А.В. Журавлёв, Ю.И. Кузнецов, Л.Г. Прохоров и др. - Практикум по радиофизике (1119799), страница 2
Текст из файла (страница 2)
В настоящей работе мы познакомимся с первымидвумя важными характеристиками, использующимися в современной радиотехнике.2. Частотные характеристики RC-цепейПередаточная частотная характеристика является комплексным коэффициентом передачи по напряжению K(ω),который в свою очередьпредставляет собой зависимость от частоты отношения комплексной амout(ω) цепи к комплексной амплитудеплитуды выходного напряжения U7in(ω) (см. (1)):входного напряжения Uout(ω)Uiϕ(ω)= |K(ω)|e,K(ω) =in(ω)U(2)где |K(ω)|– модуль комплексного коэффициента передачи (амплитудночастотная характеристика (АЧХ) коэффициента передачи напряжений);ϕ(ω) – аргумент комплексного коэффициента передачи (фазо-частотнаяхарактеристика(ФЧХ) коэффициента передачи напряжений).
Частотные характеристики линейных электрических цепей имеют важное значение, так как позволяют наглядно судить о том, колебания каких частотпропускаются цепью, а какие ”подавляются”. АЧХ цепи показывает каксоотносится амплитуда преобразованного гармонического сигнала на выходе с амплитудой гармонического сигнала на входе, а ФЧХ – на сколькоразличается фаза выходного сигнала по сравнению с входным. Подчеркнем, что в определении (2) речь идет об установившихся колебаниях,когда все переходные процессы в цепях затухли.RCin(ω) I(ω)RUout(ω) Uin(ω) I(ω)UCout(ω)UбaРис. 1: a)RC-цепь с омическим выходом; б)RC-цепь с емкостным выходом.Рассмотрим в качестве примера расчет передаточных частотных характеристик RC-цепей (Рис.
1).8|K(ω)|ϕ(ω)√11/ 2π/2π/4ωнaωωнбωРис. 2: Графики АЧХ(а) и ФЧХ(б) для RC-цепи с омическим выходом.2.1. RC-цепь с омическим выходомСхема RC-цепи с омическим выходом, приведенная на Рис. 1a, имеетобщий импеданс Z(ω)= R+1/iωC. Поэтому комплексный коэффициентпередачи по напряжению(2) будет равенK(ω)=I(ω)RRiωτ==, Z(ω)R + 1/iωC1 + iωτI(ω)(3)где I(ω)– комплексная амплитуда силы тока в цепи, τ = RC – постоянная времени RC-цепи. АЧХ данной цепи имеет видωτ,|K(ω)|=√1 + ω2τ 2(4)πϕ(ω) = argK(ω)= arg(iωτ ) − arg(1 + iωτ ) = − arctg(ωτ ).2(5)а ФЧХ –Графики АЧХ и ФЧХ данной цепи изображены на Рис.2.Таким образом, если входное напряжение цепи является гармоническим Uin (t) = A cos(ωt) = Re Aeiωt , то выходное напряжение можно записать в следующем виде:iωt= A|K(ω)|cos(ωt + ϕ(ω)).Uout(t) = Re K(ω) Ae(6)Из формулы (4) хорошо видно, что такая цепь пропускает сигналывысоких частот (так как |K(+∞)|= 1) и подавляет сигналы низких частот (|K(0)|= 0).
Она называется фильтром высоких частот. Диапазон9частот, в котором коэффициент передачи данной цепи уменьшается до√уровня 1/ 2 ≈ 0.7 от ее максимального значения Kmax = 1, называетсяполосой пропускания цепи, а частота границы полосы пропускания называется граничной частотой (см. Рис.2). В нашем случае нижняя циклическая граничная частота ωн = 2πfн (fн – нижняя граничная частота)находится из выражения√ н )| = 1/ 2.|K(ω(7)Используя (4) и (7), рассчитаем ее для нашего примера RC-цепи с омическим выходом:ωн RC = 1.По известной граничной частоте полосы пропускания постоянную времени цепи можно найти по формулеτ=1.2πfн(8)2.2. RC-цепь с емкостным выходомϕ(ω)|K(ω)|01√1/ 2ωвω−π/4−π/2ωваωбРис.
3: Графики АЧХ(а) и ФЧХ(б) для RC-цепи с емкостным выходом.Схема RC-цепи с емкостным выходом, приведенная на Рис.1б, также имеет общий импеданс Z(ω)= R + 1/iωC. Поэтому комплексныйкоэффициент передачи по напряжению (2) будет равенI(ω)(1/iωC)11/iωCK(ω) ==,= Z(ω)R + 1/iωC1 + iωτI(ω)10(9)где I(ω)– комплексная амплитуда силы тока в цепи, τ = RC – постоянная времени RC-цепи.
АЧХ данной цепи имеет вид1|K(ω)|=√,1 + ω2τ 2(10)ϕ(ω) = argK(ω)= − arctg(ωτ ).(11)а ФЧХ –Графики АЧХ и ФЧХ данной цепи изображены на Рис.3. Очевидно, чтоформула (6) справедлива и для этой цепочки.Из формулы (9) хорошо видно, что такая цепь пропускает сигналынизких частот (так как |K(0)|= 1) и подавляет сигналы высоких частот(|K(+∞)|= 0). Она называется фильтром низких частот. Верхняя циклическая граничная частота ωв = 2πfв (fв – верхняя граничная частота)находится из выражения√ в )| = 1/ 2.|K(ω(12)Используя (9) и (12), рассчитаем ее для нашего примера RC-цепи с емкостным выходом:ωв RC = 1.По известной граничной частоте полосы пропускания постоянную времени цепи можно найти по формулеτ=1.2πfв(13)2.3.
Интегрирующие и дифференцирующие RC-цепиRC-цепи могут быть использованы для интегрирования и дифференцирования разных сигналов. Найдем условие, при котором выходное напряжение в RC-цепи на Рис.1a подобно производной от входного. В случае гармонического напряжения получимd in(ω)eiωt.(Uin(ω)eiωt) = iω Udt11Из (2) следует, что выходное напряжение будет пропорционально проin(ω)eiωt в случае, если K(ω)∼ iω.
Следовательно, цепочкуизводной от Uна Рис.1a можно считать дифференцирующей по отношению к гармоническому сигналу при условии(см. формулу (3))ωτ 1.(14)Условием точного дифференцирования произвольного входного напряжения является выполнение этих неравенств для всех спектральныхкомпонент этой функции.Цепочку на Рис.1б называют интегрирующей, так как напряжение наее выходе подобно интегралу от входного сигнала.
В случае гармонического напряжения получимin(ω)eiωt)d t = 1 Uin(ω)eiωt.(UiωНапряжение на выходе цепи будет подобно интегралу от гармонического входного сигнала, если выполняется условие (см. формулу (9))ωτ 1.(15)Условия интегрирования и дифференцирования сигналов во временном представлении имеют вид τ dUout |Uout | и τ dUout |Uout |dtdtсоответственно [1, 2, 3, 4].3. Переходные характеристики RC-цепей3.1.
Переходные характеристикиВ основе метода анализа линейных цепей лежит принцип суперпозиции: сумма откликовUi(t) от отдельных воздействий ψi (t) на линейную цепь должна быть равна отклику U (t) от суммы воздействийψi (t). Принцип суперпозиции позволяет представить отклик цепи U (t)12на сложный сигнал как сумму откликов на отдельные его составляющие.Эти составляющие выбираются так, чтобы анализ цепей был наиболеепростым.Возможность представления отклика цепи на сложный сигнал в видесуммы откликов на стандартные сигналы позволяет использовать стандартные отклики в качестве соответствующих характеристик цепи.
Вслучае передаточной характеристики сложный сигнал мы раскладывалипо гармоническим функциям (в форме ряда или интеграла Фурье). Удобно также находить отклик на воздействия в виде единичной ступенькиσ(t). При разложении сигнала по единичным ступенькам характеристикой цепи является переходная характеристика цепи h(t) – отклик цепина сигнал в виде единичной ступеньки⎧⎪⎪0,⎪⎪⎨σ(t − τo ) = 12 ,⎪⎪⎪⎪⎩1,(функция Хевисайда)[1, 2, 3, 4]:t < τo ,t = τo ,t > τo .Известно [1, 2, 3, 4], что любую непрерывную функцию времени x(t)(ограниченную при t > 0) можно представить как суперпозицию ступенчатых функций Хевисайда:x(t) =+∞−∞x (ξ)σ(t − ξ)dξ.Зная переходную характеристику h(t), на основании принципа суперпозиции можно найти отклик на произвольное воздействие x(t) в следующем виде (интеграл Дюамеля)[1, 3, 4]: +∞Y (t) =x(ξ)h(t − ξ)dξ.−∞Переходные характеристики цепи вычисляются путем решения дифференциального уравнения цепи с правой частью в форме ступеньки13h(t)h(t)110a0tбtРис.
4: a) Переходная характеристика интегрирующей RC-цепи; б) переходная характеристика дифференцирующей RC-цепи.единичной высоты [1, 3, 4]. Можно получить, что переходная характеристика дифференцирующей RC-цепи имеет вид (см. Рис.4б)h(t) = exp(−t/τ ),t ≥ 0,(16)а переходная характеристика интегрирующей RC-цепи (см. Рис.4а):h(t) = 1 − exp(−t/τ ),t ≥ 0.(17)3.2. Отклик RC-цепей на прямоугольные импульсыИзвестно, что единичный прямоугольный импульс можно представить в виде суммы двух сдвинутых относительно друг друга ступенчатых функций Хевисайда разных знаков(см. Рис.5). Тогда общий откликцепи на прямоугольный импульс есть сумма откликов вида (16) или (17)на каждую единичную ступеньку. Стоит отметить, что при различныхсоотношениях между длительностью прямоугольных импульсов τи и постоянной времени цепочек получаются разные эпюры выходных напряжений для RC-цепей.На Рис.6a показано изменение формы прямоугольного сигнала (с амплитудой Uo и длительностью τи ) на выходе RC-цепочки с омическимвыходом при различных соотношениях длительности импульса и посто14τи0τиt0taбРис.
5: a) Единичный прямоугольный импульс длительности τи ; б) двесдвинутые относительно друг друга ступенчатые функции Хевисайдаразных знаков.янной времени цепи (RC τи и RC τи ). При больших значенияхτ = RC по сравнению с τи форма выходного сигнала близка к формевходного. При малых значениях τ /τи выходной сигнал превращается вдва импульса разной полярности, начало которых совпадает с фронтоми срезом входного прямоугольного сигнала.
Длительность результирующего импульса одной полярности может быть значительно меньше длительности входного сигнала. Несложно догадаться, что в этом случаеRC-цепь дифференцирует прямоугольный сигнал, что приводит к появлению двух импульсов на выходе цепи.На Рис.6б показаны графики выходного напряжения RC-цепи с емкостным выходом для различных соотношений длительности импульса ипостоянной времени цепи (RC τи и RC τи ). При малых значенияхτ = RC по сравнению с τи форма выходного сигнала близка к формевходного. При увеличении τ /τи выходной сигнал растягивается во времени. Это соответствует зарядке и последующей разрядке конденсатора.В этом случае RC-цепь интегрирует прямоугольный сигнал, что и даетсглаживание сигнала.15UinUinUoUoτи tRC τиURUoτи tRC τиUCUottURUCRC τиUoRC τиttaбРис.