В.Ф. Дьяченко - Вычислительный практикум (1119448), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

. , a.(2.68)k dxkt=0:x==0;,ka dta = {3, 5} .(a = {1.0, 2.0} .dxdt1+ ( dxdt ) 2 d x2 + a qdt2. Обыкновенные дифференциальные уравненияa ∈ {0.5, 0.1} .d 2xdt 220(2.2. Задачиt−2t > 0,a ∈ {0.7, 0.1} .1t > 0.t < 0 : x = t (t + 1) (t + 2).t−1tx = R (t − t + 2)x (t) d t + R (t − t)x (t) d t.t−2t−1t < 0 : x = sin pt.t d 2 x2 = 1 − t + R √ d t, dt1+x (t)−x (t)0√t = 0 : x = a, dx2a;dt =a ∈ {0.1, 10.0} .Rt √221 + t − t − 1 xd(tt) ,x = t − ata ∈ {1, 2p} , b ∈ {0.5, 0.1} ,t < 0 : x = cos t.Rt1x (t) d t,x = 2t = 0 : x = 0;a ∈ {1.0, 10.0} , b ∈ {1.0, 10.0} .( dx= x 3 + y + 0.1 sin at, dt dy− dt = x + y 3 + 0.1 cos at,t = 0 : x = y = 0,a = {2.0, ±1.0, 0.5} .b dx + x = x , dt−abxdx dt + √1+ax 2 = sin t,http://dmvn.mexmat.net(2.75)(2.74)(2.73)(2.72)(2.71)(2.70)(2.69)213.1.

Теория3. Уравнения с частными производными3. Уравнения с частными производнымиxk = kh,(2)= (Dh (n)) nk .(3)http://dmvn.mexmat.netВ предположении, что величины unk , входящие в (3), являющиесязначениями u(t n , x k) гладкой функции, непосредственной аналитическойАппроксимацияПереход от (1) к (3) неоднозначен, и далеко не каждая построеннаятаким образом дискретная модель может быть использована для приближённого решения исходной задачи.Теоретический анализ качества модели вида (3), т. е. исследованиявопроса о сходимости unk к точному решению при t, h → 0, можно проводить по следующей схеме.tun+1− unkkгде t, h — параметры дискретизации — шаги сетки, а n и k пробегаютцелочисленные значения являясь аргументами сеточной функции unk —дискретного аналога искомой функции u(t, x).Алгебраические соотношения для определения unk получаются аппроксимацией уравнения (1), например, просто заменой производных,фигурирующих в (1), соответствущими конечными разностями, связывающими значения сеточной функции в соседних расчётных точках.

Врезультате имеем конечные уравнения типаt n = nt,Мы ограничиваемся здесь одномерными эволюционными задачамидля параболических и гиперболических уравнений (систем), линейных иквазилинейных, вида∂u= D (u),(1)∂tгде D — дифференциальный оператор по x, т. е. D (u) — некоторая ком∂u ∂ 2 u, ∂x 2 ,. . . и, вообще говоря,бинация искомой функции u, её производных ∂xнезависимых переменных t, x.Численный метод решения задачи получается переходом к какому-либо дискретному её аналогу.Область плоскости (t, x), где ищется решение, покрывается расчётной сеткой — дискретным множеством точек с координатами22(4)23(5)http://dmvn.mexmat.netКаждая из задач этого раздела содержит: уравнение или систему, рассматриваемые на стандартном интервале 0 < x < 1, граничные условияна его краях, начальные данные при t = 0.Выбирая подходящую сетку (2), конструируя соответствующие формулы (3), дополняя их соотношениями, реализующими граничные условия, получаем рекуррентный алгоритм перехода от n-го слоя к (n+1)-му.Поскольку начальные данные при t = 0 доставляют значения на нулевом слое u0k , с помощью этого алгоритма последовательно вычисляем u1k , u2k , .

. ., продвигаясь по переменной t.Длительность этого процесса в задании не предписывается, как иточность результата, зависящая от выбора значения параметров t и h.Методы решениясвязывающее значения параметров дискретизации и коэффициентов, является условием устойчивости расчётного алгоритма, порождённого (3).Выполнение его практически обеспечивает сходимость unk к точному решению аппроксимируемой задачи при t, h → 0. Невыполнение же указывает не только на только на отсутствие сходимости, но и не невозможность реализации процесса расчёта.Всё это справедливо и для систем уравнений (а также уравнений,2содержащих ∂∂tu2 , очевидно сводящихся к системам). В этом случае соотношения (1), (3) – (6) становятся векторными.fдля любого f ∈ (0, 2p) и некоторого l, определённым образом зависящегоот f, t, h и коэффициентов уравнения.Условиеmax |l| 6 1 + O (t),(6)dunk = ln e ikf du00Варьированием (3) по unk получаем линейное уравнение для dunk —вариации unk .

Фиксируя (замораживая) коэффициенты в нём, приходимк линейному уравнению с постоянными, т. е. не зависящими от n и k,коэффициентами. Последнее всегда имеет решение видаУстойчивостьпри t, h → 0. Для левых частей (3) и (1) аналогичный факт очевиден.(Dh (u)) nk → (D (u)) nkпроверкой устанавливается, что3.1. Теория3. Уравнения с частными производнымиhttp://dmvn.mexmat.netВ заключение, несколько практических советов по технологии выполнения задания. Не нужно стремиться получить всю информацию заодин выход на машину. Первый этап следует считать отладочным, ограничить его несколькими шагами по t, но выдать на печать максимальноеколичество данных — это позволит обнаружить возможные ошибки илиубедиться в их отсутствии.

Второй этап — пробные расчёты с экономнойвыдачей информации — имеет целью выяснение общих вопросов: видрешения, скорость его перестройки, выявление характерных элементов,определение оптимальных значений расчётных параметров с учётом машинных ресурсов (временны́х, бумажных, и пр.) И лишь имея представление о свойствах решения, зная, что и когда следует печатать, можноприступить к собственно расчёту — полному и детальному.В отчёте по заданию, наряду с описанием и анализом алгоритма ирезультатов, все эти этапы работы с машиной должны быть отражены.Советы по технологии выполнения задачиДело в том, что при решении задач этого раздела объём перерабатываемой информации уже не мал, и внешние обстоятельства — мощностьвычислительных средств и т.

д. — существенно влияют на решениеэтих вопросов. Противоречие между стремлением получить максимально полную информацию о решении, с одной стороны, и ограниченностьюсредств реализации алгоритма — с другой, выполняющий задание должен разрешить самостоятельно.Как правило, задачи содержат параметры a, b, . . ., значения которыхзадаются. Рассмотрение других значений и вообще исследование зависимости свойств решения от параметров также представляет интерес.В формулировке некоторых задач присутствуют функционалы, обозначаемые f1 , f2 , . . .. Их значения обязательно должны быть приведены врезультатах подсчёта, но, разумеется, последние ими не исчерпываются.Основная форма представления результатов — графики решения, либо как функции от x при различных фиксированных t, либо как функцийот t при некоторых характерных значениях x, например, граничных.

Желательно дать также анализ полученных результатов, описание общих,качественных характеристик решения.243.2. Задачи0.x=10( ∂u∂2u2 ∂t = ∂x 2 +2v (1 + u ),∂ v2 ∂v∂t = 0.01 ∂x 2 − av (1 + u ),a ∈ {0.1, 1.0} ,∂u∂vx = 0 : ∂x= ∂x= 0;∂vx=1:u==0;∂xt = 0 : u = 0, v = 1.(∂u1 ∂∂u=x+ av 2 (1 + u2),∂tx∂x∂x∂v22 ∂t = −v (1 + u ),a ∈ {0.01, 1.0} ,∂ux = 0 : ∂x= 0;x = 1 : u = 0;t = 0 : u = 0, v = 1;R1f (t) ux dx.0 ∂u 1 ∂+ x · ∂x x ∂u+ au + 1,∂x∂xa ∈ {1.0, 0.0} ,∂ux = 0 : ∂x = 0;x = 1 : u = 0;t = 0 : u = 0.5(1 − x 2);R1f1 (t) = ux dx, f2 (t) = ∂u∂x0 ∂u∂2u4= a ∂x2 + u ,∂t∂ux = 0 : ∂x = 0;∂ux = 1 : ∂x + 50u4 = 0;t = 0 : u = b (1 − x 2) 2 ;a ∈ {0.1, 1.0} , b ∈ {1.0, 0.1} ,R1R1f1 (t) = u dx, f2 (t) = u4 dx − 50au4x=13.2. Задачи.http://dmvn.mexmat.net(3.4)(3.3)(3.2)(3.1)25000x=0http://dmvn.mexmat.net∂u∂2u∂u2∂t = 0.01 ∂x 2 + w ∂x + u (1 − u),R1w = u2 (1 − u) dx,0x = 0 : u = 1;x = 1: u = (0;1, x < a,t = 0: u =0, x > a;a ∈ {0.8, 0.6} .(∂u∂2u∂t = a ∂x 2 + u(1 + w − u − 2v),∂v ∂t = −uv,a ∈ {0.1, 1.0} ,∂ux = 0 : ∂x= 0;x = 1 : u = 0; ((1 − 9x 2) 2 , x < 13 ;t = 0 : u = w = 0,x > 13 .∂u∂2u3∂t = ∂x 2 + a (w − u) ,a ∈ {1.0, 100.0} ,w = (1 − x) (1 + x sin t),x = 0 : u = 1;x = 1 : u = 0;t = 0 : u = 1 − x;R1R13f1 (t) = u dx, f2 (t) = (w − u) dx.0263.

Уравнения с частными производными2 3∂u∂ u ∂x = ∂x 2 ,x = 0 : u = sin2 t;∂ux = 1 : ∂x= 0;t = 0 : u = 0;R1Rt ∂u3dt.f1 (t) = u dx, f2 (t) = ∂x(3.8)(3.7)(3.6)(3.5)∂ux = 0 : ∂x = 0;x = 1 : u = 0;t = 0 : u = (1 − x 2) 4 .∂u∂2u2 ∂t = a ∂x 2 − (1 + x )u,a ∈ {1.0, 0.01} ,∂ux = 0 : ∂x= 0;x = 1 : u = 1;t = 0 : u = 1.∂u∂2u2∂t = a ∂x 2 − x u − 1,a ∈ {1.0, 0.1} ,∂ux = 0 : ∂x= 1;∂ux = 1 : ∂x = 0;t = 0 : u = x (1 − x) 2 . ∂u∂2upx3 ∂t = ∂x 2 + u − cos 2 ,x = 0 : ∂u = 0;∂xx = 1 : u = 0;t = 0 : u = 0.9(1 − x 2), 2∂u= u2 ∂∂xu2 + a ,∂ta ∈ {2.0, 0.0} ,∂u= 0;x = 0 : ∂x∂ux = 1 : ∂x + u2 = 0;t = 0 : u = x 2 (1 − x 2) + 0.1.∂u∂2u∂t = ∂x 2 + au,p2a = 4 ± 0.01,∂ux = 0 : ∂x= 0;x = 1 : u = 1;t = 0 : u = x 2 (1 − x).∂u∂1 ∂u=∂t∂x x+a ∂x ,a ∈ {0.01, 1.0} ;3.2.

Задачиhttp://dmvn.mexmat.net(3.14)(3.13)(3.12)(3.11)(3.10)(3.9)27x=1http://dmvn.mexmat.nett = 0 : u = 0;a ∈ {1.0, 0.2} .x=0x=0,x=1( ∂u∂2u∂v∂t = a ∂x 2 + ∂x ,2∂v∂v∂u∂t = a ∂x 2 − ∂x .a ∈ {0.62, 0.65} ,∂u= v = 0;x = 0 : ∂x∂vx = 1 : u = ∂x= 0;t = 0 : u = 1 − x 2 , v = 0.∂u∂2u∂t = a ∂x 2 − 2u + v,∂v∂2v∂t = a ∂x 2 + u − 2v + w, ∂w∂2w ∂t = a ∂x 2 + v − w,a ∈ {0.01, 0.1} ,x = 0 : u = v = w = 1;x = 1 : u = v = w = 0;t = 0 : u = v = w = 1 − x;∂u∂u∂∂u 2+u+= 0,a∂t∂x∂x∂xtx = 0 : u = t+b ;x = 1 : u = 0;t = 0 : u = 0;a ∈ {0.1, 0.01} , b ∈ {0.1, 1.0} . ∂u∂2u3∂t = a ∂x 2 + (u − cos 2px) ,∂u∂uu=u, ∂x= ∂x02t = 0 : u = a (1 − x)x ,a ∈ {0.1, 10.0} ,R1 2f (t) = u dx.283. Уравнения с частными производными∂∂u 3∂u= ∂x− ∂x, ∂u∂t∂xx = 0 : u = 0;x = 1 : u = 0;(3.19)(3.18)(3.17)(3.16)(3.15)03.2. Задачи∂21−x 2∂2u= 0, ∂t 2 + ∂x 2u2∂ux = 0 : ∂x = 0;t = 0 : u = √4 + x 2 , ∂u = 0.∂t00 2 ∂ u∂u 22 ∂2u−(1−u)+2+u = 0,22∂x∂t∂xx = 0 : u = sin t;x = 1 : u = 0;t = 0 : u = ∂u∂t = 1. 2∂ u∂∂u− ∂xw ∂x= 0,∂t 2∂u 2w = 4x (1 − x) + 2a ∂x,x=0:u=sint;x = 1 : u = 0;t = 0 : u = ∂u∂t = 0;a ∈ {0.01, 1.0} ,R1 ∂u 2∂u 2+ 4x (1 − x) ∂x+af (t) =∂t ∂2u ∂2u− ∂x 2 + 2wu = 0,∂t 2w = 1 − 16x 2 (1 − x) 2 ,∂u∂ux = 0 : ∂t − ∂x = sin t;∂ux = 1 : ∂u∂t + ∂x = 0;t = 0 : u = ∂u∂t = 0;R1 ∂u 2∂u 22++2wudx.f (t) =∂t∂x∂u 4∂xdx. ∂2u ∂2u− ∂x 2 + √ au 2 = 0,∂t 21+ua∈1.0},{10.0,∂u∂ux=0:−∂t∂x = b sin t;b ∈ {2.0, 10.0} ,∂ux = 1 : ∂u∂t + ∂x = 0;∂ut = 0 : u = ∂t = 0;√R1 ∂u 2∂u 22−1f (t) =++2a1+udx.∂t∂xhttp://dmvn.mexmat.net(3.24)(3.23)(3.22)(3.21)(3.20)29http://dmvn.mexmat.net0x=1 ∂2u∂23= ∂x2 (u + u ),∂t 2x = 0 : ∂u = 0;∂xx=1:x= 1 : u = 0;t = 0 : u = cos p2x , ∂u∂t = 0. ∂2u∂2u∂u= ∂x2 + 2 ∂x + u,∂t 2x = 0 : u = sin2 3t;t∂u= 1+tx = 1 : ∂x2;∂ut = 0 : u = ∂t = 0. 22∂ u= x 2 ∂∂xu2 ,∂t 2x = 1 : u = 13 sin 3t;t = 0 : u = 0, ∂u∂t = x;1R 11 ∂u 2∂u 2f(t)=+dx,12∂xx 2 ∂t0tf (t) = R ∂u · ∂u dt.2∂t∂x0 2∂ u∂∂u 3 ∂t 2 = ∂x ∂x ,∂u= 0;x = 0 : ∂xx = 1 : u = 0;pxt = 0 : u = 0, ∂u∂t = cos 2 ;1f (t) = R ∂u 2 dx,1∂t0R1 ∂u 4f2 (t) = 12dx.∂x0303.

Уравнения с частными производными 2∂∂u 3∂u− ∂x, ∂∂tu2 = ∂x∂xx = 0 : u = 0;x = 1 : u = 0;t = 0 : u = x 2 (1 − x), ∂u∂t = 0;1 R2f (t) =1 ∂u 4∂u+dx,1∂t2 ∂x0R1 ∂u 2dx.f2 (t) =∂x(3.29)(3.28)(3.27)(3.26)(3.25)3.2. Задачи3/2221+ ( ∂u∂u∂2u∂t ) ∂t 2 =,∂u 2∂x 21+)(∂x∂ux = 0 : ∂x= 0;x = 1 : ∂u = a sin t;∂xt = 0 : u = ∂u∂x = 0;a∈1.0},{0.1,1∂uRf (t) = q ∂t ∂u 2 dx.1+ ( ∂t )0 2√∂2u∂2u∂ u2 ∂t 2 + 2 1 + x · ∂t∂x + ∂x 2 + u = 0,∂ux = 0 : u = t, ∂x= 0;∂ut = 0 : u = 0, ∂t = 1 − x 2 .2∂u2 ∂2u(1 + t 2) ∂∂tu2 + t ∂u∂t = (1 + x ) ∂x 2 + x ∂x ,x = 0 : ∂u = 0;∂xx=1:u= sin t;t = 0 : u = 0, ∂u∂t = 1. ∂2u∂x∂t + u = 0,0 < x < t,x = 0 : u = cos t;x = t : u = 1. 2∂ u2 ∂x∂t = u ,0 < x < t,∂utx = t : u = 1, ∂x= 1+t2.( 2∂ u∂2u∂v2− ∂x2 + 8x u − ∂x = 0,∂t 22∂ v∂u8x 2)v + ∂x= 0, ∂t 2 + (1 + √∂u∂ux = 0 : ∂t − 2 ∂x = sin t;x= 1 : u = 0;∂vt = 0 : u = v = ∂u∂t = ∂t = 0.(∂u∂u ∂t + x ∂x − v = 0,x = 1 : v = 1;∂v∂v∂t − x ∂x + 9u = 0,x = 0 : u = 0, v = 1.http://dmvn.mexmat.net(3.36)(3.35)(3.34)(3.33)(3.32)(3.31)(3.30)31x = 0 : u = 0;http://dmvn.mexmat.net0∂v∂v√ au = 0, ∂u∂t = 2v + 2w, ∂t + ∂x +1+u2∂w∂wau ∂t − ∂x + √1+u2 = 0,a ∈ {10.0, 0.1} ,x = 0 : v = 13 sin 2t;x = 1 : w = 0;t = 0 : u = v = w = 0;√R1 2v + w 2 + a 1 + u2 dx.f (t) =0−1x = 0 : v = 1+t3;1x=1:v=;1+t 3t = 0 : u = v = 2x − 1.(∂u∂+ ∂x2uv + v 2 = 0,∂x∂v∂2 ∂t + ∂x 2uv + u = 0,x = 1 : v = 0;t = 0 : u = x, v = 1 − x;R1f (t) = (u2 + v 2) dx.x = 0 : u = 0;x = 1 : u = 1;t = 0 : u = x, v = 0.( ∂u∂u∂t + v ∂x = 0, ∂vx = 0 : u = sin 5t − 1;∂v∂t + u ∂x = 0,x = 1 : v = sin 5t + 1;t = 0 : x − 1, v = x.(∂u+ v ∂uu,∂x −  ∂t∂v1∂v∂u ∂t + 2 − x ∂x + ∂x ,323.

Характеристики

Список файлов книги