Домрина. Лекции (2009) v4.0 (1118430)
Текст из файла
×àñòü 1. Èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îòïàðàìåòðàÑîáñòâåííûå èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðîâ1. Ñëó÷àé ïîñòîÿííûõ ïðåäåëîâ èíòåãðèðîâàíèÿI(y) =Rbf (x, y)dxaÒåîðåìà 1 (î íåïðåðûâíîñòè).Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x, y) ∈ C([a, b] × [c, d]).Òîãäà I(y) ∈ C[c, d].Äîê-âî: f (x, y) ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíà íà ìíîæåñòâå [a, b] × [c, d] ⇒∀ ε > 0 ∃ δ(ε) > 0 : ∀ y1 , y2 ∈ [c, d] : |y1 − y2 | < δ, ∀ x ∈ [a, b] |f (x, y1 ) − f (x, y2 )| <RbRbRb|I(y1 ) − I(y2 )| = | f (x, y1 )dx − f (x, y2 )dx| = | (f (x, y1 ) − f (x, y2 ))dx| ≤aRbaa|(f (x, y1 ) − f (x, y2 ))|dx <Rbaεb−a dxεb−a⇒a=ε⇒|I(y1 ) − I(y2 )| < ε ïðè |y1 − y2 | < δ ⇒I(y) ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíà íà [c, d] ⇒ I(y) ∈ C[c, d], ÷.ò.ä.Òåîðåìà 2 (èíòåãðèðóåìîñòü).Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x, y) ∈ C([a, b] × [c, d]).RtRb RtÒîãäà ∀t ∈ [c, d] I(y)dy = dx f (x, y)dycacÄîê-âî: Çàôèêñèðóåì t ∈ [c, d], òîãäà f (x, y) ∈ C([a, b] × [c, t]) ⇒ ∃RR[a,b]×[c,t]Rt∀ x ∈ [a, b] ∃ f (x, y)dy,Rb∀ y ∈ [c, t] ∃ f (x, y)dx ⇒cRtcI(y)dy =RtcdyaRbf (x, y)dx =aRRf (x, y)dxdy =RbRtdx f (x, y)dya[a,b]×[c,t]cÒåîðåìà 3 (î äèôôåðåíöèðóåìîñòè).Ïóñòü ôóíêöèè f (x, y),∂f (x,y)∂y∈ C([a, b] × [c, d]).Òîãäà I(y) äèôôåðåíöèðóåìà íà [c, d], ïðè÷åì I 0 (y) =Äîê-âî: ââåäåì âñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ K(y) =RbaRba∂f (x,y)∂y dx∂f (x,y)∂y dx.Ïî òåîðåìå 1 K(y) ∈ C[c, d] êàê è.ç.ï.
îò íåïðåðûâíîé ôóíêöèèÐàññìîòðèì ∀t ∈ [c, d] è ïðîèíòåãðèðóåì K(y) îò ñ äî t:1f (x, y)dxdy,RtcRbaK(y)dy = {ïî òåîðåìå 2} =RbdxRtca∂f (x,y)∂y dy= {ôîðìóëà Íüþòîíà-Ëåéáíèöà} =(f (x, t) − f (x, c))dx = I(t)−I(c) - èíòåãðàë îò íåïðåðûâíîé ôóíêöèè ñ ïåðåìåííûì âåðõíèìïðåäåëîì,Rtddò.ê. dt( K(y)dy) = K(t),òî ∃ dt(I(t) − I(c)) = K(t),cò.å. I 0 (t) = K(t) =Rb∂f (x,t)∂t dxa2. Ñëó÷àé ïåðåìåííûõ ïðåäåëîâ èíòåãðèðîâàíèÿI(y) =β(y)Rf (x, y)dxα(y)Òåîðåìà 10 ( î íåïðåðûâíîñòè).Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x, y) ∈ C([a, b] × [c, d]),âûïîëíåíû óñëîâèÿ íà ãðàíèöû:α(y), β(y) ∈ C[c, d], a ≤ α(y) ≤ β(y) ≤ b 1 .⇒ Òîãäà I(y) ∈ C[c, d].Äîê-âî: I(y) îïðåäåëåíà íà [c, d].Ôèêñèðóåì ∀ y0 ∈ [c, d] è â îêðåñòíîñòèf (x, y)dx +α(y0 )Ïî òåîðåìå 1 lim I1 (y) =y→y0y0 ïðåäñòàâèì I(y) â âèäå:β(y)Zβ(yZ 0)I(y) =2α(y)Zf (x, y)dx −β(y0 )β(yR 0)f (x, y)dx = I1 (y) + I2 (y) − I3 (y)α(y0 )f (x, y0 )dx = I1 (y0 ) = I(y0 )α(y0 )Ïîêàæåì, ÷òî lim I2 (y) = 0.
Àíàëîãè÷íî è äëÿ lim I3 (y) = 0y→y0y→y0Ïî òåîðåìå î ñðåäíåì çíà÷åíèè:I2 (y) = f (ξy , y)(β(y) − β(y0 )), ãäå ∀ y ∈ [c, d] ξy - ìåæäó β(y) è β(y0 )Ïðè y → y0f (ξy , y) → f (β(y0 ), y0 ), β(y) − β(y0 ) → 0 ⇒ lim I2 (y) = 0y→y0Îêîí÷àòåëüíî: lim I(y) = I(y0 ) + 0 − 0 = I(y0 )y→y0Òåîðåìà 20 ( äèôôåðåíöèðóåìîñòü).(x,y)Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x, y), ∂f∂y∈ C([a, b] × [c, d])è âûïîëíåíû óñëîâèÿ íà ãðàíèöû:α(y), β(y) ∈ C[c, d],a ≤ α(y) ≤ β(y) ≤ b∀ y ∈ [c, d]α(y), β(y) äèôôåðåíöèðóåìû íà [c, d].Òîãäà I 0 (y) =β(y)Rα(y)∂f (x,y)∂y dx+ β 0 (y)f (β(y), y) − α0 (y)f (α(y), y)1Âîïðîñ:2ãäå ìû â äîêàçàòåëüñòâå âîñïîëüçîâàëèñü òåì, ÷òî α(y) ≤ β(y) ?Âîïðîñ: ÷òî òàêîå îêðåñòíîñòü òî÷êè ñ? Âñïîìíèòå îïðåäåëåíèÿ íåïðåðûâíîñòè è äèôôåðåíöèðóåìîñòèíà îòðåçêå.2Äîê-âî: Ôèêñèðóåì ∀ y0∈ [c, d] :β(yZ 0)I(y) =β(y)Zf (x, y)dx +α(y0 )α(y)Zf (x, y)dx −β(y0 )Ïî òåîðåìå 3 I10 (y0 ) =β(yR 0)α(y0 )= β 0 (y∂f (x,y0 )∂tf (x, y)dx = I1 (y) + I2 (y) − I3 (y)α(y0 )dxÏîêàæåì, ÷òî I20 (y0 )(Àíàëîãè÷íî I30 (y0 ) = α0 (y0 )f (α(y0 ), y0 )0 )f (β(y0 ), y0 ).β(y)RI2 (y)−I2 (y0 )1= y−yf (x, y)dx = {òåîðåìà î ñðåäíåì çíà÷åíèè} =y−y00=β(y0 )β(y)−β(y0 )f (ξy , y) → β 0 (y0 )f (β(y0 ), y0 ),y−y0ïðè y → y0 ÷.ò.ä.Ïðèìåðû:31.
(Ry32e−x cos(y) dx)0=y22.0xb −xaln x dx2e−xcos(y) (x2 sin y)dx+ 3y 2 e−y6cos y− 2ye−yy2Âû÷èñëèì èíòåãðàë:0<a<bR1Ry=R10RbRb R1RbRby+1dx xy dy = dy xy dx = dy xy+1 |10 =a= ln(b + 1) − ln(a + 1)a0a3adyy+1=4cos y= ...Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðîâI(y) =I(y) =R∞aRbaf (x, y)dx (∗) - ïåðâîãî ðîäàf (x, y)dx èìååò îñîáåííîñòü â îäíîé èç òî÷åê a èëè b - âòîðîãî ðîäàÏîêà ÷òî ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî íåñîáñòâåííûå è.ç.ï. ïåðâîãî ðîäà.Ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ, çàâèñÿùèõ îò ïàðàìåòðàÎïðåäåëåíèå. (∗) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà Y,åñëè ∀ ε > 0∃A(ε) ≥ a : ∀R ≥ A(ε), ∀ y ∈ Y|R∞f (x, y)dx| < εRÇàìå÷àíèå: åñëè (∗) ñõ-ñÿ ðàâíîìåðíî íà Y ⇒ (∗) ñõîäèòñÿ ∀ y ∈ Y äàëüíåéøåì ìû áóäåì ïîäðàçóìåâàòü ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà∀ y ∈ YÏðè ýòîì óñëîâèè ìû ìîæåì ïîëüçîâàòüñÿ òàêèì ïðåäñòàâëåíèåì:+∞RP a+nI(y) =f (x, y)dxn=1 a+n−1Ïðèìåð:R∞ dx1xαÈññëåäóåì íà ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü: 1) α ≥ α0 > 1¯R∞ −α1−α ¯∞1x dx = x1−α ¯ = (α−1)Aα−1 âîçüì¼ì A ≥ 12) α > 1AA1.
α − 1 ≥ α0 − 1Aα−1 ≥ Aα0 −1 ⇒R∞x−α dx ≤AR∞ dx∀ ε > 0 ∃A(ε) : ∀R > A12. ε = 1, ∀R > 1∃α > 1 :R∞R∞A→∞1−−−−→(α0 −1)Aα0 −1x−α dx =Rxα0⇒< ε ∀α ≥ α0α→1+01−−−−−→(α−1)Rα−1∞⇒x−α dx ≥ 1AÊðèòåðèé Êîøè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè èíòåãðàëà, çàâèñÿùåãî îò ïàðàìåòðà:(∗) ñõ-ñÿ ðàâíîìåðíî íà Y ⇔∀ε>0∃A(ε) ≥ a : ∀R1 , R2 ≥ A(ε), ∀ y ∈ Y(ïîäðàçóìåâàåòñÿ, ÷òî ∀ y ∈ YRR2|f (x, y)dx| < εR1f (x, y) èíòåãðèðóåìà íà ëþáîì îòðåçêå [R1 , R2 ] ⊂ [a, ∞))Äîê-âî: ⇒(∗) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî ⇒R∞∀ ε > 0 ∃A(ε) ≥ a : ∀R ≥ A(ε), ∀ y ∈ Y | f (x, y)dx| < ε/2 ⇒R∀R1 , R2 ≥ A(ε)RR∞R∞R∞R∞R2| f (x, y)dx| = | f (x, y)dx − f (x, y)dx| ≤ | f (x, y)dx| + | f (x, y)dx| ≤R1R1R2R1R2ε2+ε2=εó÷èòûâàÿ èíòåãðèðóåìîñòü (∗) íà ëþáîì îòðåçêå [R1 , R2 ] R1 , R2 > a, âûïîëíåíû óñëîâèÿÊðèòåðèÿ Êîøè4⇐∀ ε > 0 ∃A(ε) ≥ a : ∀R1 , R2 ≥ A(ε), ∀ y ∈ Y∀ ε > 0 ∃A(ε) ≥ a : ∀R1 , R2 ≥ A(ε) |af (x, y)dx| < ε/2 (1)R1Ôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå y0 ∈ Y ⇒R∞RR2|RR2f (x, y0 )dx| < ε/2 < ε ⇒R1f (x, y0 )dx ñõîäèòñÿ â ñèëó Êðèòåðèÿ Êîøè äëÿ íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà ⇒∀ y0 ∈ Y∀R1 ≥ a ∃R∞f (x, y0 )dx ⇒  (1) ìîæåì óñòðåìèòü R2 → ∞ ( è ïðåäåë áóäåòR1ñóùåñòâîâàòü ) : ∀ ε > 0 ∃A(ε) ≥ a : ∀R1 ≥ A(ε), ∀ y ∈ Y|R∞f (x, y)dx| ≤ ε/2 < ε ⇒R1(∗) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî ïî îïðåäåëåíèþ.Ïðèçíàêè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòèÏðèçíàê Âåéåðøòðàññà:Ïóñòü f(x,y) èíò-ìà ïî õ â ñîáñòâåííîì ñìûñëå íà [a, R], ∀R > a, ∀ y ∈ YR∞Åñëè ∀ x > a ∀ y ∈ Y |f (x, y)| ≤ φ(x) è φ(x)dx ñõîäèòñÿ ⇒a(∗) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà YÄîê-âî: Ïî Êðèòåðèþ Êîøè ñõîäèìîñòè∀ ε > 0 ∃A(ε) ≥ a ∀R1 , R2 ≥ A(ε) |RR2R∞φ(x)dx:aφ(x)dx| < ε ⇒R1∀y ∈ Y |RR2f (x, y)dx| ≤R1RR2|f (x, y)|dx ≤R1RR2φ(x)dx < ε ⇒R1(∗) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà Y â ñèëó Êðèòåðèÿ ÊîøèÇàìå÷àíèå: Ïðèçíàê Âåéåðøòðàññà ïðèìåíèì ëèøü ê àáñîëþòíî ñõîäÿùèìñÿ èíòåãðàëàì.Ïðèçíàê Äèíè:Ïóñòü f(x,y) íåïðåðûâíà è íåîòðèöàòåëüíà íà [a, +∞) × [c, d] èR∞∀ y ∈ [c, d] ∃ f (x, y)dx = I(y), ïðè÷åì I(y) ∈ C[c, d].aÒîãäà (∗) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà îòðåçêå [c,d].Äîê-âî: Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èç In (y) =1.
In (y) ∈ C[c, d] ïî òåîðåìå 12. lim In (y) = I(y), y ∈ [c, d], ïðè÷åì I ∈ C[c, d]a+nRaf (x, y)dx. Òîãäà:n→∞3. In (y0 ) íåóáûâàþùàÿ íà [c,d] äëÿ ∀ y0 ∈ [c, d]4. [c,d] - êîìïàêò ⇒ âûïîëíåíû âñå 4 óñëîâèÿ ïðèçíàêà Äèíè äëÿ ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè[c,d]In (y) ⇒ In (y) ⇒ I(y)Ò.å. ∀ ε > 0 ∃N (ε) : ∀n ≥ N (ε), ∀ y ∈ [c, d] I(y) − In (y) =Ò.ê.
f (x, y) ≥ 0, òî ∀R ≥ a + N (ε) |R∞f (x, y)dx| ≤RR∞a+N (ε)(∗) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà [c,d] ïî îïðåäåëåíèþ.5R∞f (x, y)dx < εa+nf (x, y)dx < ε ⇒Z∞(∗∗)f (x, y)g(x, y)dxaÏðèçíàê Äèðèõëå-Àáåëÿ:(f(x,y) èíò-ìà ïî õ â ñîáñòâåííîì ñìûñëå íà [a, R] ∀R ≥ a, ∀ y ∈ YÏóñòü: (I)g(x, y)ìîíîòîííà ïî x ∀ y ∈ YÒîãäà äëÿ ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè (∗∗) íà Y äîñòàòî÷íî âûïîëíåíèÿ îäíîé èç 2 ïàð óñëîâèé:1.RRa) { f (x, y)dx} ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíà,aRRò.å. ∃M > 0 : ∀ y ∈ Y, ∀R ≥ a | f (x, y)dx| ≤ Mab) g(x, y) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ ê 0 íà Y ïðè x → ∞ò.å. ∀ ε > 0 ∃A(ε) ≥ a : ∀ x ≥ A(ε) ∀ y ∈ Y |g(x, y)| < ε2.a)R∞af (x, y)dx ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà Yb) g(x, y) ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíà íà [a, +∞) × Y ,ò.å.
∃M > 0 : ∀ x ≥ a, ∀ y ∈ Y |g(x, y)| ≤ MÇàìå÷àíèå: Åñëè âûïîëíåíû îñíîâíûå óñëîâèÿ ïðèçíàêà (I),ìîæåì èñïîëüçîâàòü âòîðóþ òåîðåìó î ñðåäíåì (èç 2ãî ñåìåñòðà):∀y ∈ Y∀R1 , R2 ≥ aRR2RRξyR2f (x, y)g(x, y)dx = g(R1 , y) f (x, y)dx + g(R2 , y) f (x, y)dxR1R1ξyξy -ìåæäó R1 è R2 , çàâèñèò îò y, R1 , R2Äîê-âî:1. Èç (a) ⇒ ∀R1 , R2 , ξy ≥ a,Rξyf (x, y)dx| ≤ 2M, |R1Èç (b) ⇒ ∀ ε > 0|g(R1 , y)| <|RR2f (x, y)dx| ≤ 2Mξy∃A(ε) : ∀R1 , R2 ≥ A(ε), ∀ y ∈ Yε4M , |g(R2 , y)|RR2⇒Èç ò.
î ñðåäíåì: |<ε4Mf (x, y)g(x, y)dx| ≤R1ε4M 2M+ε4M 2M=ε⇒(∗∗) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî ïî Êðèòåðèþ Êîøè2. (b) ⇒∀R1 , R2 ≥ a |g(R1 , y)| < M, |g(R2 , y)| < M(a) ⇒ ∀ ε > 0 ∃A(ε) ≥ a :∀R0 , R00≥ A(ε), ∀ y ∈ Y|RR 00f (x, y)dx| <R0 ÷àñòíîñòè, |Rξyf (x, y)dx| <R1⇒Èç ò. î ñðåäíåì |RR2R1ε2M , |RR2f (x, y)dx| <ξyε2M , ∀R1 , R2 , ξyεε+ M 2M=ε⇒f (x, y)g(x, y)dx| ≤ M 2M(∗∗) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî ïî Êðèòåðèþ Êîøè6ε2M≥ A(ε)Ïðèìåðû:1.R∞ y2 cos(xy)1x+y 2dx, y ∈ Rf (x, y) = y cos(xy), |R∞y cos(xy)dx| ≤ 2,1yg(x, y) = x+y2 ìîíîòîííà ïî õ ∀ y ∈ Y√2x + y ≥ 2 x|y| ⇒ |g(x, y)| ≤ | 2√yx|y| | = | 2√1 x |∀ ε > 0 ∃A(ε) =1ε21= ε/2 < ε ⇒2 1εÈíòåãðàë ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî, ò.ê.
âûïîëíåíî 1) ïðèçíàêà Äèðèõëå-Àáåëÿ2.R∞ sin x0xR∞ sin x0x: ∀ y ∈ Y, ∀ x ≥ A(ε) ⇒ |g(x, y)| <e−xy dx, y ≥ 0dx ñõîäèòñÿ è íå çàâèñèò îò y ⇒ ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî,|e−xy | ≤ 1, e−xy ìîíîòîííà ïî x ∀ y ≥ 0Èíòåãðàë ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî , ò.ê. âûïîëíåíî 2) ïðèçíàêà Äèðèõëå-ÀáåëÿÑâîéñòâà ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèõñÿ èíòåãðàëîâ,çàâèñÿùèõ îò ïàðàìåòðîâÒåîðåìà 4 (íåïðåðûâíîñòü).Ïóñòü f (x, y) ∈ C[a, ∞) × [c, d](∗) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà [c,d].Òîãäà I(y) =R∞af (x, y)dx íåïðåðûâíà íà [c,d].Äîê-âî: Ïóñòü In (y) =a+nRaf (x, y)dx.[c,d]Ïî òåîðåìå 1 In (y) ∈ C[c, d].
Ïîêàæåì, ÷òî In ⇒ IÈç ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè (∗) :R∞∀ ε > 0 ∃A(ε) ≥ a : ∀R > A(ε), ∀ y ∈ [c, d] | f (x, y)dx| < ε ⇒∀n ∈ N : a + n > A(ε) |I(y) − In (y)| = |R∞Rf (x, y)dx| < εa+n[c,d]Ò.ê In (y) ∈ C[c, d] ïðè n ∈ N, In ⇒ I ⇒ I(y) òàêæå íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [c, d] êàêïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé, ÷.ò.ä.Çàìå÷àíèå: Òåîðåìà ñïðàâåäëèâà ïðè ëþáîì ìíîæåñòâå Y (íå òîëüêî äëÿ Y = [c, d]), íåñòîèò çàáûâàòü, ÷òî íà íåïðåðûâíîñòü I(y) ìîæíî èññëåäîâàòü òîëüêî â ïðåäåëüíîé òî÷êåìíîæåñòâà Y.7Òåîðåìà 5 (äèôôåðåíöèðóåìîñòü).Ïóñòü f (x, y), ∂f∂y (x, y) ∈ C[a, +∞) × [c, d],∞Rf (x, y)dx = I(y) ñõîäèòñÿ ∀ y ∈ [c, d],aR∞ ∂fñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà [c,d].∂y (x, y)dxaÒîãäà I 0 (y) =R∞ ∂fa∂y (x, y)dx,∀ y ∈ [c, d]Äîê-âî: Ðàññìîòðèì In (y) =Ïî òåîðåìå 3 In0 (y) =a+nRaa+nRf (x, y)dxa∂f∂y (x, y)dx.Ïî òåîðåìå 4 (ñì.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
