В.Ф. Дьяченко - Вычислительный практикум (1119448)
Текст из файла
Москва, 2005Издательство DMVN PressВычислительный практикумВ. Ф. ДьяченкоМОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М. В. ЛОМОНОСОВАМеханико-математический факультет© Дьяченко В. Ф., 1985.© DMVN Press, 2005.Литературу издательства DMVN Press можно бесплатно загрузить с официального сайтакомпании DMVN Corporation http://dmvn.mexmat.net. E-mail: dmvn@mccme.ru.Отпечатано с Божией помощью в подпольной типографии им. И.
Гутенберга буржуйскимпринтером на советской бумаге.Формат 60×88/16. Печать офсетная, бумага газетная. Гарнитура нелитературная. Печ. л. 2.Тираж 0000 экз. Без объявл.Издательство DMVN Press.105037, Москва, ул. Первомайская, 5–49.Ответственный редактор Д. Вельтищев.Тех. редактор М. Вельтищев.Издание 2-е, исправленное.ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ПРАКТИКУМВладимир Федотович Дьяченкоhttp://dmvn.mexmat.netВ. Ф. ДьяченкоНастоящий сборник составлен из задач, предлагавшихся для численного решения на ЭВМ студентам механико-математического факультетаМГУ. Он состоит из трёх разделов. Задачи первого — вычисление корней уравнений — довольно элементарны.
Их решение преследует цель —приобрести или восстановить навыки работы на ЭВМ в той конкретнойреализации, которая предоставляется студенту. Второй раздел состоитиз задач, связанных с численным интегрированием обыкновенных дифференциальных уравнений: граничные задачи, поиск периодических решений и т. д. Третий раздел составляют задачи для уравнений с частнымипроизводными, самые простые, поскольку ограниченность вычислительных средств не позволяет заняться такими задачами по-настоящему.Подбирая задачи, мы стремились получить не упражнения по курсучисленных методов или программированию, а практикум, по возможности имитирующий реальную работу прикладного математика.
Ни в однойзадаче метод решения не предписывается. Приводимые в начале каждого раздела краткие и элементарные теоретические сведения отнюдь несодержат рецептов решения задач. Выбор метода и тактики расчёта —самый существенный момент решения любой задачи — определяетсястудентом самостоятельно. По аналогичным причинам мы не даём ответов и литературных указаний.Для выполнения заданий практикума общая математическая грамотность необходима. В то же время понимание задачи и минимальная способность к самостоятельной работе — условие достаточное.Предисловие к первому изданию31.1.
Теория1. Конечные уравнения1. Конечные уравненияhttp://dmvn.mexmat.netПоскольку проведение итерационного процесса (1) является одновременно проверкой выполнения равенства x = f (x), то отсюда нетруднополучить оценку достигнутой точности.Приближённое значение xe корня x имеет точность d, если относительная ошибка xe − x (4) x < d.iв некоторой окрестности корня (и начальное значение x (0) принадлежитэтой окрестности).
Таким образом, вся проблема заключается в удачномвыборе f (x), который, очевидно, неоднозначен.В случае системы уравнений всё аналогично. Под x и f в (1) следуетпонимать некоторые векторные величины {xi } и {fi }, а условие сходимости (2) какX ∂ fk max(3) ∂xi < 1.kОн будет давать всё более и более точное значение корня, т. е. сходитьсяк корню при n → ∞, если f (x) удовлетворяет условию df <1(2) dx Задача состоит в вычислении корней данного уравнения или системыуравнений. Приступая к ней, необходимо, прежде всего, любым способомубедиться, что эти корни существуют. Обычно это эквивалентно грубойоценке их значений — получению начальных приближений x (0) .
Собственно вычисление корня сводится к последовательному уточнению егозначения путём какого-либо итерационного процесса (методы деленияотрезка пополам, хорд и т. п.). Одним из наиболее универсальных методов является следующий.Решаемое уравнение переписывается в виде x = f (x), и итерационный процесс проводится по формулеx (n+1) = f x (n) , n = 0, 1, . . .(1)45f (x) dx ≈m=1M−1Xhf (a) + f (b) + hfm ,2(5)a|x|x+e− 121+xln cos x + e= 0.= a − 5.−xcos e | sin x| = ax.(1 + sin x) sin x = a + 3x − 5.x sin x = 1.√a sin 1 + 2 sin x = x 3 .4|x − a| = sin x + | sin x|.|x − a| = e . 2 2a = e 1−x 2 .x −xrax−(x − a) = sin x.22|x (x − a)| = a ln x.1.2. Задачиhttp://dmvn.mexmat.net(1.11)(1.10)(1.9)(1.8)(1.7)(1.6)(1.5)(1.4)(1.3)(1.2)(1.1)где h := b−aM , а fm := f (a + mh).
Ошибка, возникающая из-за заменыинтеграла суммой, стремится к нулю при h → 0, поэтому оценить еёвеличину можно сравнением результатов, полученных при разных h.Общая формулировка задания: найти все действительные корниуравнения (системы) для заданного набора значений параметра a (например, a = 1, 2, . . . , 10) с точностью d (например, d = 10−5). В случаебесконечного множества корней следует вычислить конечное число их, адля остальных дать явную (асимптотическую) формулу, обеспечивающуюточность d.Отчёт по заданию должен содержать постановку задачи, описаниеметода расчёта, результат. Листинг программы и распечатка результатовприлагаются к тексту отчёта.aZbВ некоторых уравнениях фигурируют интегралы, аналитически не берущиеся.
Их значения можно вычислять с помощью квадратурных формул, например1.2. Задачи1= 0.1= 0.2 = a − x.1+a 1 + cos2 x111+x 2−x 21. Конечные уравнения2 −2xk!= 0.098a.3k1 − √ + k2 x 3k+1 = 0.1a.2tg221k2− 2.0537 x k = (0.1a) 4 .2http://dmvn.mexmat.netk=13Xk=02X√k − 1.9929 kx = x 5 0.1a − a ln a.k − 0.99929k=0x(−1) k 1 + 0.01 ln(k + 2) x 2k+1 = 0.1a.2 Xk=02Xk=04k+1(−e) k x 4k+1 = 0.07a + 0.3x.2(p − k) 2k+1x= 0.1a2 .k!2Xekk=02Xk=03X(x 2 − 1) 2 = x a .1+e=a e.pa2 e 2x = 1 + ln2 1 + x 2 .q2a ln x + sin2 ln 1 + 1 − e −|x| = 0.−2x 2x + cos2 = a.1 + 1 − e −|x|pctg x + ln 1 + x 2 = 0.ae x − ch− sin21 + arctg etg x + esin6(1.27)(1.26)(1.25)(1.24)(1.23)(1.22)(1.21)(1.20)(1.19)(1.18)(1.17)(1.16)(1.15)(1.14)(1.13)(1.12)(p − k) 2 2kx = 1 + 0.859ax.k!ekx 2(2k+1) = 1 + 0.096a3 x.2k + 1ax.= kk− 1 x + 0.101a = 0.1006k − 11.99371x5k√x=+.k2 − 0.003k − 0.9931xak + 0.667x 3k+2 = 1 +341 + t4dt= 1 + 0.1a.0Zx r√1t 3 + dt = a2 + 5 x.t0√Z1 p1 + xt 4 dt = a2 .0Zx5x − 0.1x + 0.2x = 0.1(a + th x).2x (x − 1) (1 + x 2) = 0.009596a2 sin x.k=14Xk=02Xk=02Xk2 − 2.14k + 1k=13Xkpx(−1) k1 + 0.05 sin2x 2k + + 1 = 0.k5ak=02Xk=02X(−2) k 4k+2x= 1.41 + 0.1a2 x.2k + 1k=14Xx + x 3 + x 7 + x 9 = 0.3a th x.210x − 0.5x 3 + x 5 = 0.04a3 e −x .p2 x − x 3 + x 5 = 0.1a2 cos x.1.2.
Задачиhttp://dmvn.mexmat.net(1.42)(1.41)(1.40)(1.39)(1.38)(1.37)(1.36)(1.35)(1.34)(1.33)(1.32)(1.31)(1.30)(1.29)(1.28)7x√1dt = ax.1 + t212.5x + 1+x2 − sgn y 1 − ex√+ 4y + sin y = a12 .21+x 2x+ 2y + ln(1 + y 2) = 0.http://dmvn.mexmat.nete − sin2(√1 + x 2 e a+2x+sin y = 1,(x + y) 2 + 2 (a + y) = 1.(yx + tg 2x + 1+y2 = 0,−|y|112x + cos 1+x2 + cos 1+y 2 = 0,(0e −x + tg y = 0.1(dt ds√= 1.t 4 + s4Z1Zx0x−t√dt = a.1 + t4dt√= ax 3 .1 + t4Zx−∞Zx−x.= a,1.
Конечные уравнения1 + t4dtZx pa1 + t 5 dt = 3 − .31Zx rt+a0Zx1 + t3dt = a + x.10 + t 2dt√=t 1 + t4sZ∞Zxa0Zx p1 + a2 t 4 dt = a + x.8(1.54)(1.53)(1.52)(1.51)(1.50)(1.49)(1.48)(1.47)(1.46)(1.45)(1.44)(1.43)(1 + a)x = e−„a.«2.4x +11+ 1+arctg21+arctg2 xy222y|x + ky − cos k| = min .k=15Xk=1(x + y cos k + z cos 2k − k4) 2 = min .4Xx + ky + k2 z − k3 = min .k=1aXRe z > −1.k+ixi = 1,0.1 + (i − k) 5(1 + z) 2 = e −az ,i=1aXk = 1, . . . , a.= 0,4x + th x + sgn y 1 − e −|y| = 0,1sin x + 2y + 1+y2 = a.+ 3y +,1+y 21=1+y 2+sin y1.2. Задачи(1 + x ) (1 + y ) = ae .3x + sin x + sin y + sin z = 0,ch y − ae z + a2 = 0, 1 sin 2x + 2y − 1 + cos z = 0.81+y 2p√3x − 1 + y 2 − 1 + z 2 = 0,3y − √1 + z 2 − √1 + w 2 = 0,√√2 −3z−1+w1 + x 2 = 0,p√3w − 1 + x 2 − 1 + y 2 = a.((1+x 2√ xx1+x 2√e 2x−sin x = ch √ y √√ln 1 + x 2 = e 2y+sin y − 1,http://dmvn.mexmat.net(1.65)(1.64)(1.63)(1.62)(1.61)(1.60)(1.59)(1.58)(1.57)(1.56)(1.55)92.1.
Теория2. Обыкновенные дифференциальные уравнения2. Обыкновенные дифференциальные уравненияt > 0,(1)(2)http://dmvn.mexmat.netпри заданном x 0 = x (0). Если шаг интегрирования t достаточно мал, топриближённое решение представленное таблицей {t n , x n }, будет близкок точному x (t).Варьирование параметра t или метода расчёта — практически единственные способы оценки реальной точности результата.Всё это справедливо и для системы уравнений, в этом случае величины x и f в (1), (2) — векторные.
Подобные методы существуют и дляинтегрирования дифференциальных уравнений высших порядков, хотя ихможно всегда свести к системе вида (1).Постановка далеко не всех задач этого раздела имеет рассмотренныйтип (например, граничные задачи с условиями на обоих концах интервала, задачи на собственные значения, поиск периодических решенийи т. д.). Однако все они решаются путём расщепления на задачи этоготипа — с помощью метода прогонки, метода «стрельбы», выходом напредельный цикл и т. д.Выполнение задания следует начинать с качественного анализа проблемы: построения общей картины интегральных кривых, исследованияособых точек, выбора подходящих переменных, оценки возможности существования нужного решения и т.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
