонких, относительно узких металлических полосок (рис. 9.3). Будем мысленно измерять напряжение и ток в точке х, удаленной от разомкнутого конца линии на расстояние, меньшее четверти длины волны.
Разделим напряжение на ток в выражении (9.13). Смысл этой операции можно истолковать как определение некоторого сопротивления — импеданса на "входе" отрезка линии. Отметим, во-первых, что получившийся импеданс чисто реактивен и при ~х~ < А/4 отрицателен, т. е. имеет емкостный характер: и(х,1) Яи = . =,уЯосЩ7ох = ЭЕос~й'~о1х~ т'(х,() (9.14) (так как * < 0).
При ~х~ я." Л котангенс может быть заменен его обратным аргументом, т. е. 1 1 Е = — 3йя — = 701х! яь!С1хГ (9.15) Поскольку С вЂ” это емкость единицы длины линии, Сф есть статическая емкость рассматриваемого отрезка. Таким образом, при выполнении условий квазистационарности Появление любой неоднородности в линии вызывает отражение и образование волн встречного направления. Обратимся теперь к рассмотрению важных частных случаев интерференции падающих и отраженных волн. Рассмотрим отражение волны от того сечения, где проводники замкнуты накоротко. Такое замыкание, строго говоря, должно быть осуществлено расположением в рассматриваемой точке (для определенности, при х = 0) бесконечно проводящей поперечной плоскости неограниченных размеров — идеального зеркала.
Однако при условии, что проводники двухпроводной линии расположены друг от друга на расстоянии, много меньшем длины волны, короткое замыкание можно осуществить практически хорошо проводящей перемычкой. В наших терминах это означает, что и, = -и, = -и„т. е. отражение происходит с потерей полуволны: 9.1. Попе ечные електромагнитные волны в нап авляющих системах 213 (ьт~ << Л) мы получаем выражение для статической емкости. Погонную емкость линии можно записать в виде еЯ С= —, 5=1в, (9.16) 4хй' где Я вЂ” площадь единицы длины полосковых электродов, е — диэлектрическая проницаемость материала, разделяющего электроды. При отклонении от условия квазистационарности, когда длину отрезка уже нельзя считать малой по сравнению с длиной волны, величина емкости элемента перестает быть пропорциональной плошади электродов. При 1 = |в( = Л/4 емкость обращается в бесконечность несмотря на конечность плошади электродов.
Более того, при 1 > Л/4 реактивный импеданс меняет знак, сдвиг фаз между током и напряжением меняется скачком от +я/2 до -я/2. Отрезок, длина которого в меняется в пределах Л/4 < )х! < Л/2, эквивалентен индуктивности, меняющейся от нуля до бесконечности. Импеданс короткозамкнутого отрезка линии можно получить аналогичным образом при делении напряжения на ток (формулы (9.10) и (9.11)). В этом случае (9.17) При изменении длины отрезка в пределах 0 < ~х~ < Л/4 импеданс, имеющий индуктивный характер, меняется от нуля до бесконечности.
Затем при 1х~ = Л/4 импеданс меняет знак. Входное сопротивление отрезка становится емкостным. Эквивалентная емкость меняется от нуля при ~х! = Л/4 до бесконечно большой величины при 1в~ = Л/2. Перечисленными свойствами отрезков линий передачи широко пользуются в технике для синтеза различных цепей. В частности, короткозамкнутый отрезок длиной Л/4, имеющий бесконечное входное сопротивление, может быть подключен параллельно другой линии в любой ее точке (рис. 9.4).
В этот шунтируюший отрезок ток не потечет и, следовательно, его подключение не алия рнс. 9,4, Короткозамкнутый ет на процесс распространения волн данной частоты по четвертьволновый шлейф, раосновной линии. Вместе с тем, на частоте второй гармо- ботаюший как конструктивная ники, которая может оказаться нежелательной для рабо- металлическая опора центральты системы, длина шлейфа будет равна Л/2. Импеданс ного проводника коаксиальноя шлейфа на частоте второй гармоники будет равен нулю линии передачи и по основной линии волна второй гармоники распространяться не будет.
Широко применяются отрезки линий в синтезе разного рода антенн и иных устройств. Теория волновых процессов в ТЕМ-системах помимо простоты и наглядности важна еще в методическом отношении. Представления о ТЕМ-волнах позволяют развить у исследователей образное мышление, очень полезное для понимания процессов в более сложных волновых структурах. Так, ТЕМ-волна с ее простой конфигурацией полей часто выступает в роли некоего эквивалента для волн в других линиях передачи. Сведение к процессам в эквивалентной низкочастотной линии дает возможность применить для расчетов импедансный подход.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
