В.Ф. Дьяченко - Вычислительный практикум (1119448), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

д. Это позволит наметить экономнуюи целенаправленную тактику поиска решения.Формулировка каждого задания включает в себя уравнение или систему уравнений, интервал интегрирования, начальные или граничныеусловия, которым должно удовлетворять решение, значения входящих вуравнение или условия параметров a, . . . (или способ их определения).x n+1 = X N + tf (t n , x n),при заданном начальном значении x (0).Простейший из них — метод Эйлера — состоит в последовательномвычислении величин x n ∼ x (t n), t n = nt по формулеdx= f (t, x),dtХотя задачи этого раздела довольно разнородны, необходимым инструментом при решении каждой из них является тот или иной методчисленного интегрирования уравнения вида10110 < t < 20,dyt = 0 : x = a, y = 1 + a2 , dxdt = dt = 0;a ∈ {0.1, 0.05} .( 2d x∂F2 + ∂x = 0, ddt2 y ∂F dt 2 + ∂y = 0,0 < t < t,2F = G + G 22 , G = −1 + y 1 − cos x −232y√dyt = 0 : x = p2 , y = 2, dxdt = dt = 0;t = t : |x| = p.dt0 < t < 50,dyt = 0 : x = a, y = a2 − a4 , dxdt = dt = 0;a ∈ {0.1, 0.01} .( 2d x= x y 2 + (1 + x 2) (1 − 3x 2) ,dt 2d2y22 = y (x − 1),y448cos x,(В 2задачах 2.1–2.6 рассчитать траекторию.d x= x (y 2 − 1),dt 22dy2 dt 2 = y (x − 1),0 < t < 50,dyt = 0 : x = a, y = 1, dxdt = dt = 0;a ∈ {0.5, 0.1}( 2d x= 2x (2x 2 − 1) (1 + x 2 − x 4 − y),dt 22dy24 dt 2 = 1 + x − x − y,2.2.

Задачиhttp://dmvn.mexmat.net(2.4)(2.3)(2.2)(2.1)При желании постановки задач можно расширить: рассмотреть другиезначения параметров или найти какие-либо критические значения их, исследовать вопрос о количестве решений данной задачи, вычислить несколько коэффициентов Фурье полученного периодического решения и т. д.Основной способ представления результатов решения — графический. Для этого высокой точности расчёта не требуется, однако желательно, чтобы она была определена.Полное, но в то же время лаконичное и ясное изложение результатов иметодики их получения является частью работы, отнюдь не второстепенной.2.2.

Задачиhttp://dmvn.mexmat.net 2Определить зависимость b (a) в задачах 2.7–2.12.d x322 + x = 1 − t , dt0 < t < 1,t = 0 : x = a, dxdt = 0,b,t=1:x=−1 < a < 0.dx2 dt = −1 + (1 + g sin t) cos x,0 < t < 2p,t = 0 : x = a,t = 2p : x = b;|a| < p , g ∈ {1.0, 10.0} .2 2dx dt 2 + a sin x = sin t,0 < t < p2 ,t = 0 : x = 0, dxdt = 1,pdxt = 2 : dt = b;0 < a < 1.122. Обыкновенные дифференциальные уравнения dxP dt = R ,Q dy dt = R , dP= e x 12 sin y2 cos t − 34 Qcos y2 sin t ,dtR dQy3Pxdt = e cos 2 cos t + 4 R sin t ,0 < tp< 10p,R = 1 + P 2 + Q2,t = 0 : x = y = P = Q = 0.( 2d x= y (2 − x 2 − y 2),dt 22d y22 dt 2 = −x (2 − x − y ),0 < t < 30,dydxt = 0 : x = 0, y = a, dt = dt = 0;a ∈ {1.0, 0.1} .(2.9)(2.8)(2.7)(2.6)(2.5)2.2.

Задачиhttp://dmvn.mexmat.net(2.12)(2.11)(2.10)13dX = AX, X (0) = I, где X —В задачах 2.13–2.16 решить уравнение dtквадратная матрица функций того же порядка, что и A; I — единичнаяматрица. Вычислить!собственные значения X при t = p.01A =,(2.13)a cos 2t 0a ∈ {0.1, 10.0} .!02.5+acostA =,(2.14)−10a ∈ {0.01, 1.0} .010A =  00 −1 ,(2.15)a cos 2t 10 0a ∈ {0.01, 1.0} .010A = −0.01 cos2 t 0 −1 .(2.16)sin 2t20 0( dx3dt = a (x − 1) − y,dy3 dt = x − a (y + 1),0 < t < b,t = 0 : x = 0, y = −1,t = b : x + y = 0;0 < a < 1.2 dx = y 1 + x 2 + y ,dt26dyy2x2=x−1++= 43 a3 ,62 dt0 < t < b,t = 0 : y = 0;t = b : x = y = a;0 < a < 1. 2 d 2xx dt 2 = t 2 ,0 < t < 1,t = 0 : x = 0, dxdt = a > 0;t = 1 : x = b.2.

Обыкновенные дифференциальные уравненияhttp://dmvn.mexmat.netВ задачах 2.17–2.36 найти решение, удовлетворяющее указаннымусловиям. d2x dt 2 + x 3 = cos 3t,0 < t < p ,2(2.17)dxt=0:dt = 0;t = p2 : x = 0. d2x dt 2 + cos x = sin t,0 < t < p ,2(2.18)t = 0 : dxdt = 0;t = p2 : x = 0. d2x 1+ 2 sin x = sin t,dt 20 < t < p ,2(2.19)t = 0 : x = 0;t = p2 : dxdt = 0. dx22dt + x = 1 − at ,|t| < 1,(2.20)x (−1) = x (1),a ∈ {1, 2, 3} . 2x ddtx2 + t = 0,0 < t < 1,(2.21)t = 0 : x = 0;dxt = 1 : a dt + x = 0;a ∈{1.0, 0.1} . dx2xudt = − R ,dy = 2 x − zv ,R dtxyvdza=1.5, dtRduv−u2=−z,R dt dv = −y,(2.22)dt0 < t < 5,√R=1 + v2,√t = 0 : a = −a, z = u = 0, v = 3,t = 5 : y = 0.1402.2.

Задачи dxt−2x 2dt = 2t 2 −x ,0 < t < 1, 2R1 dx 2dy+adt = min,dtdt0a ∈ {0.0, 0.1} . 2a ddt x2 = (1 + t 2)x,0 < t < b,t = 0 : dxdt = 0;dxt = b : dt = 1;a ∈{1.0, 0.01} , b ∈ {1.0, 5.0} . 2a ddt x2 = t 2 x + 1,0 < t < b,t = 0 : dxdt = 1;dxt=b:dt = 0;a ∈{1.0, 0.01} , b ∈ {1.0, 5.0} . d2xt dt 2 + (a + t 3)x = 0,0 < t < 1,t = 0 : x = 1;t = 1 : x = 0. 2d x= (t 2 − a)x,dt 20 < t < ∞,R∞x dt = 1,0a ∈ {2, 3} . 3 d 2xx dt 2 = t 3 ,0 < t < 1,t = 0 : x = 0;1R x 2 dt = min .http://dmvn.mexmat.net(2.28)(2.27)(2.26)(2.25)(2.24)(2.23)15dxdtdydt−∞dxdt2+dydt2 !1/2dt.http://dmvn.mexmat.net= y − x (x 2 − 1),= −x + y (y 2 + 1).( dx = x 3y − (x − 1) 2 , dt dy dt = 2y −y + (x − 1) (2x − 1) .(dx2222dt = x + y − x (x + xy + y ) (1 + x + y ),dydt = −x + y. 2d xx2= 1+t2 + 1 + t ,dt 20 < t < 1,t = 0 : dxdt = 0;x (1) = ax (0);a = a ± e, где a таково, что решение не существует.00( dx3dt = y − x ,dy3dt − y − x,−∞ < t < +∞,x (t) = x (t + a),y (t) = y (t + a),a ∈ {10, 5} .(S=Z∞В задачах 2.31–2.33 условием является конечность величины162.

Обыкновенные дифференциальные уравненияp√d2 − 1 dx = − 3 + 2y √3−y ,x dtydty 2 −1√ 2 d 2 yyx dt 2 = 2 3 √ 2 − 4(3 − y),y −1dyt=0:x=1,y=3, dxdt = 0, dt < 0;dyt → ∞ : dt → 0. 2d xx dt 2 = 1+t 4 ,0 < t < ∞,t → ∞ : x → 1.(2.35)(2.34)(2.33)(2.32)(2.31)(2.30)(2.29)2.2. Задачи(2.36)1716(cos y−(1+lt 2) cos xdx, dt =2t sin y2siny−(1+lt)sinxdy, dt =2t cos y0 < t < 1,t = 0 : x + y = p2 ;t = 1 : y = 0. dxx x+t−1+l2,dt = t ·x−10 < t < 1,t = 0 : x = 0;t = 1 : x = 2.4http://dmvn.mexmat.net(2.40)(2.39)В задачах 2.37–2.44 найти l (минимальное, если их много), при котором существует нетривиальное решение. d2x+ ltx = 0,dt 20 < t < 1,(2.37)t = 0 : x = 0;t = 1 : x = 0.ddxap+ x = lpx,−dtdt0 < t < p,p = (9 − 7.5 cos t) −1 ,(2.38)t = 0 : dxdt = 0;t =np : dxdt =o0.a ∈ p2 , p2 ,( dxdt = (1 − x)y,dy dt = x (y − 2),−∞ < t < ∞.x (t) = x (t + a),y (t) = y (t + a),a ∈ {2p, p} .dxdt=dydt= 1;http://dmvn.mexmat.net(В задачах 2.45–2.62 найти периодическое решение.dx3 dt = x + y − ax ,dy3dt = −x + y − y ,a ∈ {0.1, 1.0, 10.0} .(dx22 dt = x + y − x (x + xy + y ),dy22dt = −x + y − ay (x + xy + y ),a = {0.5, 5.0} .(dx dt = y,dy2dt = a (1 − x )y − x,a ∈ {0.1, 10.0} . d 2xx dt 2 = t0 < t < 1,t = 0 : x = 0;t = 1 : x = l > 0. d2xt+ (l + t 3)x = 0, dt 20 < t < 1,t = 0 : x = 0;t = 1 : x = 0. d2x+ x 2 + lt 2 = 1,dt 20 < t < 1,t = 0 : x = 0, ẋ = 1;t = 1 : x = 0.10f = le x cos2 bt,t = 0 : x = 0, y = 1,t = 10p : y = 0;b = √1 , l > 0.182.

Обыкновенные дифференциальные уравнения( 2d x dt 2 + x + f = 0,2 d y2 + (1 + f)y = 1,dt0 < t < 10p,(2.47)(2.46)(2.45)(2.44)(2.43)(2.42)(2.41)2.2. Задачи(dx35 dt = y + x − ax ,dy35dt = −x + y − ay ,a ∈ {1.0, 0.01} .( 2d x+ x + ax 3 = cos t,dt 2a ∈ {0.1, 0.001}( 2d x+ x 3 = a cos t,dt 2a ∈ {0.03, 0.3} .( 2d x3+ a dxdt + x = b cos t,dt 2a ∈ {0.2, 1.0} , b ∈ {0.3, 0.1}( 2d x+ ax 2 dxdt + x = sin t,dt 2a ∈ {0.01, 1.0}( 23d x+ a sin2 x + dxdt + x + sin t = 0,dt 2a ∈ {1.0, 0.01} .( 2d x1+3 cos 2t+ a dx,dt + x |x| =2dt 2a ∈ {0.2, 0.0} .( 2d x+ (1 + ax 2)x = cos t,dt 2a ∈ {±0.2} .( 2d x+ |x| dxdt + x = a cos t,dt 2a ∈ {0.1, 10.0} .( 2a ddt x2 + sin x = 2 sin t,a = {1.0, 2.0}(dx dt = y,dy1 2− x,dt = ay 1 − 3 ya ∈ {0.1, 10.0} .(dx dt = y,dy3√ ax ,dt = y − y −1+x 2a ∈ {0.1, 1.0} .http://dmvn.mexmat.net(2.59)(2.58)(2.57)(2.56)(2.55)(2.54)(2.53)(2.52)(2.51)(2.50)(2.49)(2.48)19+ (x 2 − 1)x1+x 4= a cos t,− x − x 3 = cos t,+d 2xdt 2− a 1 − 43 x (1 + x) dxdt + x = b cos 2t,a = {0.15, 1.0} , b ∈ {1.0, 5.0} .2dxdt(2.62)(2.61)(2.60)http://dmvn.mexmat.netВ задачах 2.63–2.75 определить общий характер решения: монотонное изменение, выход на константу, колебательный процесс (его характеристики),существование на конечном интервале по t и т.

п. 2dx dt 2 + (2.5 + a cos2 t)x + a cos2 t = 0,(2.63)t = 0 : x = 0, dxdt = 0;a ∈ {0.1, 10.0} . 2dxd x3 dt 2 + 3x dt + x + 10x + a cos t = 0,dx(2.64)t = 0 : x = 0, dt = 0;a ∈ {0.01, 1.0} .( 3d x+ (10 − 0.01 cos2 t) dxdt − 0.1 sin 2t · x = 0,dt 3(2.65)dxd2xt = 0 : x = 1, dt = 0, dt 2 = −0.01. 3d x dt 3 + (1 − sgn x) dx + cos t = 0,d 2x(2.66)t = 0 : x = a, dxdt = dt 2 = 0;a ∈ {±0.1, ±0.01} .dx dt + xy,dy22 dt + y − 2z + 10 − x + 0.01 cos t = 0, dz(2.67)dt + yz + a sin 2t = 0,t = 0 : x = 10, y = z = 0;a ∈ {1.0, 0.1} .aPd 2 xkasgn(xk − xi) = 0,2 +dti=1k = 1, . .

Характеристики

Список файлов книги